滑模变结构控制系统的基本设计步骤(2014)

1滑模变结构控制系统的基本设计方法及抖振王杨1.滑模变结构控制系统的设计要求对于多变量系统mmnRsRuRxCxsBuAxx,,,设计的基本要求是：（1）切换面存在滑动模态。（2）所有的相轨线于有限时间内到达切换面。（3）滑动模态渐进稳定，并具有良好的动态品质。2.设计变结构控制的基本步骤它包括两个相对独立的部分：（1）寻求切换函数s（x），现在为求上式中的矩阵C，使它所确定的滑动模态渐进稳定且有良好的品质，（2）寻求)(xu，即变结构控制，使到达条件得到满足，从而使切换面上布满止点，形成滑动模态区。一旦切换函数s（x）和变结构控制)(xu都得到了，变结构控制系统就完全建立起来了。3.滑模变结构控制系统的设计（1）切换函数的设计极点配置法首先系统做基本假设：[2]（1）A,B可控；（2）CB为非奇mm方阵对于线性系统mnRuRxBuAxx,,（1-1）2由等效控制方法可知0CBuxCAxCs（1-2）提示：等效控制法是最早提出的补充确定不连续微分方程在不连续面上的定义的方法，这个方法的概念很简单的，即寻找一种控制，用来强迫系统在切换面上运动，就是说，在这种控制的系统的运动，正好是切换面上的滑动模态的运动，所以常称它为等效控制。可求得CAxCBueq1)(（1-3）由此可见CB为非奇是滑模存在且可达的充分必要条件。把式（1-3）代入式（1-1）得滑模方程为0])([1CxsAxCCBBIx（1-4）设rankB=m，故存在非奇异线性变换xTx~，使得式（1-1）化为下列形式：22122211211210~~~~BxxAAAAxx(1-5)其中mmnRxRx21~,~，2B为mm可逆方阵。222112111AAAAATT,210BBT（1-6）注：对系统进行非奇异线性变换xTx~，目的在于使A~阵规范化，以便于揭示系统特性及分析计算，并不会改变系统的原有性质，故称为等价变换。由线性系统理论可知（A，B）能控，),(1211AA必是能控的。相应的切换面变为0~~~2211xCxCxCTs（1-7）其中C2为可逆方阵，在切换面上有111122~~~xFxCCx（1-8）从而滑模运动满足式（1-8）和下列降阶方程：2121111~~~xAxAx（1-9）于是线性系统的滑动模可是为是由式（1-9）描述且具有反馈式（1-8）的n-m维子系统，从而可根据通常的线性反馈设计方法（如极点配置、最优化方法、特征矢量配置及几何方法3等）确定反馈系数矩阵F，不失一般性，取mIC2，因此1),(TIFCm（1-10）C一旦确定了，切换函数也就确定了。二次型性能指标最优化法提示：线性二次型最优控制问题[3]给定连续定常系统的状态空间为)()()('tButAxtx,且0)0(xx，最优控制的性能指标函数为fttTTdtRuuQxxuJ0)(21)(第一个积分项表示在系统控制过程中，对系统动态跟踪误差加权平方和的积分要求，是系统在控制过程中动态跟踪误差的总度量。对于第二个被积函数，因为控制信号的大小往往正比于作用力或力矩，所以上式表示，该积分项定量地刻画了在整个控制过程中所消耗能量。式中Q为状态加权系数矩阵，R为控制加权系数矩阵。当ft时，上述问题就是典型的无限时间最优调节器问题，最优控制为)()()(txtKtu式中，)()(1tPBRtKT是最优控制反馈系数矩阵，P(t)需要满足如下的Riccati（黎卡提）方程：0'1PBPBRQPAPAPTT因为Riccati方程中的A,B,Q,R均为常数矩阵，所以P(t)是存在的且唯一，并且是非负定的。在最优控制下，性能指标可以写为：)()()(21000txtPtxJT对状态完全可观的系统，如果Q可以分解为SSQT，且（A,S）可观，那么最优控制存在，并且闭环系统是渐进稳定的。设系统已表示为式（1-5），滑模方程为0~~~~~2211212111xCxCsxAxAx（1-11）设式（1-5）的二次型最优化指标为41~~tTdtxQxJ（1-12）这里没有对能量提出要求，积分指标中去掉了RuuT项式中，22211211QQQQQ正定，且Q11及Q12非奇，Q12=Q21，将式（1-12）的被积函数作分块表示：2222212112111111212221121121~~~~~~~~~~~~~~xQxxQxxQxxQxxxQQQQxxxQxTTTTTTT（1-12）作状态变换：2121122~~xxQQV将（1-12）化为：VQVxQxxQQVQxQQVxQQVQxxQxQQVxQxxQxTTTTTTT221*111121122221211221211221211211211221111~~)~()~()~(~~)~(~~~~由此得到了一个等价的系统及最优指标：022111*12121*11)~~(~~~dtVQVxQxJxAxAxTT（1-13）式中，121221211*11211221211*11,QQAAAQQQQQ式（1-13）形成了一个典型的二次型指标最优控制问题。如果),(12*11AA可控，Q正定，则Q22及*11Q正定，由此最优控制问题（1-13）有解，存在唯一的最优控制，此解为112122~xPAQVT（1-14）其中P是黎卡提代数方程0*111212212*11*11QPAQPAPAPATT的解。于是我们得到了优化的最终滑动模态的运动微分方程11212212*111~)(~xPAQAAxT(1-15)并且可证明当*11QDDT及),(*11AD为可观对时，P为正定，而且滑模运动方程必渐进稳定。将2121122~~xxQQV代入式（1-14）后得2121122112122~~~xxQQxPAQT5整理后得0~~)(22212111xQxQPAT上式正是切换面0~][21XCC这样我们就完全确定了阵C：222112),(QQPACT现在阵C是完全确定的，当然前提是我们认为阵Q已完全给定了。（2）滑动模态控制器的设计这里采用最终滑动模态控制器，在最终滑动模态控制中，系统状态从任一初始值出发一直到进入最终滑模区域S0之前都不发生滑模运动，只有在进入最终滑动模态区域S0之后，才发生滑模运动。这种控制的优点是除区域S0之外，系统控制都是连续的，从而使控制器的分析与设计都十分简单。下面介绍一种最常用的最终滑动模态控制——单位向量控制。考虑多输入系统mmnRsRuRxCxsBuAxx,,,,（1-16）单位向量控制可表示为CxCxu(1-17)其中表示模或范数。记子空间0|0CxxS显然有00,SxSxCxCxu不确定，当当因为取u的范数式（1-17）给出1CxCxu故称这种控制为单位向量控制。现在来个说明系统（1-16）在控制（1-17）下，当0Sx时，系统是连续系统，不存在滑动6模态，而在0S上才是滑动模态区。我们的任务是寻求控制，包括确定矩阵C，使得：（1）任一轨线均到达0S；（2）0S存在良好的滑动模态。控制（1-17）的确能生成变结构控制使得0S上有滑动模态区，而0S外没有，从而可能形成最终滑动模态控制，但是要满足上述两个条件往往是不够的，应该再增加一线性控制部分，令CxCxuLxxuxuxuxuNLNL,)()()()(（1-18）可以看到：（1）LxuL是一线性反馈，它将改变系统（1-16）的动力学，即0S以外部分的运动过程。因为0S以外系统是连续系统，没有什么切换面、滑动模态，用Lx改变其性能正像线性系统中所研究的状态反馈一样。（2）变结构控制CxCx可以产生滑动运动，保证到达条件。（3）阵C保证滑动模态的动态特性良好。如上所述，对于更一般的最终滑模控制系统，控制输入由线性状态反馈系统项和非线性状态反馈控制项两部分组成。将式（1-18）改写如下CxCxtxKLxxuxuxuNL),()()()(（1-19）利用式（1-3）的等效控制法，取CACBL1)(，则)(xuL就是等效控制equ，由此上式可写成CxCxtxKCAxCBxu),()()(1（1-20）选取李亚普诺夫函数ssxVT21)(（1-21）对上式微分，并利用式（1-2），得到CBusCAxsssxVTTT)(（1-22）7将式（1-20）代入上式得0),()(2ssCBtxKxV（1-23）即当0),(CBtxK时，就能实现稳定的滑模运动。最终滑动模态的一个很大的优点是：不连续控制可以连续化以消除自振（抖振），效果是很好的。4.系统设计及仿真考虑下面的简单二阶系统uxxx25.0（1-24）状态空间方程可表示为uxxxxx2122125.0（1-25）为设计最优切换函数，选取下面的优化指标dtxxQQQQxxJt2122211211211),(21（1-26）黎卡提方程为0)()(2122212111212212112122212QQQpQQAApQA（1-27）将1,25.0,1,022211211AAAA带入方程（1-27）并选取3/1,0,1221211QQQ，可以得到黎卡提方程的解为：58.03/1p将P=0.58带入式222112),(QQPACT（1-28）可以得到切换函数为074.1)(21xxts（1-29）设计最终滑模控制器，由式（1-20）带入得控制函数)74.1sgn(74.025.0),()()(21211xxKxxCxCxtxKCAxCBxu（1-30）利用MALAB/Simulink构建滑模变结构控制模型：8当K=2时；仿真结果控制输入ux1X2相图4.滑模的抖振注：抖振现象是非线性振动的产物，作为控制系统的稳态，抖振常常是十分有害的，因为（1）给系统带来误差（2）不停地消耗能量（3）可能激发起系统的振荡，这发生在两种情况之下：系统的结构有这样的固有频率，或在建模中被忽略的动力学，即寄生参数表达的动力学系统，若其固有频率和抖振频率相近，就可能被激发，除了上述同类激发外，在非线性系统中还有可能出现异步激励，组合振荡等复杂现象滑模变结构控制的抖振9对于变结构控制系统，在理论上讲，当系统发生滑动模态时，系统状态保持在切换流形上运动，这种滑动模称为理想的滑动模。滑动模态运动方程通常采用等效控制方法来确定，而不需要去求极限。但在实际系统由于惯性、执行机构的切换滞后等非理想因素的存在，系统的轨线不可能保持在切换流形上运动，而是在切换流形的附近来回抖动，这种滑动模称为实际滑动模，理想滑动模和实际滑动模总是存在一定的偏差。1.惯性引起滞后的原因变结构控制中常常发生抖振，其出现主要依赖于执行机构的物理过程：从切换函数S(x)到产生控制力（力矩），这个力（力矩）加在控制对象上使它产生运动的变化。切换函数S(x)是弱电信号，要产生力（力矩）)(xu,有多种办法，如电、磁、液等装置或它们间的组合，我们分析一个常用的办法。电压信号S(x)作为控制信号加到电机的励磁线路上，控制电流的变化，从而改变力矩)(xu的大小。目前继电控制部分可以做到期望的准确性，但是电流、机械部分的变化过程中，惯性如质量和电感等必然引起一个动态过程，速度和电流的变化不可能是瞬间发生的，即不可能产生不连续的变化。换句话说，它们的任何突变只是理论上的，而实际上，惯性必然引起一个滞后的变化。两种滞后模型（1）空间滞后模型函数)(sHys的数学定义为