集合与函数小结

1§第一章集合与函数小结章节知识网络知识点梳理:1．在判断给定对象能否构成集合时，特别要注意它的“确定性”，在表示一个集合时，要特别注意它的“互异性”、“无序性”．2．对由条件给出的集合要明白它所表示的意义，即元素指什么，是什么范围．用集合表示不等式(组)的解集时，要注意分辨是交集还是并集，结合数轴或Venn图的直观性帮助判断．空集是任何集合的子集，但因为不好用Venn图表示，容易被忽视．如在关系式B⊆A中，易漏掉B＝∅的情况．3．函数与映射的联系与差异：映射的原象集和象集可以是数集也可以是其他集合，函数的定义域和值域是非空的数集．映射是函数的推广，函数是映射的特例．4．相同函数的判定方法：(1)定义域相同；(2)对应法则相同(两者必须同时具备)．但是由于值域是由定义域和对应法则完全确定的，因此，当定义域、对应法则、值域三者中有一个不相同时，就可以判定不是同一个函数．5．函数的定义域的求法：列出使函数有意义的自变量的不等关系式，求解即可求得函数的定义域．常涉及到的依据为：(1)分母不为0；(2)偶次根式中被开方数不小于0；(3)对数的真数大于0，底数大于0且不等于1；(4)零指数幂的底数不等于0；(5)实际问题要考虑实际意义等．26．函数值域的求法：(1)观察法；(2)配方法(二次或四次)；(3)判别式法；(4)换元法；(5)函数的单调性法．7．函数的解析式的求法：(1)定义法；(2)换元法；(3)待定系数法；(4)配凑法；(5)消去法；(6)特殊值法．8．单调性的判定方法：(1)设x1，x2是所研究区间内任意两个自变量，且x1x2；(2)用作差比较法或作商比较法判定f(x1)和f(x2)的大小；(3)确定所研究区间内函数的单调性．9．奇偶性的判定方法：(1)首先看定义域是否关于原点对称；(2)判断f(－x)与±f(x)的相等或不等．10．函数的图象的作法(1)描点法：①列表；②描点；③用光滑曲线连线．(2)变换作图法：①平移：y＝f(x)个单位向右平移ay＝f(x－a)；y＝f(x)单位向上平移by＝f(x)＋b.②对称：y＝f(x)轴对称关于xy＝－f(x)；y＝f(x)轴对称关于yy＝f(－x)；y＝f(x)关于原点对称y＝－f(－x)．③翻折：y＝f(x)――→保留x轴上方图象，再把x轴下方图象对称到上方y＝|f(x)|；y＝f(x)――→保留y轴右边的图象，再把y轴右边图象对称到y轴左边y＝f(|x|)．典型范例剖析一、集合的运算集合的运算是指集合间的交、并、补这三种常见的运算，在运算过程中往往由于运算能力差或考虑不全面而出现错误，不等式解集之间的包含关系通常用数轴法，而用列举法表示的集合运算常用Venn图法，运算时特别注意对∅的讨论，不要遗漏．【例1】已知集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|a≤x≤a＋3}(1)若(∁RA)∪B＝R，求a的取值范围．(2)是否存在a使(∁RA)∪B＝R且A∩B＝.解析(1)∵A＝{x|0≤x≤2}，∴ACR＝{x|x0或x2}．∵)(ACR∪B＝R.∴a≤0，a＋3≥2.∴－1≤a≤0.(2)∵(∁RA)∪B＝R，∴－1≤a≤0，而a＋3∈[2,3]，∴A⊆B，这与A∩B＝矛盾．即这样的a不存在．二、函数的概念函数的概念考查主要是对函数三要素：定义域、值域、对应法则的考查，其中定义域是研究函数任何问题的前提条件，而求函数的解析式、值域(最值)问题是高考的重点、热点．【例2】求下列函数的定义域和值域：3(1)y＝3x＋2x－2(2)y＝x＋2x－1.解(1)由x－2≠0，得函数定义域为{x|x∈R，且x≠2}，∵y＝3x＋2x－2＝3x－2＋8x－2＝3＋8x－2，其中8x－2≠0，∴y≠3，∴y＝3x＋2x－2的值域是{y|y∈R，且y≠3}，(2)由2x－1≥0，得x≥12，即所求函数定义域为x|x≥12，设u＝2x－1，则u≥0，∴x＝u2＋12，∴y＝u2＋12＋u＝12u2＋u＋12＝12(u＋1)2，∵u≥0，∴y≥12.∴函数y＝x＋2x－1的值域为y|y≥12.三、函数的性质函数性质的研究包括：函数的单调性、奇偶性、周期性及对称性，从命题形式上看：抽象函数、具体函数都有，其中函数单调性的判断与证明、求单调区间、利用函数单调性求参数的取值范围是高考的重点，利用函数的奇偶性、对称性研究函数的图象是难点．【例3】已知函数f(x)＝ax2＋23x＋b是奇函数，且f(2)＝53.(1)求实数a，b的值；(2)判断函数f(x)在(－∞，0)上的单调性，并加以证明．解(1)由已知f(x)是奇函数，∴对定义域内任意x，都有f(－x)＝－f(x)，即a－x2＋23－x＋b＝ax2＋2－3x＋b，∴(ax2＋2)(3x＋b)＝(－3x＋b)(－ax2－2)，∴3ax3＋abx2＋6x＋2b＝3ax3－abx2＋6x－2b，由恒等式的性质，得ab＝－ab，2b＝－2b.∴b＝0.∵f(2)＝53，∴a×22＋23×2＝53，∴a＝2.即a＝2，b＝0，此时f(x)＝2x2＋23x.(2)由(1)知f(x)＝2x2＋23x＝23x＋23x，f(x)在(－∞，－1]上是增函数，在(－1,0)上是减函数，4证明如下：对任意的x1x20，有f(x1)－f(x2)＝23x1＋23x1－23x2＋23x2＝23(x1－x2)＋231x1－1x2＝23(x1－x2)＋23·x2－x1x1x2＝23(x1－x2)·1－1x1x2＝23(x1－x2)·x1x2－1x1x2.①当x1x2≤－1时，x1－x20，x1x21，∴x1x2－10.∴f(x1)－f(x2)0，即f(x1)f(x2)．所以函数f(x)在(－∞，－1]上是增函数．②当－1x1x20时，x1－x20,0x1x21，∴x1x2－10.∴f(x1)－f(x2)0，即f(x1)f(x2)．所以函数f(x)在(－1,0)上是减函数．四、函数图象及其应用函数的图象是函数的重要表示方法，它具有明显的直观性，通过函数的图象能够掌握函数重要的性质，如单调性、奇偶性等．反之，掌握好函数的性质，有助于正确画出图象．【例4】设函数f(x)＝x2－2|x|－1(－3≤x≤3)．(1)证明：f(x)是偶函数；(2)指出函数f(x)的单调区间，并说明在各个单调区间上f(x)是增函数还是减函数；(3)求函数的值域．(1)证明f(－x)＝(－x)2－2|－x|－1＝x2－2|x|－1＝f(x)，即f(－x)＝f(x)，且定义域[－3,3]关于原点对称，∴f(x)是偶函数．(2)解当0≤x≤3时，f(x)＝x2－2x－1＝(x－1)2－2；当－3≤x0时，f(x)＝x2＋2x－1＝(x＋1)2－2.即f(x)＝x－12－2，0≤x≤3，x＋12－2，－3≤x0.根据二次函数的作图方法，可得函数图象，如图所示．函数f(x)的单调区间为[－3，－1]，(－1,0]，(0,1]，(1,3]．f(x)在区间[－3，－1]，(0,1]上为减函数，在(－1,0]，(1,3]上为增函数．(3)解当0≤x≤3时，函数f(x)＝(x－1)2－2的最小值为f(1)＝－2，最大值为f(3)＝2；当－3≤x0时，函数f(x)＝(x＋1)2－2的最小值为f(－1)＝－2，最大值为f(－3)＝2.故函数f(x)的值域为[－2,2]．五、数形结合思想数形结合思想是数学重要的思想方法之一，数形结合能将抽象的问题直观化，形象化，能使问题灵活直观5地获解，使问题化难为易，化抽象为具体，数形结合就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要方法，数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合．【例5】对于任意x∈R，函数f(x)表示－x＋3，32x＋12，x2－4x＋3中的较大者，则f(x)的最小值是________．解析首先应理解题意，“函数f(x)表示－x＋3，32x＋12，x2－4x＋3中的较大者是指对某个区间而言，函数f(x)表示－x＋3，32x＋12，x2－4x＋3中最大的一个．如图，分别画出三个函数的图象，得到三个交点A(0,3)，B(1,2)，C(5,8)．从图象观察可得函数f(x)的表达式：)5(,34)51(,2123)10(,3)0(,34)(22xxxxxxxxxxxff(x)的图象是图中的实线部分，图象的最低点是点B(1,2)，所以函数f(x)的最小值是2.答案2六、直击高考1.(2011·北京高考)已知集合P＝{x|x2≤1}，M＝{a}，若P∪M＝P，则a的取值范围是()．A．(－∞，－1]B．[1，＋∞)C．[－1,1]D．(－∞，－1)∪[1，＋∞)解析由P∪M＝P，有M⊆P，∴a2≤1，∴－1≤a≤1，故选C.答案C2.(2009·陕西高考)定义在R上的偶函数f(x)，对任意x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有0)()(1212xxxfxf，则()．A．f(3)f(－2)f(1)B．f(1)f(－2)f(3)C．f(－2)f(1)f(3)D．f(3)f(1)f(－2)解析对任意x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，都有0)()(1212xxxfxf，即x2－x2与f(x2)－f(x1)异号，∴f(x)在[0，＋∞)上是减函数，又f(x)是R上的偶函数，∴f(－2)＝f(2)，∴f(3)f(－2)f(1)．故选A.3．(2009·辽宁高考)已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调增加，则满足)31()12(fxf的x的取值范围是()．6A.13，23B.13，23C.12，23D.12，23解析法一当2x－1≥0，即x≥12时，∵f(x)在[0，＋∞)上单调递增，∴2x－113，即x23，∴12≤x23.当2x－10，即x12时，由于f(x)是偶函数，f(x)在(－∞，0]上单调递减，f13＝f－13，∴2x－1－13，即13x12.综上所述，可得13x23.法二根据函数的奇偶性和单调性作示意图．数形结合可知，由)31()12(fxf，得－132x－113，解得13x23.故选A.