26第1章 矢量微积分与Matlab基础

第1章矢量微积分与Matlab基础§1.1矢量代数本章并不是要介绍我们所需要的所有数学方法，而是根据学生在初学阶段的需要主要介绍矢量代数及其相关的运算规则。旨在为更好的理解物理学描述物体运动的方式和物理思想奠定基础。另一方面，物理学发展到现在的信息时代，我们认为仅仅掌握普通的数学方法是不够的，无论从掌握基本物理概念，还是从探究式学习的角度，我们认为引入计算机教学是非常必要的。这里，我们把计算机算法作为数学方法的一种补充。但是计算机的方法很多，我们这里只介绍Matlab算法在物理学中的应用。由于该程序非常普及易学，我们只是抛砖引玉式地作一简单介绍，旨在把学生引导到这一探究式学习的道路上来。§1.1.1矢量与矢量代数运算矢量是既有大小也有方向的量。物理学中许多物理量为矢量，比如位移矢量，动量，角动量，力，电场，磁场，……都是矢量。有些物理量为标量，像温度、热容量、能量、质量、时间，…….等等，只有大小而没有方向。标量满足一般的代数关系，而矢量的代数关系是不同于标量的。进一步地，在微分等运算中矢量的表现形式也是与标量很不一样的。因此，有必要关于矢量运算的各种形式作介绍。图1-1表示的位移矢量AB的例子，它只表示物体从A点运动到B点的位置的变化，但是并不能说明物体是从哪条路径从A点到达B点的。所以位移矢量并不包含路径的任何信息。如果物体从某点A到点B，然后又从点B到点C，那么物体运动从点A到点C的净位移是矢量AB和BC的矢量和，如图1-2。图1-2中的矢量和关系可以表示为矢量方程=+KKKsab。(0.1.1)矢量加减法运算规则（1）交换律矢量关系见图1-3，而数学表达则为+=+KKKKabba(0.1.2)图1-1相同起始位置A和B不同路径的位移矢量图1-2（a）矢量AC是矢量AB与BC的矢量和（b）等价的矢量图（2）结合律其矢量关系见图1-4()()++++KKKKKKabc=abc(0.1.3)（3）矢量减法矢量−Kb定义为其大小等于矢量Kb但是方向相反，如图1-5。加一矢量−Kb等价于减去矢量Kb。所以，定义矢量减法为（见图1-6）()−+−KKKKKd=ab=ab(0.1.4)矢量分量表示如果考虑一个在x-y平面的二维矢量Ka，如图1-7所示。分量xa和ya分别为矢量Ka在x轴和y轴上的投影。根据三角关系，容易得到cossinxyaaaaθθ==和(0.1.5)矢量的大小，也称为矢量的模，记为a≡Ka，根据三角关系有22tanyxyxaaaaaθ=+=以及(0.1.6)图1-4三矢量和的结合律图1-5矢量−Kb与矢量Kb图1-3两矢量求和可交换顺序图1-6矢量减法用矢量加法表示图1-7(a)矢量Ka的分量xa和ya；（b）分量的合成。三维笛卡尔坐标下矢量的分量表示如图1-8所示坐标轴确定的坐标系为右手坐标系。图中ˆi、ˆj和ˆk分别为在x、y和z轴上长度为1个单位且相互垂直的单位矢量。任意矢量Ka可以用三个单位矢量来表示：ˆˆˆxyzaaaKa=i+j+k(0.1.7)量ˆˆxyaa、ij和ˆzak是矢量Ka的“矢量分量”，而,xyaa和za是矢量Ka的“标量分量”。矢量Ka的模是222xyzaaaa==++Ka(0.1.8)任何矢量都可以表示成为其模与其矢量方向的单位矢量之积来表示。比如，若我们记矢量Ka方向的单位矢量为ˆan，则我们可以把Ka表示为ˆˆaaaaa==nnKK，或者ˆa=nKKaa。(0.1.9)矢量乘法规则及其几何意义矢量乘法包括标量积和矢量积两种。（1）标量积矢量Ka和Kb的标量积定义为cosabφ⋅KKab=。(0.1.10)图1-8三维矢量图。单位矢量ˆi、ˆj和ˆk按右手定则定义了笛卡尔坐标系。图1-9(a)两矢量Ka和Kb及其夹角φ；(b)一矢量在另一矢量的投影分量由于两矢量间的乘积关系用点表示，标量积也称为点积（dotproduct）或内积（innerproduct）。(0.1.10)式是读作“Ka点乘Kb”。该式可以改写为()()()()coscosababφφ⋅=KKab=，(0.1.11)式中矢量cosaφ是Ka投影到矢量Kb方向的分量，cosbφ是矢量Kb投影到矢量Ka方向的分量。这意味着标量积是可以交换的。所以我们有⋅=⋅KKKKabba(0.1.12)用三维矢量的形式，矢量Ka和Kb的标量积可以记为()()ˆˆˆˆˆˆxyzxyzaaabbb⋅=⋅KKabi+j+ki+j+k。(0.1.13)根据标量积的定义，不难确定单位矢量间的关系：ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ1;0iijjkkijjkik⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=(0.1.14)即相同单位矢量的标量积为1，不同单位矢量的标量积为0。这个性质可以用一个简洁的关系表示：1,=ˆˆ0,lklklklkδ⎧⋅==⎨≠⎩ee（l,k=1,2,3）(0.1.15)为方便起见，记ˆle（l=1,2,3）表示单位矢量ˆi、ˆj和ˆk中的任意一个，12ˆˆˆˆ,,ij==ee以及3ˆˆk=e。lkδ称为克罗内克Delta（KroneckerDelta）符号。所以，容易证明(0.1.13)式可以写为31xxyyzziiiiiababababab=⋅==≡∑KKab++。(0.1.16)在上面第二个等式，下指标表示的意义是1,2,3i=对应于123,,xyzaaaaaa===；同样的表示之于Kb的分量。(0.1.16)式中最后一个等式是物理学中常用的一种标记形式，称为爱因斯坦求和规则，即重复指标表示对两个量遍历所有可能指标求和。此处等价于求和i=1,2,3。利用内积的概念，一个矢量在各坐标轴的分量，即为这个矢量在该轴上的投影。所以我们有()()()()112233ˆˆˆˆ,,,(1,2,3)iiaaaai=⋅=⋅=⋅=⋅=eeee即KKKKaaaa(0.1.17)所以，我们可以把矢量Ka表示为()3311ˆˆˆiiiiiia===⋅=∑∑eeeKKaa(0.1.18)从代数上讲，这个式子可以看作是将矢量Ka用基矢ˆle来表示。（2）矢量积矢量Ka和Kb矢量积定义为()ˆsincabφ×nKKKc=ab=，(0.1.19)此处ˆcn是矢量cK方向的单位矢量。两矢量的矢量积仍然是一矢量，中间用符号×联系，所以矢量积也称为叉积（crossproduct）。矢量cK的方向由右手螺旋规则确定，并垂直于Ka和Kb所确定的平面。由图1-10(c)易知，叉积ab×KK的模等于由Ka和Kb所确定的平形四边形的面积。尽管按照(0.1.19)式其面积大小是相同的，但是ab×KK并不等于ba×KK，它们方向相反。所以叉积不满足交换律。如果记cba′=×KKK，那么cc′=−KK，即abba×=−×KKKK(0.1.20)为了在三维笛卡尔（Cartesian）坐标系统下表示矢量积，我们先看单位矢量的矢量积。根据定义式(0.1.19)，相同的单位矢量的叉积为零，因为同一单位矢量的夹角等于零。比如，ˆˆˆˆˆˆ0iijjkk×=×=×=。但是不同单位矢量的叉积不为零，因为两不同单位矢量间的夹角是90度，故叉积后与另一单位矢量形成右手螺旋关系。比如，ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ,,ijkjkikij×=×=×=；而ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ,,jikkjiikj×=−×=−×=−，参考图1-11。把这些关系代入下面的矢量积图1-10矢量积的右手螺旋规则。cK垂直于ab×KK(a)和ba×KK(b)所确定的平行四边形的平面(c)。图1-11单位矢量()()ˆˆˆˆˆˆxyzxyzaaabbb×=×KKabi+j+ki+j+k逐项相乘，立即可以得到ˆˆˆˆˆˆ()()()ˆˆˆxyzyzzyzxxzxyyxxyzxyzcccababababababaaabbb×⇒++=−+−+−KKKc=abijkijkijk=(0.1.21)比较一下式中cK和ab×KK的分量的下指标，可以发现右边的第一项按照（x,y,z）形成循环的关系，而第二项交换下指标而有一负号；所有的下指标没有重复相同的。而行列式只是依据行列式的性质来表示叉积关系的另一种形式而已。下面我们引进一个符号来表示叉积的分量之间的关系，这种形式以后对于矢量的运算是很有帮助的。我们记ab×KK的分量为()3311iijkjkijkcababε===×=∑∑KK(0.1.22)其中定义1,0,1,ijkε⎧⎪=⎨⎪−⎩(0.1.23)ijkε称为Levi-Civita反对称张量。改变指标顺序，ijkkijikjεεε==−。事实上，1233122311,εεε===而2131323211εεε===−。(0.1.22)式也可以去掉求和符号，用爱因斯坦求和规则记为()iijkjkicababε=×=KK(0.1.24)这里右边ijkε第一个字母表示叉积的第i分量，而a,b的下指标j、k与ijkε重复表示自动求和。根据这个关系，(0.1.24)式中的下指标可以取（1、2、3）的任意值。其中1对应x分量，2对应y分量，3对应z分量。如若1i=（即xc分量），这时右边ijkε中的i是1。所以j，k只能取2和3，而不能取1；同时j，k的值也不能相同。对于1c，1jkε可以取1231ε=，即j=2，k=3；和1321ε=−，即j=3，k=2。所以有xyzzycabab=−。其余分量可以如此类推给出。这个符号在物理学物理量的矢量运算关系中是很有用的。下面我们不加证明给出Levi-Civita张量的一个有用的恒等式ijkklmiljmimjlεεδδδδ=−。(0.1.25)（3）混合积下指标按(1,2,3)顺序排列，或其偶数次对换，下指标中有两个或以上相同下指标按(x,y,z)的顺序形成奇数次对换物理学中许多物理量是以矢量场的形式出现。它们有时出现点积和叉积混合相乘的运算。比如()()ˆˆˆˆˆˆxyzxyzxyzxyzxyzxyzddddabdidjdkaaaaaabbbbbb⋅×=++⋅=KKKijk(0.1.26)可以证明[见习题1]下面矢量混合积恒等式()()()dababdbda⋅×=⋅×=⋅×KKKKKKKKK(0.1.27)由图1-12容易看出()()()sincosdababdφθ⋅×=KKKKKK，这个式子实际上等于如图所示的底面积为sinabφKK、高为cosdθK的立方体的体积（或体积的负值，决定于是否三矢量构成右手系）。下面的矢量恒等式称为双叉积恒等式()()()ABCBACCAB××=⋅−⋅KKKKKKKKK(0.1.28)()()()ABCBACABC××=⋅−⋅KKKKKKKKK(0.1.29)可以看出，叉积不满足结合律，()()ABCABC××≠××KKKKKK。(0.1.28)和(0.1.29)式的证明见习题2。这个关系也说明，叉积中的括号是不能随意去掉或更换。【例1-1】设矢量AK处在x-y平面为ˆˆij+，而BK处在y-z平面为ˆˆjk+，如图1-13所示。求矢量AB×KK的大小和方向。【解】一般计算矢量叉积，可以用行列式公式计算，但是在本例题中因为比较简单，可以直接将乘积展开为ˆˆˆˆ()()ˆˆˆˆˆˆˆˆˆCABijjkijikjkkji≡×=+×+=×+×+×=−+KKKAB×KK的模是2221(1)13AB×=+−+=KK，AB、KK间的图1-13例1-1图1-12矢量混合积几何意义夹角由内积1cos2ABABθ⋅==KKKK确定为/3π；CK的方向垂直于ˆˆij+和ˆˆjk+，如图1-13所示，由ˆˆˆijk−+确定。§1.2矢量函数与矢量微分如果对应于标量u的每一个值都联系着一矢量AK，则称矢量AK为u的函数，记为AuK()。在三维空间中可以写成123ˆˆˆuAuAuAu=++KAijk()()()()。若空间的每一点(x,y,z)都对应于着一个矢量KA，则KA是空间点(x,y,z)的函数，记为123ˆˆˆ,,,,,,,,xyzAxyzAxyzAxyz=++KAijk()()()()。物理上，有时把矢量函数,,xyzKA()称作定义了一个矢量场，因为在给定区域内的每一点都联系着一个矢量。类似地，对于标量函