§第一章《立体几何初步》-----4 空间图形的基本关系与公理(2)

14.2空间图形的公理§4空间图形的基本关系与公理2掌握公理1、2、3、4及定理；并能运用它们解决问题----证明点共线、线共点以及线共面问题．加强由实际模型到图形，再由图形返回模型的基本训练，逐步培养由图形想象出空间位置关系的能力．学习目标3知识探究----平面及其性质思考1:平面是构成空间几何体的基本要素.那么什么是平面呢?平面如何表示呢?思考2:平面有哪些性质?4知识探究(一):平面的概念、画法及表示生活中常见的如黑板、平整的操场、桌面、平静的湖面等等，都给我们以平面的印象，几何里所说的平面，就是从这样的一些物体中抽象出来的，几何里的平面是无限延展的.1、平面含义2、平面直观图的画法水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成45°，且横边画成邻边长的2倍（如图）DCBAα5平面ααABCD平面ABCD或平面AC或平面BD3、平面的表示①通常我们用平行四边形表示平面（如上图）；②为了表示和区分平面，我们可以用适当的字母作为平面的名称来表示平面：用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等；用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC、平面ABCD等。6观察下图，你能得到什么结论？桌面BA知识探究（二）：平面的基本性质17ABl图形语言符号语言公理1:如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内(即直线在平面内).知识探究（二）：平面的基本性质1文字语言公理作用一是判定直线在平面内的依据，即要判定直线在平面内，只需确定直线上两个点在平面内即可；也是判定点在平面内的方法，即如果直线在平面内、点在直线上，则点在平面内.二是检验平面的方法一、判定线在面内或点在面内的依据二、检验平面8知识探究（二）：平面的基本性质2观察下图，你能得到什么结论？ABC9图形语言符号语言公理2经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.知识探究（二）：平面的基本性质2文字语言公理作用BCA不在同一条直线上的三点A、B、C⇒有且只有一个平面α，使A∈面α，B∈面α，C∈面α一、确定平面的依据二、判断点线共面得依据.10（1）经过一条直线和这条直线外一点，可以确定一个平面吗？αCLAB（2）经过两条相交直线，可以确定一个平面吗？abαCAB(3)经过两条平行直线，可以确定一个平面吗？aCBbAα思考交流11公理2的三个推论推论1经过一条直线和直线外一点唯一确定一个平面.推论2经过两条相交直线唯一确定一个平面.推论3经过两条平行直线唯一确定一个平面.作用：确定平面的依据12观察下图，你能得到什么结论？P天花板墙面墙面Pa知识探究（二）：平面的基本性质313图形语言符号语言公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么这两个平面有且只有一条通过这个点的公共直线.文字语言公理作用知识探究（二）：平面的基本性质3Pl.lPlPP且且（1）判定两个平面是否相交的依据，只要两个平面有一个公共点，就可以判定这两个平面必相交于过这个点的一条直线；（2）判定点在直线上的依据，点是某两个平面的公共点，线是这两个平面的公共交线，则这点在交线上.一、判定两个平面相交的依据二、判定点在线上的依据14问题：在平面内的三条直线，a//b,b//c⇒a//c,在空间此结论是否成立？举例说明知识探究（二）：平面的基本性质4abc图形语言符号语言文字语言公理作用公理4平行于同一条直线的两条直线平行.cacbba////,//注意：并非所有平面几何中的定理都可以推广到空间．既是证明“等角定理”的基础，是以后证明平行关系的主要依据之一平行公理15空间四边形的有关概念：（1）顺次连结不共面的四点A、B、C、D所构成的图形，叫做空间四边形；（2）四个点中的各个点叫做空间四边形的顶点；（3）所连结的相邻顶点间的线段叫做空间四边形的边；（4）连结不相邻的顶点的线段叫做空间四边形的对角线。16如图：空间四边形ABCD中，AC、BD是它的对角线17空间四边形的常见画法经常用一个平面衬托，如下图中的两种空间四边形ABCD和ABOC.18知识探究(三):等角定理及异面直线所成的角问题1：在平面内，如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或者互补.在空间中成立吗？举例说明观察下图等角或补角定理：在空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.19知识探究(三):等角定理及异面直线所成的角问题2：平面内两条直线的夹角是如何定义的?想一想异面直线所成的角该怎么定义?20思考：⑴作异面直线夹角时，夹角的大小与点O的位置有关吗?点O的位置怎样取才比较简便?⑵异面直线所成的角的范围是多少?⑶两条互相垂直的直线一定在同一平面上吗?⑷异面直线的夹角是通过什么样的方法作出来的?它体现了什么样的数学思想?21例1在空间四边形ABCD中,E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点.求证:四边形EFGH是平行四边形.ABCDEHFG证明：如图，连结BD。因为FG是ΔCBD的中位线，所以FG//BD，.21BDFG。，所以BDEHBDEH21//又因为EH是ΔABD的中位线根据公理4，FG//EH，且FG=EH。所以，四边形EFGH是平行四边形。理论迁移22例2如图，将无盖正方体纸盒展开，直线AB，CD在原正方体中的位置关系是（）A、平行B、相交且垂直C、异面直线D、相交成60°ABDCCB(D)A理论迁移23当堂练习1：根据下列条件作图：(1)A∈，a，A∈a；(2)a，b，c，且a∩b＝A，b∩c＝B，c∩a=C.≠≠≠≠24（7）若四点不共面，那么每三个点一定不共线（6）两两相交的三条直线确定一个平面（5）三条平行直线可以确定三个平面（4）一条直线和一个点可以确定一个平面当堂练习2：判断下列命题的真假，真的打“√”，假的打“×”（1）空间三点可以确定一个平面（3）两条相交直线可以确定一个平面（2）两条直线可以确定一个平面当堂练习3：列图形中不一定是平面图形的（）A、三角形B、菱形C、梯形D、四边相等的四边形25下列结论正确的是（）A.若两个角相等，则这两个角的两边分别平行B.空间四边形的四个顶点可以在一个平面内C.空间四边形的两条对角线可以相交D.空间四边形的两条对角线不相交D当堂练习426如图：在长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知E，F分别是AB,BC的中点，求证：EF∥A1C1.FEABCC1B1D1A1D当堂练习5271.平面的概念，画法及表示方法；2.平面的性质及其作用；3.符号表示.课堂小结