高三步步高大一轮复习课件：6.1数列的概念与简单表示法

第六章数列§6.1数列的概念与简单表示法基础知识自主学习要点梳理1．数列的定义按照排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．一定顺序2．数列的分类分类原则类型满足条件有穷数列项数按项数分类无穷数列项数递增数列an＋1an递减数列an＋1an按项与项间的大小关系分类常数列an＋1＝an其中n∈N*有界数列存在正数M，使|an|≤M按其他标准分类摆动数列an的符号正负相间，如1，－1,1，－1，…有限无限3.数列的表示法数列有三种表示法,它们分别是、和．4．数列的通项公式如果数列{an}的第n项an与之间的关系可以用一个公式an＝f(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．5．已知Sn，则an＝(n＝1)(n≥2).数列{an}中，若an最大，则an≥，an≥.若an最小，则an≤，an≤.列表法图象法解析法序号nS1Sn－Sn－1an－1an＋1an－1an＋1[难点正本疑点清源]1．对数列概念的理解(1)数列是按一定“次序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关，这有别于集合中元素的无序性．因此，若组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的两个数列．(2)数列中的数可以重复出现，而集合中的元素不能重复出现．(3)数列的项与项数：数列的项与项数是两个不同的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号．2．数列的函数特征数列是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1,2,3，…，n})的特殊函数，数列的通项公式也就是相应的函数解析式，即f(n)＝an(n∈N*)．基础自测1．已知数列{an}的前4项为1,3,7,15，写出数列{an}的一个通项公式为__________．解析1,3,7,15分别都加上一个1，则为2,4,8,16，∴通项公式不难发现为an＝2n－1.an＝2n－12．已知数列2，5，22，…，根据数列的规律，25应该是该数列的第________项．解析原数列可写成2、5、8、……∵25＝20，∴20＝2＋(n－1)×3，∴n＝7.73．下列对数列的理解有四种：①数列可以看成一个定义在N*(或它的有限子集{1,2,3，…，n})上的函数；②数列的项数是有限的；③数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点；④数列的通项公式是惟一的．其中说法正确的所有序号是________．解析由数列与函数的关系知①对，③对，由数列的分类知②不对，数列的通项公式不是惟一的，④不对．①③4．(2010·安徽)设数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a8的值为()A．15B．16C．49D．64解析由于Sn＝n2，∴a1＝S1＝1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1.∴an＝2n－1，∴a8＝2×8－1＝15.A5．在数列{an}中，a1＝1，a2＝5，an＋2＝an＋1－an(n∈N*)，则a100等于()A．1B．－1C．5D．－5解析方法一由a1＝1，a2＝5，an＋2＝an＋1－an(n∈N*)可得该数列为1,5,4，－1，－5，－4,1,5,4，….由此可得a100＝－1.方法二an＋2＝an＋1－an，an＋3＝an＋2－an＋1，两式相加可得an＋3＝－an，an＋6＝an，∴a100＝a16×6＋4＝a4＝－1.B题型分类深度剖析题型一由数列的前几项求数列的通项例1根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：(1)－1,7，－13,19，…(2)0.8,0.88,0.888，…(3)12，14，－58，1316，－2932，6164，…(4)32，1，710，917，…(5)0,1,0,1，…思维启迪：先观察各项的特点，然后归纳出其通项公式，要注意项与项数之间的关系，项与前后项之间的关系．解(1)符号问题可通过(－1)n或(－1)n＋1表示，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6，故通项公式为an＝(－1)n(6n－5)．(2)将数列变形为89(1－0.1)，89(1－0.01)，89(1－0.001)，…，∴an＝891－110n.(3)各项的分母分别为21,22,23,24，…易看出第2,3,4项的分子分别比分母少3.因此把第1项变为－2－32，原数列可化为－21－321，22－322，－23－323，24－324，…，∴an＝(－1)n·2n－32n.(4)将数列统一为32，55，710，917，…对于分子3,5,7,9，…，是序号的2倍加1，可得分子的通项公式为bn＝2n＋1，对于分母2,5,10,17，…联想到数列1,4,9,16，…即数列{n2}，可得分母的通项公式为cn＝n2＋1，因此可得它的一个通项公式为an＝2n＋1n2＋1.(5)an＝0(n为奇数)1(n为偶数)或an＝1＋(－1)n2或an＝1＋cosnπ2.探究提高(1)据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项符号特征等，并对此进行归纳、联想．(2)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想，由不完全归纳得出的结果是不可靠的，要注意代值检验，对于正负符号变化，可用(－1)n或(－1)n＋1来调整．变式训练1写出下面各数列的一个通项公式：(1)12，34，78，1516，3132，…(2)－1，32，－13，34，－15，36，…(3)23，－1，107，－179，2611，－3713，…解(1)每一项的分子比分母少1，则分母组成数列21,22,23,24，…，所以an＝2n－12n.(2)奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含因子(－1)n；各项绝对值的分母组成数列1,2,3,4，…；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3，即奇数项为2－1，偶数项为2＋1，所以an＝(－1)n·2＋(－1)nn.也可写为an＝－1n(n为正奇数)3n(n为正偶数).(3)偶数项为负，奇数项为正，故通项公式必含因子(－1)n＋1，观察各项绝对值组成的数列，从第3项到第6项可见，分母分别由奇数7,9,11,13组成，而分子则是32＋1,42＋1,52＋1,62＋1，按照这样的规律第1、2两项可改写为12＋12＋1，－22＋12×2＋1，所以an＝(－1)n＋1·n2＋12n＋1.题型二由an与Sn的关系求通项an例2已知各项均为正数的数列{an}的前n项和满足Sn1，且6Sn＝(an＋1)(an＋2)，n∈N*.求{an}的通项公式．思维启迪：由已知条件求出a1，再利用关系式an＋1＝Sn＋1－Sn，求出an＋1与an的关系，进而求出通项公式．解由a1＝S1＝16(a1＋1)(a1＋2)，解得a1＝1或a1＝2，由已知a1＝S11，因此a1＝2.又由an＋1＝Sn＋1－Sn＝16(an＋1＋1)(an＋1＋2)－16(an＋1)(an＋2)，得an＋1－an－3＝0或an＋1＝－an.因an0，故an＋1＝－an不成立，舍去．因此an＋1－an－3＝0.即an＋1－an＝3，从而{an}是公差为3，首项为2的等差数列，故{an}的通项为an＝3n－1.探究提高(1)已知{an}的前n项和Sn，求an时应注意以下三点：①应重视分类讨论的应用，分n＝1和n≥2两种情况讨论；特别注意an＝Sn－Sn－1中需n≥2.②由Sn－Sn－1＝an推得的an，当n＝1时，a1也适合“an式”，则需统一“合写”．③由Sn－Sn－1＝an推得的an，当n＝1时，a1不适合“an式”，则数列的通项公式应分段表示(“分写”)，即an＝S1(n＝1)，Sn－Sn－1(n≥2).(2)利用Sn与an的关系求通项是一个重要内容，应注意Sn与an间关系的灵活运用．变式训练2已知数列{an}的前n项和是Sn，满足Sn＝2an－1.求数列{an}的通项．解当n＝1时，S1＝2a1－1＝a1，∴a1＝1.当n≥2时，Sn－1＝2an－1－1，an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1.∴an＝2an－1.∴数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列．∴an＝2n－1.题型三已知数列的递推公式求前n项或通项公式例3根据下列条件，确定数列{an}的通项公式．(1)a1＝1，an＋1＝3an＋2；(2)a1＝1，an＝n－1nan－1(n≥2)；(3)已知数列{an}满足an＋1＝an＋3n＋2，且a1＝2，求an.思维启迪：(1)可用构造等比数列法求解．(2)可转化后利用累乘法求解．(3)可利用累加法求解．解(1)∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)，∴an＋1＋1an＋1＝3，∴数列{an＋1}为等比数列，公比q＝3，又a1＋1＝2，∴an＋1＝2·3n－1，∴an＝2·3n－1－1.(2)∵an＝n－1nan－1(n≥2)，∴an－1＝n－2n－1an－2，…，a2＝12a1.以上(n－1)个式子相乘得an＝a1·12·23·…·n－1n＝a1n＝1n.(3)∵an＋1－an＝3n＋2，∴an－an－1＝3n－1(n≥2)，∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝n(3n＋1)2(n≥2)．当n＝1时，a1＝12×(3×1＋1)＝2符合公式，∴an＝32n2＋n2.探究提高已知数列的递推关系，求数列的通项时，通常用累加、累乘、构造法求解．当出现an＝an－1＋m时，构造等差数列；当出现an＝xan－1＋y时，构造等比数列；当出现an＝an－1＋f(n)时，用累加法求解；当出现anan－1＝f(n)时，用累乘法求解．变式训练3根据下列各个数列{an}的首项和基本关系式，求其通项公式．(1)a1＝1，an＝an－1＋3n－1(n≥2)；(2)a1＝2，an＋1＝an＋ln1＋1n.解(1)∵an＝an－1＋3n－1(n≥2)，∴an－1＝an－2＋3n－2，an－2＝an－3＋3n－3，……a2＝a1＋31.以上(n－1)个式子相加得an＝a1＋31＋32＋…＋3n－1＝1＋3＋32＋…＋3n－1＝3n－12.(2)∵an＋1＝an＋ln1＋1n，∴an＋1－an＝ln1＋1n＝lnn＋1n.∴an－an－1＝lnnn－1，an－1－an－2＝lnn－1n－2，……a2－a1＝ln21，∴an－a1＝lnnn－1＋lnn－1n－2＋…＋ln21＝lnn.又a1＝2，∴an＝lnn＋2.题型四数列的性质例4已知数列{an}的前n项和Sn＝－n2＋24n(n∈N*)．(1)求{an}的通项公式；(2)当n为何值时，Sn达到最大？最大值是多少？思维启迪：(1)可借助an与Sn的关系求得通项公式；(2)因为Sn是关于n的一元二次函数，故可利用函数的观点解决．解(1)n＝1时，a1＝S1＝23.n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－n2＋24n＋(n－1)2－24(n－1)＝－2n＋25.经验证，a1＝23符合an＝－2n＋25，∴an＝－2n＋25(n∈N*)．(2)方法一∵Sn＝－n2＋24n，∴n＝12时，Sn最大且Sn＝144.方法二∵an＝－2n＋25，∴an＝－2n＋250，有n252.∴a120，a130，故S12最大，最大值为144.探究提高(1)因为数列可以看作是一类特殊的函数，因而数列也具备一般函数应具备的性质．(2)求数列的最大(小)项，一般可以先研究数列的单调性，可以用an≥an－1an≥an＋1或an≤an－1an≤an＋1，也可以转化为函数最值问题或利用数形结合．变式训练4已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4.(1)数列中有多少项是负数？(2)n为何值时，an有最小值？并求出最小值．解(1)由n2－5n＋40，解得1n4.∵n∈N*，∴n＝2,3