2011高考数学总复习课件4.3 三角函数的图象与性质

§4.3三角函数的图象与性质要点梳理1.“五点法”作图原理:在确定正弦函数y=sinx在［0，2］上的图象形状时,起关键作用的五个点是、、、、.余弦函数呢？(0,0))1,2()0,()1,23()0,2(基础知识自主学习2.三角函数的图象和性质:y=sinxy=cosxy=tanx定义域图象值域R函数性质[-1,1][-1,1]RR,2|{kxx(k∈Z)对称性周期单调性奇偶性:对称轴kx)(2Zk；:对称中心))(0,(Zkk:对称轴kx)(Zk；对称中:心kk2,22[)(Zk:对称中心)(Zk22单调增区间)](2Zk；单调减区间kk2,22[)](23Zk单调增区间]2,2[kk)(Zk；单调减区间]2,,2[kk)(Zk单调增区间kk,2[2)(Zk奇奇偶)0,2(k)0,2(k3.一般地对于函数f（x）,如果存在一个不为0的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时,都有f（x+T）=f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期，把所有周期中存在的最小正数,叫做最小正周期(函数的周期一般指最小正周期).函数y=Asin(x+）或y=Acos（x+）（0且为常数）的周期函数y=Atan(x+)(0)的周期,2T.T基础自测1.函数y=1-2sinxcosx的最小正周期为（）解析4.D2.C.B21.A.22,2sin1TxyB2.设点P是函数f(x)=sinx(≠0)的图象C的一个对称中心,若点P到图象C的对称轴的距离的最小值是则f(x)的最小正周期是（）解析由正弦函数的图象知对称中心与对称轴的距离的最小值为最小正周期的故f（x）的最小正周期为T=,44.D2.C.B2.A,41.44B3.函数y=sin的图象（）A.关于点对称B.关于直线对称C.关于点对称D.关于直线对称解析验证法：)32(x)0,3(4x)0,4(3x.)0,3()32sin(,0sin)332sin(,3对称的图象关于点所以时当xyxA4.在下列函数中,同时满足以下三个条件的是()①在上递减；②以为周期；③是奇函数.A.y=tanxB.y=cosxC.y=-sinxD.y=sinxcosx解析y=tanx的周期为，故A错.y=cosx为偶函数，故B错.y=sinxcosx=sin2x的周期为，故D错.y=-sinx的周期为2,是奇函数，由图象知在上是递减函数，故C正确.)2,0(221)2,0(C5.（2009·四川文，4）已知函数f(x)=sin(x∈R)，下面结论错误的是（）A.函数f(x)的最小正周期为2B.函数f(x)在区间上是增函数C.函数f(x)的图象关于直线x=0对称D.函数f(x)是奇函数解析A正确;由图象知y=-cosx关于直线x=0对称，C正确.y=-cosx是偶函数，D错误.)2(x2,0,2,cos)2sin(Txxy;B,2,0cos,2,0cos正确增函数上是在上是减函数在xyxyD题型一与三角函数有关的函数定义域求下列函数的定义域：（1）y=lgsin(cosx);(2)y=本题求函数的定义域:(1)需注意对数的真数大于零，然后利用弦函数的图象求解；(2)需注意偶次根式的被开方数大于或等于零，然后利用函数的图象或三角函数线求解.解(1)要使函数有意义,必须使sin(cosx)0.∵-1≤cosx≤1,∴0cosx≤1.【例1】.cossinxx思维启迪题型分类深度剖析方法一利用余弦函数的简图得知定义域为方法二利用单位圆中的余弦线OM,依题意知0OM≤1,∴OM只能在x轴的正半轴上，∴其定义域为（2）要使函数有意义，必须使sinx-cosx≥0.}.,2222|{Zkkxkx}.,2222|{Zkkxkx方法一利用图象.在同一坐标系中画出［0,2］上y=sinx和y=cosx的图象,如图所示.在［0，2］内，满足sinx=cosx的x为再结合正弦、余弦函数的周期是2,所以定义域为,45,4}.,24524|{Zkkxkx方法二利用三角函数线，如图MN为正弦线，OM为余弦线，要使sinx≥cosx,即MN≥OM，定义域为内在则).]2,0[(454x}.,24524|{Zkkxkx方法三,0)4sin(2cossinxxxZ.kkxkkxkxyx,24542,242sin,4解得图象和性质可知的由正弦函数视为一个整体将所以定义域为}.,24542|{Zkkxkx(1)对于含有三角函数式的(复合)函数的定义域，仍然是使解析式有意义即可.(2)求三角函数的定义域常常归结为解三角不等式(或等式).(3)求三角函数的定义域经常借助两个工具，即单位圆中的三角函数线和三角函数的图象，有时也利用数轴.探究提高知能迁移1求下列函数的定义域：.)8π2cos(1tan)1sin2lg()2(;cos21)1sin2lg()1(xxxyxxy解(1)要使函数有意义,必须有,0cos2101sin2xx)(,π2π35π23ππ2π65π26π,21cos21sinZkkxkkxkxx解得即),π(26π5π23πZkkxk).(π26π5π,23πZkkk故所求函数的定义域为),(2ππ8π21tan21sin,0)8π2cos(01tan01sin2)2(Zkkxxxxxx得由可利用单位圆中三角函数线直观地求得上述不等式组的解集，如图所示：4π3π2)(4ππ2ππ6π5π26ππ2kxkkxkkxkZ}.,4π3π22ππ2|{Zkkxkx函数定义域为题型二三角函数的单调性与周期性【例2】;)23sin()1(的单调递减区间求函数xy.)46tan(3)2(的周期及单调区间求xy思维启迪),32sin(xy（1）化为再求单调区间;(2)先化为,再求单调区间.)64tan(3xy解).(12512),(223222.)32sin(,),32sin()1(ZZkkxkkkxkxyxy解得由的单调递增区间只需求递减区间欲求函数的单调由已知函数).(125,12Zkkk为原函数的单调递减区间).)(384,344()46tan(3,))(384,344()64tan(3),(3843442642.4)46tan(3,4||),64tan(3)46tan(3)2(ZZZkkkxykkkxykkxkkxkxyTxxy的单调递减区间为内单调递增在得由的周期为(1)求形如y=Asin(x+)或y=Acos(x+)(其中A≠0,0)的函数的单调区间,可以通过解不等式的方法去解答,列不等式的原则是:①把“x+(0)”视为一个“整体”；②A0(A0)时，所列不等式的方向与y=sinx(x∈R),y=cosx(x∈R)的单调区间对应的不等式方向相同（反）.（2）对于y=Atan(x+)(A、、为常数),其周期单调区间利用解出x的取值范围,即为其单调区间.对于复合函数y=f(v),v=(x)，其单调性判定方法是:若y=f(v)和v=(x)同为增（减）函数时，y=f((x))为增函数；若y=f(v)和v=(x)一增一减时，y=f((x))为减函数.探究提高,||T),2,2(kkx知能迁移2求函数的单调区间.解方法一)4sin(2xy).4sin(2)4sin(2xyxy化成),(232422)4sin(2),(232,22),(22,22)(sinZZZRkkxk、xykkkkkk、uuy的不等式确定递减区间分别由下面的递增函数递减区间分别为的递增3722(),4422(),242322().442sin(),432,2(),44372,2().44kxkkkxkkkxkkyxkkkkkk即即函数的单调递减区间单调递增区间分别为ZZZZZ方法二.4sin2)4sin(2复合而成的与可看作是由xuuyxy),(23222.)4sin(2)(432,42).(43242),(2222,4ZZZZkkukxykkkkkxkkkukxu由的递减区间为即得由为减函数又).(432,42);(42,452)4sin(2:.)4sin(2)(42,452),(42452)(232422ZZZZZkkkkkkxyxykkkkkxkkkxk递减区间为的递增区间为综上可知的递增区间为即得即题型三三角函数的对称性与奇偶性已知f(x)=sinx+cosx（x∈R），函数y=f(x+)的图象关于直线x=0对称，则的值可以是（）先求出f(x+)的函数表达式.f(x+)关于x=0对称，即f(x+)为偶函数.【例3】36.D4.C3.B2.A思维启迪解析),3sin(2)(xxf.6,6,23.)(,0)3sin(2)(,0Z，时当为偶函数即对称图象关于kkkkxfxxxfy答案Df(x)=Asin(x+)若为偶函数,则当x=0时，f(x)取得最大或最小值.若f(x)=Asin(x+)为奇函数，则当x=0时，f(x)=0.如果求f(x)的对称轴,只需令x+=求x.如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令x+=k即可.探究提高k2Z）k(Z）k(知能迁移3使奇函数f(x)=sin(2x+)+cos(2x+)在上为减函数的的值为()解析0,432.D65.C6.B3.A.0cos3sin)0(,)(fxf为奇函数Z，kk,3.3tan,2sin2π)2sin(2)(xkxxf.32,1,,2sin2)(,0,4时当取奇数上为减函数在kkxxfD3题型四三角函数的值域及最值(12分)已知函数f(x)=2asin的定义域为函数的最大值为1,最小值为-5,求a和b的值.【例4】bx)32(,2,0思维启迪求出2x-的范围3a0时，利用最值求a、ba0时，利用最值求a、b解,32323,20xx.31219,361231223,3612,.312193612,1352,0;312233612,5312,0,1)32sin(23