【步步高】江苏专用2011高考数学二轮复习 第7讲导数课件 理 苏教版

第7讲导数高考要点回扣1.导数的概念及运算(1)定义f′(x)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f(x＋Δx)－f(x)Δx.(2)几何意义曲线y＝f(x)在P(x0，f(x0))处的切线的斜率为k＝f′(x0)(其中f′(x0)为y＝f(x)在x0处的导数).(3)求导数的方法①基本导数公式：c′＝0(c为常数)；(xm)′＝mxm－1(m∈Q)；(sinx)′＝cosx；(cosx)′＝－sinx；(ex)′＝ex；(ax)′＝axlna；(lnx)′＝1x；(logax)′＝1xlna.②导数的四则运算：(u±v)′＝u′±v′；(uv)′＝u′v＋uv′；uv′＝u′v－uv′v2(v≠0).③复合函数的导数：yx′＝yu′·ux′.如求f(ax＋b)的导数，令u＝ax＋b，则(f(ax＋b))′＝f′(u)·a.2.导数的应用(1)求曲线的切线方程利用导数求曲线的切线方程：由于函数y＝f(x)在x＝x0处的导数表示曲线在点P(x0，y0)处的斜率，因此曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝f′(x0)·(x－x0).注意：如果曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线平行于y轴(此时导数不存在)时，由切线定义可知，切线方程为x＝x0.(2)求函数的单调区间利用求导方法讨论函数的单调性要注意以下几方面：①f′(x)0是f(x)递增的充分条件而非必要条件(f′(x)0亦是如此)；②求单调区间时，首先要确定定义域，然后再根据f′(x)0(或f′(x)0)解出在定义域内相应的x的范围；③在证明不等式时，首先要构造函数和确定定义域，其次运用求导的方法来证明.(3)求可导函数的极值与最值①求可导函数极值的步骤求导数f′(x)→求方程f′(x)＝0的根→检验f′(x)在方程根左右值的符号，求出极值(若左正右负，则f(x)在这个根处取极大值；若左负右正，则f(x)在这个根处取极小值).②求可导函数在［a，b］上的最值的步骤求f(x)在(a，b)内的极值→求f(a)、f(b)的值→比较f(a)、f(b)的值和极值的大小.特别提醒若f(x)在某区间上单调递增，则在该区间上有f′(x)≥0恒成立(但不恒等于0)；若在某区间上单调递减，则在该区间上有f′(x)≤0恒成立(但不恒等于0).3.定积分的概念及应用(1)用定积分定义求曲边梯形的面积的一般步骤为：分割、近似代替、求和、取极限.(2)定积分的运算性质①kf(x)dx＝kf(x)dx，k为常数；②[f(x)±g(x)]dx＝f(x)dxg(x)dx；③f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx(这里acb).bababababacabcba(3)微积分基本定理一般地，如果f(x)是区间［a，b］上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么f(x)dx＝F(b)－F(a).因此，计算f(x)dx的关键是找到满足F′(x)＝f(x)的原函数F(x).求一个函数的原函数与一个函数的导数是互逆运算，因此应掌握一些常见函数的导数.baba精品回扣练习1.若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则a，b的值分别为.解析∵点(0，b)在直线x－y＋1＝0上，∴b＝1.又y′＝2x＋a，∴过点(0，b)的切线的斜率为y′|x＝0＝a＝1.1,12.设函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为.解析由条件知g′(1)＝2，又∵f′(x)＝[g(x)＋x2]′＝g′(x)＋2x，∴f′(1)＝g′(1)＋2＝2＋2＝4.43.已知函数f(x)的导数f′(x)＝(x＋1)2(x－1)(x－2)，则函数f(x)的极值点的个数为.解析根据极值点的定义可知，当x＝1或x＝2时，函数取极值，故极值点有两个.24.曲线f(x)＝x3＋x－2在P0点处的切线平行于直线y＝4x－1，则P0点的坐标为.解析设P0点的坐标为(x0，y0)，由f(x)＝x3＋x－2得：f′(x)＝3x2＋1，令f′(x0)＝4，即3x20＋1＝4得x0＝1或x0＝－1，∴P0点的坐标为(1,0)或(－1，－4).(1,0)或(－1，－4)5.直线y＝12x＋b是曲线y＝lnx(x0)的一条切线，则实数b＝.解析(lnx)′＝1x，令1x＝12，得x＝2，故切点坐标为(2，ln2).将其代入直线方程，得ln2＝12×2＋b，所以b＝ln2－1.ln2－16.(2009·江苏)函数f(x)＝x3－15x2－33x＋6的单调减区间为.解析∵f′(x)＝3x2－30x－33＝3(x－11)(x＋1)，令f′(x)0得－1x11，∴函数f(x)＝x3－15x2－33x＋6的单调减区间为(－1,11).(－1,11)7.(2009·福建)若曲线f(x)＝ax5＋lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是.解析∵f′(x)＝5ax4＋1x，x∈(0，＋∞)，∴由题知5ax4＋1x＝0在(0，＋∞)上有解.即a＝－15x5在(0，＋∞)上有解.∵x∈(0，＋∞)，∴－15x5∈(－∞，0).∴a∈(－∞，0).(－∞，0)8.f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极大值，则常数c的值为.解析f(x)＝x3－2cx2＋c2x，f′(x)＝3x2－4cx＋c2，f′(2)＝0⇒c＝2或c＝6，若c＝2，f′(x)＝3x2－8x＋4，令f′(x)0⇒x23或x2，f′(x)0⇒23x2，故函数在(－∞，23)及(2，＋∞)上单调递增，在(23，2)上单调递减，∴x＝2是极小值点，故c＝2不合题意，c＝6.69.(2010·全国Ⅱ)已知函数f(x)＝x3－3ax2＋3x＋1.(1)设a＝2，求f(x)的单调区间；(2)设f(x)在区间(2,3)中至少有一个极值点，求a的取值范围.解(1)当a＝2时，f(x)＝x3－6x2＋3x＋1，f′(x)＝3(x－2＋3)(x－2－3).当x∈(－∞，2－3)时，f′(x)0，f(x)在(－∞，2－3)上单调递增；当x∈(2－3，2＋3)时，f′(x)0，f(x)在(2－3，2＋3)上单调递减；当x∈(2＋3，＋∞)时，f′(x)0，f(x)在(2＋3，＋∞)上单调递增.综上，f(x)的单调增区间是(－∞，2－3)和(2＋3，＋∞)，f(x)的单调减区间是(2－3，2＋3).(2)f′(x)＝3［(x－a)2＋1－a2］.当1－a2≥0时，f′(x)≥0，f(x)为增函数，故f(x)无极值点；当1－a20时，f′(x)＝0有两个根x1＝a－a2－1，x2＝a＋a2－1.由题意，知2a－a2－13，①或2a＋a2－13，②①无解，②的解为54a53，因此a的取值范围是(54，53).返回