黄昆固体物理ppt

例题与习题——固体物理黄昆《固体物理学》例题与习题1.3证明：体心立方晶格的倒格子是面心立方面心立方晶格的倒格子是体心立方由倒格子定义2311232aabaaaπ×=⋅×vvvvvv3121232aabaaaπ×=⋅×vvvvvv1231232aabaaaπ×=⋅×vvvvvv——体心立方格子原胞基矢)(2),(2),(2321kjiaakjiaakjiaavvvvvvvvvvvv+−=+−=++−=例题与习题——固体物理黄昆——倒格子基矢231123022()()22aaaabijkijkaaavππ×==⋅−+×+−⋅×vvvvvvvvvvvv202()()4aijkijkvπ=⋅−+×+−vvvvvv)(2kjavv+=π同理)(22321132kiaaaaaabvvrrrvvv+=×⋅×=ππ32()bijaπ=+vvv可见由为基矢构成的格子为面心立方格子321,,bbbvvv——例题与习题——固体物理黄昆面心立方格子原胞基矢123()/2()/2()/2aajkaakiaaij=+=+=+vvvvvvvvv倒格子基矢2311232aabaaaπ×=⋅×vvvvvv)(21kjiabvvvv++−=π同理)(22kjiabvvvv+−=π)(23kjiabvvvv+−=π可见由为基矢构成的格子为体心立方格子321,,bbbvvv——例题与习题——固体物理黄昆1.4证明倒格子原胞体积其中v0为正格子原胞体积03(2)vπ倒格子基矢2311232aabaaaπ×=⋅×vvvvvv3121232aabaaaπ×=⋅×vvvvvv1231232aabaaaπ×=⋅×vvvvvv倒格子体积*0123()vbbb=⋅×vvv3*023311230(2)()()()vaaaaaavπ=×⋅×××vvvvvv3*00(2)vvπ=例题与习题——固体物理黄昆1.5证明：倒格子矢量垂直于密勒指数为的晶面系332211bhbhbhGvvvv++=)(321hhh33223311,hahaCBhahaCAvvvv−=−=——容易证明00321321=⋅=⋅CBGCAGhhhhhhvv与晶面系正交332211bhbhbhGvvvv++=)(321hhhijjibaπδ2=⋅vv例题与习题——固体物理黄昆1.6如果基矢构成简单正交系证明晶面族的面间距为说明面指数简单的晶面，其面密度比较大，容易解理c,b,avvv)(hkl2221/()()()hkldabc=++简单正交系cbavvv⊥⊥kcajbaiaavvvvvv===321,,倒格子基矢2311232aabaaaπ×=⋅×vvvvvv3121232aabaaaπ×=⋅×vvvvvv1231232aabaaaπ×=⋅×vvvvvv例题与习题——固体物理黄昆kcbjbbiabvvvvvvπππ2,2,2321===倒格子矢量321blbkbhGvvvv++=222hikjlkabcπππ=++vvv晶面族的面间距)(hklGdvπ2=2221/()()()hklabc=++——面指数越简单的晶面，其晶面的间距越大晶面上格点的密度越大，这样的晶面越容易解理倒格子基矢例题与习题——固体物理黄昆1.9指出立方晶格(111)面与(100)面(111)面与(110)面的交线的晶向(111)面与(100)面的交线的ABABajak=−+uuurvv——晶向指数——AB平移，A与O点重合BRajak=−+vvv(111)面与(100)面的交线的晶向[011]B点位矢例题与习题——固体物理黄昆(111)面与(110)面的交线的ABABaiaj=−+uuurvv——晶向指数——将AB平移，A与原点O重合，B点位矢BRaiaj=−+vvv(111)面与(110)面的交线的晶向[110]例题与习题——固体物理黄昆补充习题01做出简单立方晶格、面心立方晶格和体心立方晶格的维格纳—塞茨原胞(Wingner-Seitz)维格纳—塞茨原胞：选取某一个格点为中心，做出昀近各点和次近各点连线的中垂面，这些所包围的空间二维格子维格纳—塞茨原胞例题与习题——固体物理黄昆简单立方晶格维格纳——塞茨原胞原点和6个近邻格点连线的垂直平分面围成的立方体例题与习题——固体物理黄昆面心立方格子维格纳——塞茨原胞原点和12个近邻格点连线的垂直平分面围成的正十二面体例题与习题——固体物理黄昆体心立方格子原点和8个近邻格点连线的垂直平分面围成的正八面体沿立方轴的6个次近邻格点连线的垂直平分面割去八面体的六个角，形成的14面体——八个面是正六边形,六个面是正四边形例题与习题——固体物理黄昆维格纳——塞茨原胞——14面体——八个面正六边形——六个面正四边形例题与习题——固体物理黄昆2.1证明两种一价离子组成一维晶格的马德隆常数2ln2=α马德隆常数∑++−−=++321321,,2/1232221)()1('nnnnnnnnnα——对一维一价离子，选定某一个离子为参考离子，假定离子数目很大，参考离子左右两边各有一个异号离子∑−−=nnn)1('α])1(615141312111[2NN−++−+−+−−=Lα∞→N2ln2=α当——一维一价离子例题与习题——固体物理黄昆2.3若一晶体两个离子之间的相互作用能可以表示为nmrrruβα+−=)(计算1)平衡间距r02)结合能W（单个原子的）3)体弹性模量4)若取计算的值βα,eVWnmrnm4,3.0,10,20====例题与习题——固体物理黄昆1)平衡间距r0的计算平衡条件)(2)(nmrrNrUβα+−=00==rrdrdU01010=+−++nmrnrmβα2)单个原子的结合能01()2Wur=−1(1)()2mnmmnWnmβαα−−=−mnmnr−=10)(αβ晶体内能00()()mnrrurrrαβ==−+例题与习题——固体物理黄昆3)体弹性模量0220)(VVUKV⋅∂∂=晶体的体积3NArV=——A为常数，N为原胞数目VrrUVU∂∂∂∂=∂∂1121()23mnNmnrrNArαβ++=−221121[()]23mnUNrmnVVrrrNArαβ++∂∂∂=−∂∂∂)(2)(nmrrNrUβα+−=晶体内能例题与习题——固体物理黄昆][91200020220220nmnmVVrnrmrnrmVNVUβαβα+−+−=∂∂=031)(22010100=−=∂∂++=NArrnrmNVUnmVVβαnmrnrm00βα=体弹性模量0220)(VVUKV⋅∂∂=由平衡条件][912020220220nmVVrnrmVNVUβα+−=∂∂=例题与习题——固体物理黄昆][9120020220nmVVrnnrmmVNVUβα+−=∂∂=][920020nmrrVnmNβα+−−=nmrnrm00βα=)(2000nmrrNUβα+−=)(9020220UVmnVUVV−=∂∂=009VmnUK=体弹性模量0220)(VVUKV⋅∂∂=][912020220220nmVVrnrmVNVUβα+−=∂∂=例题与习题——固体物理黄昆4)若取计算的值eVWnmrnm4,3.0,10,20====βα,mnmnr−=10)(αβ1(1)()2mnmmnWnmβαα−−=−1002rW=β]2[10020Wrr+=βα95101.1810eVmβ−=×⋅1929.010eVmα−=×⋅nmrnrm00βα=例题与习题——固体物理黄昆*2.01已知有N个离子组成的NaCl晶体，其结合能为现以来代替排斥项，且当晶体处于平衡时，这两者对互作用势能的贡献相同，试求n和ρ的关系。20()()24nNeUrrrαβπε=−+ρrce−nrβ将结合能在平衡位置处展开L+−∂∂+==)()()()(000rrrUrUrUrr例题与习题——固体物理黄昆)4(2)('02ρπεαrcereNrU−+−=以代替后ρrce−0nrβL+−∂∂+==)()'()(')('000rrrUrUrUrr根据题意)(')(00rUrU=结合能0)'()(00=∂∂=∂∂==rrrrrUrU00rncerρβ−=010rnncerρβρ−+=例题与习题——固体物理黄昆ρβ00rncer−=010rnncerρβρ−+=ρnr=01()nencβρ=两式相比n和ρ的关系例题与习题——固体物理黄昆3.2讨论N个原胞的一维双原子链(相邻原子间距为a)其2N个格波解，当M=m时与一维单原子链结果一一对应质量为M的原子位于2n-1，2n+1，2n+3……。质量为m的原子位于2n，2n+2，2n+4……。例题与习题——固体物理黄昆)2()2(2221212121222nnnnnnnnMmμμμβμμμμβμ−−−=−−−=+++−+&&&&牛顿运动方程——体系有N个原胞，有2N个独立的方程例题与习题——固体物理黄昆])12([12])2([2aqntinqnatinBeAe+−+−==ωωμμ方程的解)2()2(2221212121222nnnnnnnnMmμμμβμμμμβμ−−−=−−−=+++−+&&&&22(2)(2cos)0(2cos)(2)0mAaqBaqAMBβωβββω⎧−−=⎪⎨−+−=⎪⎩A,B有非零解02cos2cos2222=−−−−ωβββωβMaqaqm例题与习题——固体物理黄昆12222()4{1[1sin]}()mMmMaqmMmMωβ+=±−+——两种不同的格波的色散关系1222212222()4{1[1sin]}()()4{1[1sin]}()mMmMaqmMmMmMmMaqmMmMωβωβ+−+=+−++=−−+——对应一个q有两支格波：一支声学波和一支光学波——总的格波数目为2N例题与习题——固体物理黄昆1222212222()4{1[1sin]}()()4{1[1sin]}()mMmMaqmMmMmMmMaqmMmMωβωβ+−+=+−++=−−+Mm=4cos24sin2aqmaqmβωβω+−==例题与习题——固体物理黄昆长波极限情况下0→q2)2sin(qaqa≈(2)qmβω−=4cos24sin2aqmaqmβωβω+−==——与一维单原子晶格格波的色散关系一致例题与习题——固体物理黄昆/2a3.3质量相同两种原子形成一维双原子链，昀近邻原子间的力常数交错等于和，并且昀近邻间距1)求出色散关系和分析计算处格波的频率值2)大致画出色散关系图1cβ=210cβ=0,qqaπ==绿色标记的原子位于2n-1，2n+1，2n+3……红色标记原子位于2n，2n+2，2n+4……例题与习题——固体物理黄昆——第2n个原子和第2n＋1个原子的运动方程212222112121122112222()()nnnnnnnnmmμββμβμβμμββμβμβμ+−+++=−+++=−+++&&&&1[(2)]221[(21)]221itnaqnitnaqnAeBeωωμμ−−++==——体系N个原胞，有2N个独立的方程——方程的解令221122/,/mmωβωβ==例题与习题——固体物理黄昆11222222212121122222221212()()0()()0iaqiaqiaqiaqAeeBeeABωωωωωωωωωω−−+−−+=+−+−=11222222212121122222221212(),()(),()0iaqiaqiaqiaqeeeeωωωωωωωωωω−−+−−+++−=−1111222222222222121212()()0()iaqiaqiaqiaqeeeeωωωωωωω−−+−−+=+——A、B有非零的解，系数行列式满足例题与习题——固体物理黄昆1111222222222222121212()()0()iaqiaqiaqiaqeeeeωωωωωωω−−+−−+=+——1cβ=210cβ=2222012010,10ccmmωωωω====22244000(11)20(10c01)osaqωωωω−−=220(1120cos101)qaωω=±+——两种色散关系例题与习题——固体物理黄昆220(1