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成才之路·数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索人教B版·必修1第三章基本初等函数成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·必修1基本初等函数第三章第三章基本初等函数成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·必修13.2对数与对数函数第三章3.2.3指数函数与对数函数的关系第三章3.23.2.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·必修1课堂典例讲练2易错疑难辨析3课后强化作业5课前自主预习1思想方法技巧4第三章3.23.2.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·必修1课前自主预习第三章3.23.2.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·必修1剪纸是人民群众喜闻乐见的一门艺术，常采用折叠对称的手法信手剪出优美的画面，那你知道同底的指数函数与对数函数关于谁对称吗？第三章3.23.2.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·必修11．当一个函数是一一映射时，可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量，而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量，我们称这两个函数互为________．2．指数函数与对数函数的关系(1)原函数对应反函数一般结论指数函数y＝ax(a0，且a≠1)对数函数_________________指数函数与对数函数互为反函数，图象关于________对称对数函数y＝logax(a0，且a≠1)指数函数________________反函数y＝logax(a0，且a≠1)y＝ax(a0，且a≠1)y＝x第三章3.23.2.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·必修1(2)通过下图可知，当x1时，对相同的自变量的增量，指数函数的增量与对数函数的增量存在着很大的差异：指数函数y＝ax(a1)在[1，＋∞)内随着x的增长，函数值的增长速度____________，而对数函数y＝logax(a1)在[1，＋∞)内的增长的速度逐渐变得________．逐渐加快很缓慢第三章3.23.2.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·必修11．函数f(x)＝3x(0x≤2)的反函数的定义域为()A．(0，＋∞)B．(1,9]C．(0,1)D．[9，＋∞)[答案]B[解析]函数f(x)＝3x(0x≤2)的反函数的定义域为原函数的值域，而0x≤2时，1＜3x≤9，∴反函数的定义域为(1,9]，故选B．第三章3.23.2.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·必修12．函数y＝log12x(x0)的反函数是()A．y＝x12，x0B．y＝(12)x，x∈RC．y＝x2，x∈RD．y＝2x，x∈R[答案]B[解析]∵y＝log12x，∴x＝(12)y，∴y＝(12)x(x∈R)．第三章3.23.2.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·必修13．函数y＝3x与y＝log3x的图象()A．关于原点对称B．关于x轴对称C．关于y轴对称D．关于直线y＝x对称[答案]D[解析]∵函数y＝3x与y＝log3x是互为反函数，∴其图象关于直线y＝x对称．第三章3.23.2.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·必修14．若函数y＝f(x)是函数y＝2x的反函数，则f[f(2)]的值为__________．[答案]0[解析]由题意知f(x)＝log2x，∴f(2)＝log22＝1，∴f[f(2)]＝f(1)＝log21＝0.第三章3.23.2.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·必修15．若函数y＝1＋3－x的反函数为y＝g(x)，则g(10)＝__________.[答案]－2[解析]令1＋3－x＝10，得3－x＝9，∴－x＝2，∴x＝－2.第三章3.23.2.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·必修16．已知y＝f(x)如表所示：x－10123y125710求y＝f－1(x)．[解析]由互为反函数的定义知，y＝f－1(x)如表所示：x125710y－10123第三章3.23.2.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·必修1课堂典例讲练第三章3.23.2.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·必修1求函数y＝2x＋1(x0)的反函数．[分析]要求y＝2x＋1的反函数，应用y表示x，求出反函数后，要注明反函数的定义域，即原函数的值域．[解析]由y＝2x＋1，得2x＝y－1，∴x＝log2(y－1)，∴y＝log2(x－1)．又∵x0，∴02x1，∴12x＋12，∴所求函数的反函数为y＝log2(x－1)(1x2)．求反函数第三章3.23.2.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·必修1求函数y＝1＋x1－x的反函数．[解析]由y＝1＋x1－x，得y－yx＝1＋x，∴x＝y－1y＋1，∴y＝x－1x＋1.∴函数y＝1＋x1－x的反函数为y＝x－1x＋1(x≠－1)．第三章3.23.2.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·必修1函数y＝f(x)的图象经过第三、四象限，则y＝f－1(x)的图象经过()A．第一、二象限B．第二、三象限C．第三、四象限D．第一、四象限[解析]因为第三、四象限关于y＝x对称的象限为第三、二象限，故y＝f－1(x)的图象经过第二、三象限．[答案]B互为反函数的图象间的关系第三章3.23.2.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·必修1已知f(x)＝2x＋b的反函数为f－1(x)，若y＝f－1(x)的图象经过点Q(5,2)，则b＝__________.[答案]1[解析]由互为反函数的图象关于直线y＝x对称可知，点Q′(2,5)必在f(x)＝2x＋b的图象上，∴5＝22＋b，∴b＝1.第三章3.23.2.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·必修1易错疑难辨析第三章3.23.2.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·必修1函数y＝log2x(x≥1)的反函数的定义域为________．[错解]R∵函数y＝log2x的反函数为y＝2x，∴x∈R.[辨析]误解中忽视了反函数的定义域是原函数的值域．[正解][0，＋∞)∵函数y＝log2x的反函数的定义域为原函数y＝log2x的值域．又∵x≥1，∴log2x≥0，∴反函数的定义域为[0，＋∞)．第三章3.23.2.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·必修1思想方法技巧第三章3.23.2.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·必修1数形结合思想设方程x＋lgx＝2的根为m，方程x＋10x＝2的根为n，求m＋n的值．[解析]由x＋lgx＝2，得lgx＝－x＋2，由x＋10x＝2，得10x＝－x＋2.在同一坐标系中画出函数y＝lgx，y＝10x，y＝－x＋2的图象，如图所示．第三章3.23.2.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·必修1第三章3.23.2.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·必修1由图可知，m是直线y＝－x＋2与函数y＝lgx的图象交点A的横坐标，n是直线y＝－x＋2与函数y＝10x的图象交点B的横坐标，∵y＝lgx与y＝10x互为反函数，∴其图象关于直线y＝x对称，故点A、B也关于直线y＝x对称，于是A、B两点的坐标为(m，n)，(n，m)，而点A、B又在直线y＝－x＋2上，∴m＝－n＋2，n＝－m＋2,即m＋n＝2.第三章3.23.2.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·必修1课后强化作业（点此链接）