2011高考数学一轮复习《学案与测评》课件：第14单元 推理与证明、数系的扩充与复数的引入

第十四单元推理与证明、数系的扩充与复数的引入知识体系第一节合情推理与演绎推理基础梳理1.合情推理（1）归纳推理：根据一类事物的部分对象具有某种性质,推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理叫做归纳推理(简称归纳).（2）类比推理：由两类事物具有某些类似性(或一致性)推测其中一类事物也具有这些特征的推理称为类比推理.（3）合情推理：前提为真时，结论可能为真的推理.2.演绎推理根据一般性的真命题(或逻辑规则),导出特殊性命题为真的推理,叫做演绎推理.3.三段论推理“如果bc,ab,则ac.”这种推理规则叫做三段论推理.典例分析题型一归纳推理【例1】如图所示：一个质点在第一象限运动,在第一秒钟内它由原点运动到（0，1），而后接着按图所示在与x轴,y轴平行的方向上运动，且每秒移动一个单位长度，那么2000秒后，这个质点所处位置的坐标是()A.(44,25)B.(45,25)C.(25,45)D.(24,44)分析归纳走到（n,n）处时，移动的长度单位及方向.解质点到达（1，1）处，走过的长度单位是2,方向向右；质点到达（2，2）处，走过的长度单位是6=2+4,方向向上；质点到达（3,3）处，走过的长度单位是12=2+4+6,方向向右；质点到达（4,4）处，走过的长度单位是20=2+4+6+8,方向向上；……猜想：质点到达(n,n)处，走过长度单位是2+4+6+…+2n=n(n+1),且n为偶数时运动方向与y轴相同,n为奇数时运动方向与x轴相同.所以2000秒后是指质点到达（44,44）后，继续前进了20个单位，由图中规律可得向左前进了20个单位即质点位置是（24,44）.学后反思归纳推理的一般步骤：(1)通过观察个别情况发现某些相同的性质;(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题（猜想）.举一反三1.在数列{an}中，(n∈N*),试猜想这个数列的通项公式.1121,2nnnaaaa1212312343422221231,,,2223224232122,....125122naaaaaaaaaan猜想：a解析题型二类比推理【例2】类比实数的加法和向量的加法，列出它们相似的运算性质.分析实数的加法所具有的性质，如结合律、交换律等，都可以和向量加以比较.解（1）两实数相加后，结果是一个实数;两向量相加后，结果仍是向量;（2）从运算律的角度考虑，它们都满足交换律和结合律,即：a+b=b+a,a+b=b+a,（a+b）+c=a+(b+c),(a+b)+c=a+(b+c);（3）从逆运算的角度考虑，二者都有逆运算，即减法运算，即a+x=0与a+x=0都有唯一解，x=-a与x=-a；（4）在实数加法中，任意实数与0相加都不改变大小，即a+0=a.在向量加法中，任意向量与零向量相加，既不改变该向量的大小，也不改变该向量的方向,即a+0=a.学后反思（1）类比推理是个别到个别的推理，或是由一般到一般的推理.（2）类比是对知识进行理线串点的好方法.在平时的学习与复习中，常常以一到两个对象为中心，把与它有类似关系的对象归纳整理成一张图表，便于记忆运用.举一反三2.类比圆的下列特征，找出球的相关特征.（1）平面内与定点距离等于定长的点的集合是圆;（2）平面内不共线的三个点确定一个圆；（3）圆的周长和面积可求;（4）在平面直角坐标系中,以点为圆心，r为半径的圆的方程为00,xy22200xxyyr解析(1)在空间中与定点距离等于定长的点的集合是球;(2)空间中不共面的四个点确定一个球;(3)球的表面积与体积可求;(4)在空间直角坐标系中，以点为球心，r为半径的球的方程为.000,,xyz2222000xxyyzzr题型三演绎推理【例3】(12分)已知函数,其中a＞0,b＞0,x∈(0,+∞)，试确定f(x)的单调区间，并证明在每个单调区间上的增减性.afxbxx分析利用演绎推理证明.证明设,…………………………..1′则……….3′当≤时，…………6′∴＞0,即,…………………………….7′∴f(x)在(0,]上是减函数；…………………………………….8′当时，,………………….10′∴＜0,即,…………………………..11′∴f(x)在[,+∞)上是增函数…………………………………….12′120xx12211212aaabxbxxxbxxxx120xxab2112120,0,,aaxxxxbbxx12fxfx12fxfx12fxfxab21axxb2112120,,aaxxxxbbxx12fxfx12fxfxab学后反思这里用了两个三段论的简化形式，都省略了大前提.第一个三段论所依据的大前提是减函数的定义;第二个三段论所依据的大前提是增函数的定义，小前提分别是f(x)在（0,]上满足减函数的定义和f(x)在[,+∞)上满足增函数的定义，这是证明该问题的关键.abab举一反三3.用三段论证明函数f(x)=-+2x在(-∞,1]上是增函数.2x证明设∈(-∞,1],∈(-∞,1],则1x2x12xx2122212211221221121221121212121212122121,222222.1,2,20,20,0,.xxxyfxfxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxfxfxfxfx题型四演绎推理在证明题中的应用【例4】在梯形ABCD中，AB=DC=AD，AC和BD是它的对角线.求证：AC平分∠BCD,DB平分∠CBA.分析在用演绎推理证明问题时，一定要按“三段论”的形式推理，当然有时可以省略大前提或小前提.证明如图,（1）等腰三角形两底角相等（大前提），△DAC是等腰三角形，DA、DC是两腰（小前提），∠1=∠2(结论).（2）两条平行线被第三条直线截出的内错角相等（大前提），∠1和∠3是平行线AD、BC被AC截出的内错角（小前提），∠1=∠3（结论）.（3）等于同一个量的两个量相等（大前提），∠2和∠3都等于∠1（小前提），∠2=∠3（结论），即AC平分∠BCD.（4）同理DB平分∠CBA.学后反思证明中如果把（4）也详细地写出，则一共通过六次三段论的形式，因此一个命题的证明形式，确切地应叫做复合三段论的形式，或说命题的推证方法是复合三段论；但是事实上，每一次三段论的大前提并不写出，某一次三段论的小前提如果是它前面三段论的结论，也就不再写出了，如例3的证明可写成：∵DA=DC（省略了大前提），∴∠1=∠2.∵AD∥BC,且被AC截得内错角为∠1和∠3（省略大前提），∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，即AC平分∠BCD（省略大前提，小前提），同理可证DB平分∠ABC.这样，一般地，在推证命题时所采用的这种表达的方法，就叫做简化的复合三段论法举一反三4.在锐角三角形ABC中,AD⊥BC于D.求证：（1）△ABD是直角三角形；(2)若M是AB的中点，则DM=AB.解析：（1）因为有一个内角是直角的三角形是直角三角形（大前提），在△ABC中，AD⊥BC，即∠ADB=90°（小前提），所以△ABD是直角三角形（结论）.（2）因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（大前提），DM是Rt△ADB斜边上的中线（小前提），所以DM=AB（结论）.2121易错警示【例】在Rt△ABC中，三边长分别为a,b,c,则.类比在三棱锥中有何结论?222cab错解在三棱锥V-ABC中,有2222VVBCABSSSSＶＡＣＡＢＣ＝错解分析错误在于没有注意到原命题中的三角形是直角三角形，在解题中没有把三棱锥的题设与其进行类比.正解在三棱锥V-ABC中，VA⊥VB⊥VC,则2222VVBCABSSSSＶＡＣＡＢＣ＝考点演练11.观察下列等式:由上面两式的结构规律,你是否能提出一个猜想?并证明你的猜想..4336cos6sin36cos6sin;4340cos10sin40cos10sin00020200020210.（2010·宁夏银川模拟）观察下列不等式：1,,,,,…,由此猜想第n个不等式.1211112311131...23721111...2231511151...23312解析:由1，可猜想第n个不等式为211121...23212311131...23212411141...23212511151...232121111...23212nn12答案:1111...23212nn解析由①②可看出,两角差为30°,则它们的相关形式的函数运算式的值均为.猜想:若β-α=30°,则β=30°+α,也可直接写成下面进行证明:故34223sincossincos422003sincos30sincos3040000001cos2601cos2sincos30221cos21cos2cos60sin2sin60sincoscos30sinsin30221111331cos2cos2cos2sin2sin2222444434左边右边22003sincos30sincos30412.用“三段论”的形式写出下列演绎推理.（1）若两角是对顶角，则这两角相等，所以若两角不相等，则这两角不是对顶角.（2）矩形的对角线相等，正方形是矩形，所以正方形的对角线相等.（3）0.332·是有理数.（4）y=sinx（x∈R）是周期函数.解析：（1）两个角是对顶角，则两角相等，（大前提）∠1和∠2不相等，（小前提）∠1和∠2不是对顶角.（结论）（2）每一个矩形的对角线相等，（大前提）正方形是矩形，（小前提）正方形的对角线相等.（结论）（3）所有的循环小数都是有理数，（大前提）0.332·是循环小数，（小前提）0.332·是有理数.（结论）（4）三角函数是周期函数，（大前提）y=sinx是三角函数，（小前提）y=sinx是周期函数.（结论）第二节直接证明与间接证明基础梳理1.证明（1）证明分为与.直接证明包括、等；间接证明主要是.（2）综合法:一般地，利用，经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法.（3）分析法：一般地，出发，逐步寻求使，直至最后，把要证明的结论归结为（已知条件、定义、定理、公理等），这种证明的方法叫做分析法.直接证明间接证明综合法分析法反证法已知条件和某些数学定义、定理、公理等从要证明的结论它成立的充分条件判定一个明显成立的条件原命题不成立正确的推理假设错误证明了原命题成立“由因导果”（4）反证法：一般地，假设（即在原命题的条件下，结论不成立），经过,最后得出矛盾，因此说明，从而，这样的证明方法叫做反证法.2.直接证明（1）综合法是，它是从已知条件出发，顺着推证，经过一系列的中间推理，最后导出所证结论的真实性.用综合法证明题的逻辑关系：B(A为已知条件或数学定义、定理、公理，B为要证结论),它的常见书面表达是“∵,∴”或“”.12...nABBB（2）分析法是，它是从要证的结论出发，倒着分析，逐渐地靠近已知.3.间接证明用反证法证明问题的一般步骤:（1）：假定所要证的结论不成立，而设结论的反面（否定命题）成立；（否定结论）（2）：将“反设”作为条件，由此出发经过正确的推理，导出矛盾——与已知条件、已知的公理、定义、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾；（推导矛盾）（3）：因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误.