数理经济学-chp1

数理经济学MathematicalEconomics天津工业大学经济学院[e-mail][e-mail]使用教材•李晓春编著，《数理经济学》，北京大学出版社，2006年第一版。•〔美〕蒋中一:《数理经济学的基本方法》，刘学译秦宛顺校商务印书馆，1999年•WALTERBOSSERT：IntroductiontoMathematicalEconomics（英文版）需具备的前提知识就初级数理经济学而言，需要具备：1微观经济学；2高等数学数理经济学的几种定义•数理经济学是“西方资产阶级经济学在理论研究中运用数学方法进行陈述和推理的一个分支科学——中国大百科全书—经济学卷•数理经济学是“包括数学理论和方法在经济理论中的各种应用”——数理经济学手册•数理经济学“仅是一种经济分析的方法，是经济学家利用数学符号描述经济问题，运用已知数学定理进行推理的一种方法”——数理经济学的基本方法，[美]蒋中一，1999Mathematicalvs.Non-MathematicalEconomics•Theobjectiveofmathematicaleconomicsistoderiveasetofconclusions(ortheories)fromagivensetofassumptionsviaaprocessof“reasoning”thatisstatedandconductedmathematically(example:tomaximizeprofits,acompetitivefirmmustsetmarginalrevenueequaltomarginalcost)•Itusesmathematicalsymbolsinsteadofwords,equationsratherthansentencesandtheoremsinplaceofliteraryargumentsMathematicalEconomicsvs.Econometrics•Mathematicaleconomicsreferstotheapplicationofmathematicstothepurelytheoreticalaspectsofeconomicanalysis,withlittleconcernaboutstatisticalissues(example:howtocalculatetheelasticityofalineardemandfunction)•Econometricsismainlyconcernedwiththestatisticalanalysisofeconomicdata,estimatingrelationsandtestinghypothesis(example:howtoestimatethecoefficientsofalineardemandfunction,andtotestifithasanegativepriceslope)数理经济学的起源•1883年法国经济学家A.A.Cournot(1801—1877）出版《财富理论数学原理的研究》奠定了数理经济学的基础。•但古诺的数理经济学的思想直到19世纪70年代“边际革命”出现后才得到应有的重视。第一章集合与向量本章主要内容：首先给出集合概念集合间的关系以及基本标记方法。集合论不但是数学的基础理论，也是研究经济理论的重要工具。其次将说明向量空间的概念，并对凸集合和凸凹函数的定义。§1.1集合－定义DefinitionAsetisacollectionofobjectssuchthat,foreachobjectunderconsideration,theobjectiseitherinthesetornotintheset,andeachobjectappearsatmostonceinagivenset.•其中的object被称为集合中的元素（element）,集合的通用表示形式为：Ｘ＝｛ｘ｜ｘ是……｝§1.1集合－定义•集合和元素的关系是隶属关系，记为：xX或xX“没有任何元素的集合”称为空集（emptyset）,记为，因此={}•集合之间的关系是包含和相等关系aA,都有aB，那么AB,或者BA此时称A为B的“子集”如果AB,同时BA，则记为A＝B§1.1集合－举例21.1{xy1}12例(x,y)|＋＝表示以原点为中心，半径为的圆周上点的全体。1.2例{x|u(x）=}表示消费者的效用值为的商品组合的全体,即为一条效用值为的无差别曲线。§1.1集合－运算AB{x|xA,xB}并：＝或AB{x|xA,xB}交：＝且AB{x|xA,xB}差：\＝但cA{x|xA}余：＝§1.1集合－运算§1.1集合－运算举例§1.1集合－运算律ABBAABBA;交换律：＝，＝ABCABCABCAC结合律：（）＝（）,（）＝（B）;ABCACBCABCACBC分配律：(）＝（）（）,（）＝（）（）;定理(Theorem)1.1.1§1.1集合－证明分配律ABCACBC求证（）＝（）（）xABCxABxC证（），则且，xAxBxC从而，或，且，xAxCxBxC这就是说，，且，或，且，xACBC即（）（），ABCACBC所以（）（）（）。xACBC另一方面，（）（），xACxBC则，或。xCxAxBxABC从而,且或，即（），ACBCABC（）（）（）。ACBCABC因此（）（）＝（）。§1.1集合－De.Morgan法则•指标集合（indexset）设表示指标集合，，有对应的集合定义它们的交集和并集AX{|,}AaaA对所以的{|,}AaaA对某个DeMorgen对偶原理（定理1.1.2）：（－法则）1\(\)(2)\(\)XAXAXAXA（）§1.1集合－De.Morgan法则证明X\AA(X\A)(X\A)X\A(X(1)x(xXxxXxA,xxx(xxxAx\A)(X\A))X\AXAX\A(X\A)xX\A(只证明)，，)§1.1集合－实数集合的上界和下界•集合是有界数集•集合是无界数集),(,sinxxyyE)1,0(,1xxyyE§1.1集合－实数集合的上确界和下确界•如则•公理1.1.1.),0(,sinxxyyE._______inf______,supSS通俗的说，数集A的上确界是A的最小上界；数集A的下确界是A的最大下界。§1.1集合－映射函数关系•设有两个集合X和Y，在某种法则下将集合X的各点与集合Y中的点对应起来，则称这种对应是从集合X到集合Y的“映射”（mapping）.记为f:XY•点对点（Ｐ２Ｐ）相对应的映射称为函数（function）•点对集合取值的映射称为关系（relation），记为R§1.1集合－函数关系一例古典经济学家遵循萨伊定律，认为价格和工资有完全的灵活性，而总供给量却是不变的。无论价格怎样变化，只是引起名义国民收入的变化，实际国民收入或总产量是不变的。因此，总供给曲线是一条垂线。Q0ASQ*P（1）.古典经济学（2）.凯恩斯本人凯恩斯认为，由于存在着工会，工资失去了完全的灵活性，工人受到名义工资的蒙蔽（即受到货币变量的蒙蔽），不愿意接受低工资，因此使得物价水平也具有刚性。形成了直角形的总供给曲线。PQ0ASQ*（3）.新古典综合派新古典综合派接受了凯恩斯的观点，只是略做修改。总供给曲线就在充分就业点形成了一个肘弯。0PQ0ASQ*§1.1集合－函数图形说明§1.2向量空间-n维向量（vector）•由个实数组成的有序元素组称为n维向量，表示如下：•上面的向量是列向量，实际是n行1列的矩阵•将行向量的元素横向排列便得到转置（transpose）向量•特殊向量－－零向量0•所有n维向量组成的集合称为n维向量空间，记为•特殊向量空间：R为实数集合；为二维平面；为三维空间12,nxxxx12[,,,]TnxxxxnR2R3R§1.2向量空间－－几何表示§1.2向量空间－向量运算•定义四种运算1112221122,(1),[,]()nnnnnxyaxxyaxxyaxxyaxxyxyxyxyxyxyxy内积§1.2向量空间－定理1.2.1•Theorem1.2.1Letn∈N,letα,β∈R,andletx,y,z∈.•(i)x+y=y+x,•(ii)(x+y)+z=x+(y+z),•(iii)α(βx)=(αβ)x,•(iv)(α+β)x=αx+βx,•(v)α(x+y)=αx+αy.•Theproofofthistheoremisleftasanexercise.nR集合的加减运算•对于2个n维向量空间的子集合实数，则对集合的加减运算如下定义：并将集合X＋Y称为“向量（集合）的和”X－Y称为“向量（集合）的差”,nXYRR{|,,}{|,,}{|,}nnnXYzRzxyxRyRXYzRzxyxRyRXzRzxxR§1.2向量空间－向量关系•设x,y∈对于所有的i，都有，则称两向量相等，记为x=y，则称向量x大于等于y，记为xy，则称向量x大于y，记为xy根据上述向量关系，定义空间的两个子集前者是“非负象限”，后者是“正象限”nRiixyiixyiixynR{|0},{|0}nnnnRxRxRxRx§1.2向量空间--向量关系:区间和锥（略）§1.2向量空间-－凸集合严格凸集合凸集合非凸集合§1.2向量空间—定理1.2.2•对于2个子集合X,Y,实数，则定义•定理1.2.2：对于2个子集合X,Y,实数如果X，Y为凸集合，则X+Y,X–Y,aX都是凸集合nRaR{|,,}{|,,}{|,}nnnXYzRzxyxXyYXYzRzxyxXyYaXzRzaxxXnRaR§1.2向量空间—凸函数凹函数§1.2向量空间—凸函数凹函数图示（严格）凸函数（严格）凹函数§1.2向量空间—凸函数凹函数图示§1.2向量空间—拟凸函数拟凹函数:,.nfURURU设函数凸集合若对中任意两点x,x和任意[0,1],如果有：[(1)]min{(),()}fxxfxfxf则称为拟凹函数（quasiconcavefunction）[(1)]max{(),()}fxxfxfxf则称为拟凸函数（quasiconvexfunction）如果有：如果不等式严格成立，则分别称为严格拟凹函数和严格拟凸函数§1.2向量空间—拟凹函数图例§1.2向量空间—拟凹函数和凹函数关系§1.2向量空间—拟凹函数和凹函数关系§1.2向量空间—拟凸函数和凸函数关系§1.2向量空间—拟凹函数举例§1.2向量空间—拟凹函数举例