第3章 多维随机变量及其分布3.5 两个随机变量的函数的分布

第五节两个随机变量的函数的分布一、问题的引入二、离散型随机变量函数的分布三、连续型随机变量函数的分布四、小结分别表示一个人的和令YX为了解决类似的问题下面一、问题的引入.的分布布确定Z),,(,YXgZYX的函数关系,年龄和体重,有一大群人与并且已知Z,表示该人的血压Z的分如何通过YX,我们讨论随机变量函数的分布.二、离散型随机变量函数的分布的联合分布律为若二维离散型随机变量},{jiyYxXP的分布律为则随机变量函数),(YXgZ}{kzZP)(jikyxgzijp,ijp,2,1,ji}),({kzYXgP.,2,1k三、连续型随机变量函数的分布，是二维连续型随机变量设),(YX).,(yxf密度它具有概率仍为连续型随机变量，则YXZ其概率密度为)(zfYX)1.5(或)(zfYX)2.5(的分布一YXZ)(,d),(yyyzf.d),(xxzxf相互独立，和又若YX的边缘关于设YXYX,),(),(),(yfxfYX密度分别为分别化为则)2.5(),1.5()(zfYX和)(zfYX)3.5()4.5(,的卷积公式和这两个公式称为YXff,YXff记为即YXffyyfyzfYXd)()(.d)()(xxzfxfYX,d)()(yyfyzfYX.d)()(xxzfxfYX证),(zFYXZZ的分布函数先来求即有)(zFZ}{zZP,dd),(yxyxfzyx:G这里积分区域是zyx半平面(如图3-9).将二重积分化成累次积分,及其左下方的直线zyxxyOzyx.dd),(yxyxfyz得)(zFZ作变量变换，对积分和固定yzxyxfyzd),(x令,yu得yzxyxfd),(zuyyufd),(于是yuyyufzdd),()(zFZ.dd),(uyyyufz.)1.5(式由概率密度的定义即得.)2.5(式类似可证得例1.变量是两个相互独立的随机和设YX他们都服,)1,0(分布从其概率密度为,eπ21)(22xXxf,eπ21)(22yYyf,y,x.的概率密度求YXZ解由(5.4)式)(zfZ,d)()(xxzfxfYXxxzxdeeπ212)(222,deeπ212242xzxz,2zxt令得)(zfZtzdeeπ2122t-442e21z.eπ2142z.)2,0(分布服从即NZ说明有限个相互独立的正态随机变量的线性组合),,(~,211σμNXYX相互独立且设~Y).,(222σμN仍然服式经过计算知由YXZ)5.4().,(~222121σσμμNZ且有一般,从正态分布,仍然服从正态分布.解的概率密度为R)(zfR例2在一简单电路中,串联联接，和两电阻21RR,,21相互独立设RR它们的概率密度均为)(xf,100,5010xx.,0其他.的概率密度求电阻21RRR由(5.4)式,.d)()(xxzfxf易知仅当,100x,100xz,100x,10zxz即时上述积分的被积函数不等于零.参考图3-10,即得)(zfRzzxxzfxf0,100,d)()(1010,2010,d)()(zzxxzfxf.,0其他的表达式代入上式得将)(xf)(zfR.,0其他,100),60600(15000132zzzz,2010,)20(1500013zz例3)),,(~Y,,相互独立设随机变量YX且分别服从参数分布的为,;,α),,(~(αX分布分别记成的概率密度分别为YX,)(xfX,0,0α,0,e)(11xxαxα.,0其他)(yfY.0,0,,分布的服从参数为试证明αYXZ).,(~YX即证的概率密度为式由YXZ)4.5()(zfZ易知仅当,0,e)(11yyy.,0其他xxzfxfYXd)()(亦即时上述积分的被积函数不等于零,于是(参见图3-11),0)(0zfzZ时知当时有而当0z)(zfZxxzxαxzxαzde)()(1e))(1)(110xxzxzzd)()()(e101)(ztx令,0x,0xz,0x,zxtttzzd)1()()(e11011,e1zAz记成其中tttAd)1()()(11101.A现在来计算由概率密度的性质得到:zeAzzd011zzfZd)()(d)(01zezAz),(A.)(1A即有于是)(zfZ).,(~YX即,0,e)(11zzz.,0其他分布个相互独立的上述结论还能推广到n.变量之和的情况,,,,21相互独立即若nXXX.,1分布的服从参数为βαnii且,),,2,1(,分布的服从参数为niβαXiiniiX1则分布这一性质称为的可加性.，是二维连续型随机变量设),(YX).,(yxf密度它具有概率仍为连续型随机变则XYZXYZ,其概率密度分别为量,)(zfXY)(zfXY的分布的分布、二XYZYXZ)(,d),(xxzxfx.d),(1xxzxfx.相互独立和如果YX的边缘关于设YXYX,),(),(),(yfxfYX密度分别为则)(zfXY)(zfXY证的分布函数为YXZ.d)()(xxzfxfxYX.d)()(1xxzfxfxYX)(zFXY0,dd),(xzxyxyyxfyxyxfGGdd),(210,dd),(xzxyxyyxf}{zXYP)(zFXYxyyxfzxdd),(0xyyxfzxdd),(0xyOzyx1G2GxyO1G2Gzxy0zxuy令xuxuxxfzdd),(0xuxuxxfzdd),(0xuxuxfxzdd),()(0xuxuxxfzdd),(0xuxuxfxzdd),(uxxuxfxzdd),()(zfXY)(zfXY.d)()(xxzfxfxYX.d)()(1xxzfxfxYX所以类似可得例4某公司提供一种地震保险,度为)(yf,0,e255yyy,,0其他的概率密度为保险赔付X)(xg,0,e515xx,,0其他的概率密保险费Y.的概率密度求XYZ,,相互独立设YX解由(5.7)式知,.0)(zfZ时，当0z时，当0z的概率密度为Z)(zfZxxxzxde25xze51550xxzzxde12551023]5)1([)3(125zz.)1(23zz).()(yFxFYX和分布函数分别为,,变量是两个相互独立的随机设YX它们的.},min{},max{的分布函数及YXNYXM现在来求都不和等价于不大于由于YXzYXM},max{,z大于故有}{zMP},{zYzXP的分布及三},min{},max{)(YXNYXM,,相互独立又由于YX的得到},max{YXM分布函数为}.{}{zYPzXP)(maxzF}{zMP},{zYzXP即有).()()(maxzFzFzFYX类似地,的分布函数为可得},min{YXM)(minzF}{1zNP},{1zYzXP}{zNP}.{}{1zYPzXP即)].(1)][(1[1)(minzFzFzFYX的及},,,min{},,,max{2121nnXXXNXXXM)(maxzF),,,2,1()(nixFiXi它们的分布函数分别为,,,,21个相互独立的随机变量是设nXXXn则分布函数分别为),()()(21zFzFzFnXXX推广)(minzF)](1[)](1)][(1[121zFzFzFnXXX分布相互独立且具有相同的当nXXX,,,21,)]([)(maxnzFzF.)](1[1)(minnzFzF时有函数)(xF例5联统由两个相互独立的子系设系统21,LLL接而成,联接的方式分别为,(i)串联,(ii)并联(iii)),,(21开始工作系统损坏时当系统备用LL如图3-13所示.,,,21YXLL的寿命分别为设已知它们的XY1L2LXY2L1LXY2L1L概率密度分别为,0,exαx,0,0x)(xfX,0,0y)(yfY,0,eyββy.0,0βαβα且其中试分别就以上三种联接.的概率密度的寿命方式写出ZL解串联的情况(i)就停止系统L,,21中有一个损坏时由于当LL的寿命为所以这时L工作,}.,min{YXZ的分布函数分布为YX,,0,0x)(xFX,0,e1xx,0,0y)(yFY,0,e1yββy的分布函数为},min{YXZ)(minzF,0,e1)(zzβα.0,0z的概率密度为},min{YXZ)(minzf,0,e)()(zβαzβα.0,0z的寿命为所以这时L}.,max{YXZ并联的情况(ii),,21都损坏时由于当且仅当LL工作,才停止系统L)(maxzF)()(zFzFYX,0),e1)(e1(zβzαz.0,0z的概率密度为},max{YXZ)(maxzf,0,e)(ee)(zβαβαzβαβzαz.0,0z才开始工系统2L备用的情况(iii),1损坏时由于这时当系统L两者之和：是的寿命因此整个系统21,LLZL作,YXZ的概率密度为时当YXZz0)(zfzyαβαzyαβ0)(deeyyfyzfYXd)()(zβyyzαyβα0)(dee].ee[βzαzαβαβ,0时当z的概率密度为于是YXZ,0)(zf)(zf,0],ee[zαβαββzαz.0,0z补充例题四、小结1.离散型随机变量函数的分布律的联合分布律为若二维离散型随机变量,2,1,,},{jipyYxXPijji的分布律为则随机变量函数),(YXgZ}),({}{kkzYXgPzZP.,2,1)(kpjikyxgzij2.连续型随机变量函数的分布的分布YXZ)1(的分布及),min(),max()3(YXNYXM的分布YXZ)2(思考题1.设随机变量相互独立，且分别服从和的指数分布，求：的概率密度.，12},max{＝其它（,00,0,),)(yxeyxyx－＝2.设二维随机变量的概率密度为求的概率密度.