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第1页（共14页）2016-2017学年江苏省南通中学高二（上）期中数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．“直线l在平面α内”用数学符号表示为．2．若△ABC在平面α外，它的三条边所在的直线分别交α于P、Q、R，则点Q直线PR（用符号表示它们的位置关系）．3．直线y=x+m的倾斜角为．4．长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线AB，A1D1所成的角等于．5．点P（m2，5）与圆x2+y2=24的位置关系是．6．棱长都是1的三棱锥的表面积为．7．已知{（x，y）|ax+y+b=0}∩{（x，y）|x+y+1=0}=∅，则a，b所满足的条件是．8．两直线l1：ax+2y+b=0；l2：（a﹣1）x+y+b=0．若l1∥l2，且l1与l2的距离为，则a•b=．9．不论m取什么实数，直线（2m﹣1）x﹣（m+3）y﹣（m﹣11）=0恒过定点．10．如图，在三棱柱A1B1C1﹣ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥F﹣ADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1﹣ABC的体积为V2，则V1：V2=．11．光线从点M（﹣2，3）射到x轴上一点P（1，0）后被x轴反射，求反射光线所在直线的方程．12．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是．①若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α∥β；②若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥n；③若m⊥α，n∥β，α∥β，则m⊥n；④若m∥n，m∥α，n∥β，则α∥β．13．已知两点A（﹣1，0）、B（0，2），点P是圆（x﹣1）2+y2=1上任意一点，则•的最大值是．14．已知圆O：x2+y2=4与曲线C：y=3|x﹣t|，曲线C上两点A（m，n），B（s，p）（m、n、s、p均为正整数），使得圆O上任意一点到点A的距离与到点B的距离之比为定值k（k＞1），则ms﹣np=．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（1）过原点作直线l的垂线，若垂足为A（﹣2，3），求直线l的方程；（2）三角形三个顶点是A（4，0），B（6，7），C（0，3），求AB边上的高所在的直线方程．16．求经过P（﹣2，4）、Q（3，﹣1）两点，并且在x轴上截得的弦长为6的圆的方程．第2页（共14页）17．如图，在三棱锥S﹣ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS=AB，过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点．求证：（1）平面EFG∥平面ABC；（2）BC⊥SA．18．如图，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆．经测量，点A位于点O正北方向60m处，点C位于点O正东方向170m处（OC为河岸），tan∠BCO=．（1）当点M与A重合时，求圆形保护区的面积；（2）若古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m．当OM多长时，点M到直线BC的距离最小？19．如图，在棱长均为4的三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D、D1分别是BC和B1C1的中点．（1）求证：A1D1∥平面AB1D；（2）若平面ABC⊥平面BCC1B1，∠B1BC=60°，求三棱锥B1﹣ABC的体积．20．在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2+y2=1，P为直线l：x=上一点．第3页（共14页）（1）若点P在第一象限，且OP=，求过点P圆O的切线方程；（2）若存在过点P的直线交圆O于点A，B，且B恰为线段AP的中点，求点P纵坐标的取值范围；（3）设直线l动点Q，⊙Q与⊙O相外切，⊙Q交L于M、N两点，对于任意直径MN，平面上是否存在不在直线L上的定点A，使得∠MAN为定值？若存在，直接写出点A的坐标；若不存在，请说明理由．第4页（共14页）2016-2017学年江苏省南通中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．“直线l在平面α内”用数学符号表示为l⊂．【考点】平面的基本性质及推论．【分析】由题意，由于直线与面之间的关系两个点集之间的关系，故易得“直线l在平面α内”用数学符号表示【解答】解：“直线l在平面α内”用数学符号表示为“l⊂α”故答案为l⊂α2．若△ABC在平面α外，它的三条边所在的直线分别交α于P、Q、R，则点Q∈直线PR（用符号表示它们的位置关系）．【考点】平面的基本性质及推论．【分析】通过证明这三点是两个相交平面的公共点，证明三点共线，从而得解．【解答】解：由已知条件易知，平面α与平面ABC相交．设交线为l，即l=α∩面ABC．如图：设P∈AB，则P∈面ABC．又P∈AB∩α，则P∈α，即P为平面α与面ABC的公共点，∴P∈l．同理可证点R和Q也在交线l上．故P、Q、R三点共线于l，即Q∈直线PR．故答案为：∈．3．直线y=x+m的倾斜角为．【考点】直线的倾斜角．【分析】设直线的倾斜角为α，α∈[0，π），则tanα=1，即可得出．【解答】解：设直线的倾斜角为α，α∈[0，π）．∴tanα=1，第5页（共14页）∴α=．故答案为：．4．长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线AB，A1D1所成的角等于90°．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】欲求异面直线所成角，只需平移异面直线中的一条，是它们成为相交直线，则相交直线所成角即为异面直线所成角，再求出该角即可．【解答】解：∵在长方体A1B1C1D1﹣ABCD中，A1D1∥AD，∴AB与AD所成角∠DAB即为异面直线AB与A1D1所成的角．∵∠DAB=90°，∴异面直线AB与A1D1所成的角等于90°．故答案为：90°．5．点P（m2，5）与圆x2+y2=24的位置关系是在圆外．【考点】点与圆的位置关系．【分析】根据点P到圆心的距离与圆的半径的大小关系即可判断点P与圆的位置关系．【解答】解：由圆的方程x2+y2=24，得圆心坐标为原点O（0，0），半径r=．点P与圆心O的距离．∵m4≥0，∴．∴点P在圆外．故答案为：在圆外6．棱长都是1的三棱锥的表面积为．【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】棱长都是1的三棱锥的各个面都为等边三角形，利用棱长是1，求出一个面的面积乘以4可得答案．【解答】解：棱长都是1的三棱锥的各个面都为等边三角形，且等边三角形的边长为1，∴每个面的面积都是×1×1×=，∴表面积S=．故答案是．7．已知{（x，y）|ax+y+b=0}∩{（x，y）|x+y+1=0}=∅，则a，b所满足的条件是a=1且b≠1．【考点】交集及其运算．【分析】由已知得直线ax+y+b=0与x+y+1=0平行，由此能求出结果．【解答】解：∵{（x，y）|ax+y+b=0}∩{（x，y）|x+y+1=0}=∅，第6页（共14页）∴直线ax+y+b=0与x+y+1=0平行，∴=，∴a=1且b≠1．故答案为：a=1且b≠1．8．两直线l1：ax+2y+b=0；l2：（a﹣1）x+y+b=0．若l1∥l2，且l1与l2的距离为，则a•b=±4．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】利用两条直线平行的条件求出a，利用且l1与l2的距离为，求出b，即可求出a•b．【解答】解：由题意，a=2（a﹣1），∴a=2，∴直线l1：2x+2y+b=0；l2：2x+2y+2b=0，∵l1与l2的距离为，∴=，∴b=±2，∴ab=±4．故答案为±4．9．不论m取什么实数，直线（2m﹣1）x﹣（m+3）y﹣（m﹣11）=0恒过定点（2，3）．【考点】恒过定点的直线．【分析】将直线的方程（m﹣2）x﹣y+3m+2=0是过某两直线交点的直线系，故其一定通过某个定点，将其整理成直线系的标准形式，求两定直线的交点此点即为直线恒过的定点．【解答】解：直线（2m﹣1）x﹣（m+3）y﹣（m﹣11）=0可为变为m（2x﹣y﹣1）+（﹣x﹣3y+11）=0令解得：，故不论m为何值，直线（2m﹣1）x﹣（m+3）y﹣（m﹣11）=0恒过定点（2，3）故答案为：（2，3）．10．如图，在三棱柱A1B1C1﹣ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥F﹣ADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1﹣ABC的体积为V2，则V1：V2=1：24．第7页（共14页）【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由三角形的相似比等于面积比的平方得到棱锥和棱柱的底面积的比值，由题意棱柱的高是棱锥的高的2倍，然后直接由体积公式可得比值．【解答】解：因为D，E，分别是AB，AC的中点，所以S△ADE：S△ABC=1：4，又F是AA1的中点，所以A1到底面的距离H为F到底面距离h的2倍．即三棱柱A1B1C1﹣ABC的高是三棱锥F﹣ADE高的2倍．所以V1：V2==1：24．故答案为1：24．11．光线从点M（﹣2，3）射到x轴上一点P（1，0）后被x轴反射，求反射光线所在直线的方程．【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程．【分析】利用点P（﹣2，3）关于x轴的对称点N（﹣2，﹣3）在反射光线上再由两点式写出反射光线所在的直线方程即可．【解答】解：∵点P（﹣2，3）关于x轴的对称点N（﹣2，﹣3）∴根据反射定律可得p，N两点都在反射光线上∴反射光线所在直线的方程为=即x﹣y﹣1=0．12．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是③．①若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α∥β；②若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥n；③若m⊥α，n∥β，α∥β，则m⊥n；④若m∥n，m∥α，n∥β，则α∥β．【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】利用线面平行、垂直的判定与性质，即可得出结论．【解答】解：①若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α∥β或α，β相交，不正确；②若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥n或m，n相交、异面，不正确；③若m⊥α，α∥β，则m⊥β，∵n∥β∴m⊥n，正确；④若m∥n，m∥α，n∥β，则α∥β或α，β相交，不正确．故答案为③．13．已知两点A（﹣1，0）、B（0，2），点P是圆（x﹣1）2+y2=1上任意一点，则•的最大值是3+．【考点】平面向量数量积的运算；直线与圆的位置关系．第8页（共14页）【分析】设P（x，y），根据向量数量积的定义求出表达式，然后利用两点间的距离公式进行求解即可．【解答】解：设P（x，y），则•=（﹣1﹣x，﹣y）•（﹣x，2﹣y）=（1+x）x﹣y（2﹣y）=x2+x+y2﹣2y=（x+）2+（y﹣1）2﹣，设z=（x+）2+（y﹣1）2，则z的几何意义是P到定点D（﹣，1）的距离的平方，圆心C（1，0），半径R=1，则CD==，则PD的最大值为CD+r=+1，则PD的平方得（+1）2=++1，则•的最大值为++1﹣=3+，故答案为：3+14．已知圆O：x2+y2=4与曲线C：y=3|x﹣t|，曲线C上两点A（m，n），B（s，p）（m、n、s、p均为正整数），使得圆O上任意一点到点A的距离与到点B的距离之比为定值k（k＞1），则ms﹣np=0．【考点】函数恒成立问题．【分析】设p（x0，y0），则x02+y02=4，结合且P点到点A的距离与到点B的距离之比为定值k（k＞1），m、n、s、p均为正整数，求出m、n、s、p的值，可得答案．【解答】解：设p（x0，y0），则x02+y02=4，且P点到点A的距离与到点B的距离之比为定值k（k＞1），=k（k＞1），⇒4+m2+n2﹣2mx0﹣2ny0=k2（4+s2+p2﹣2sx0﹣2py0）⇔消去m，n得s2+p2=＜4所以s=p=1，k=，此时m=n=2，此时ms﹣np=0，故答案为：0二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（1）过原点作直线l的垂线，若垂足为A（﹣2，3），求直线l的方程；第9页（共14页）（2）三角形三个顶点是A（4，0），B（6，7）