浙江专版2018高考数学一轮复习第4章平面向量数系的扩充与复数的引入第2节平面向量的基本定理及坐标表

课时分层训练抓基础·自主学习明考向·题型突破第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入第二节平面向量的基本定理及坐标表示1．平面向量基本定理(1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个________向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝__________.(2)基底：________的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．2．平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，该平面内的任一向量a可表示成a＝xi＋yj，由于a与数对(x，y)是一一对应的，把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝_______，其中a在x轴上的坐标是x，a在y轴上的坐标是y.不共线不共线(x，y)λ1e1＋λ2e23．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝_______________，a－b＝_______________，λa＝_________，|a|＝________.x21＋y21(x1＋x2，y1＋y2)(x1－x2，y1－y2)(λx1，λy1)(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB→＝_________________，|AB→|＝____________________.4．平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a，b共线⇔______________.(x2－x1，y2－y1)x2－x12＋y2－y12x1y2－x2y1＝01．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．()(2)在△ABC中，设AB→＝a，BC→＝b，则向量a与b的夹角为∠ABC.()(3)若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.()(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可以表示成x1x2＝y1y2.()[答案](1)×(2)×(3)√(4)×2．已知平面向量a＝(2，－1)，b＝(1,3)，那么|a＋b|等于()A．5B.13C.17D．13B[因为a＋b＝(2，－1)＋(1,3)＝(3,2)，所以|a＋b|＝32＋22＝13.]3．已知点A(0,1)，B(3,2)，向量AC→＝(－4，－3)，则向量BC→＝()A．(－7，－4)B．(7,4)C．(－1,4)D．(1,4)A[AB→＝(3,2)－(0,1)＝(3,1)，BC→＝AC→－AB→＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．故选A.]4．已知向量a＝(m,4)，b＝(3，－2)，且a∥b，则m＝________.－6[∵a＝(m,4)，b＝(3，－2)，a∥b，∴－2m－4×3＝0，∴m＝－6.]5．(教材改编)已知▱ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5,6)，则顶点D的坐标为________.【导学号：51062140】(1,5)[设D(x，y)，则由AB→＝DC→，得(4,1)＝(5－x,6－y)，即4＝5－x，1＝6－y，解得x＝1，y＝5.]平面向量基本定理及其应用(1)如果e1，e2是平面α内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是()A．e1与e1＋e2B．e1－2e2与e1＋2e2C．e1＋e2与e1－e2D．e1＋3e2与6e2＋2e1(2)(2017·浙江五校联考)在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若AC→＝λAE→＋μAF→，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝________.(1)D(2)43[(1)选项A中，设e1＋e2＝λe1，则1＝λ，1＝0无解；选项B中，设e1－2e2＝λ(e1＋2e2)，则λ＝1，－2＝2λ无解；选项C中，设e1＋e2＝λ(e1－e2)，则λ＝1，1＝－λ无解；选项D中，e1＋3e2＝12(6e2＋2e1)，所以两向量是共线向量．(2)选择AB→，AD→作为平面向量的一组基底，则AC→＝AB→＋AD→，AE→＝12AB→＋AD→，AF→＝AB→＋12AD→，又AC→＝λAE→＋μAF→＝12λ＋μAB→＋λ＋12μAD→，于是得12λ＋μ＝1，λ＋12μ＝1，解得λ＝23，μ＝23，所以λ＋μ＝43.][规律方法]1.利用平面向量基本定理表示向量时，要选择一组恰当的基底来表示其他向量，即用特殊向量表示一般向量．2．利用已知向量表示未知向量，实质就是利用三角形法则进行向量的加减运算，在解题时，注意方程思想的运用．如解答本题(2)的关键是根据平面向量基本定理列出关于λ，μ的方程组．[变式训练1]如图4­2­1，在梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＝13BC，E，F分别为线段AD与BC的中点．设BA→＝a，BC→＝b，则EF→＝________，DF→＝________，CD→＝________(用向量a，b表示)．图4­2­113b－a16b－aa－23b[EF→＝EA→＋AB→＋BF→＝－16b－a＋12b＝13b－a，DF→＝DE→＋EF→＝－16b＋13b－a＝16b－a，CD→＝CF→＋FD→＝－12b－16b－a＝a－23b.]平面向量的坐标运算已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设AB→＝a，BC→＝b，CA→＝c，且CM→＝3c，CN→＝－2b，(1)求3a＋b－3c；(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；(3)求M，N的坐标及向量MN→的坐标．[解]由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8).2分(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42).5分(2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，∴－6m＋n＝5，－3m＋8n＝－5，解得m＝－1，n＝－1.9分(3)设O为坐标原点．∵CM→＝OM→－OC→＝3c，∴OM→＝3c＋OC→＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)．∴M(0,20).11分又∵CN→＝ON→－OC→＝－2b，∴ON→＝－2b＋OC→＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，∴N(9,2)，∴MN→＝(9，－18).14分[规律方法]1.向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．常利用向量相等则其坐标相同列方程(组)求解．2．平面向量的坐标运算的引入为向量提供了新的语言——“坐标语言”，实质是“形”化为“数”．向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来．[变式训练2](2017·湖州三次质检)已知a＝(1，t)，b＝(t，－6)，则|2a＋b|的最小值为________.【导学号：51062141】25[由条件得2a＋b＝(2＋t,2t－6)，所以|2a＋b|＝2＋t2＋2t－62＝5t－22＋20，当t＝2时，|2a＋b|的最小值为25.]平面向量共线的坐标表示(1)已知向量a＝(－1,1)，b＝(3，m)，若a∥(a＋b)，则m＝()A．－2B．2C．－3D．3(2)已知梯形ABCD，其中AB∥CD，且DC＝2AB，三个顶点A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，则点D的坐标为________．(1)C(2)(2,4)[(1)由题意可知a＋b＝(2,1＋m)，∵a∥(a＋b)，∴2＋(m＋1)＝0⇒m＝－3.(2)∵在梯形ABCD中，DC＝2AB，∴DC→＝2AB→.设点D的坐标为(x，y)，则DC→＝(4,2)－(x，y)＝(4－x,2－y)．AB→＝(2,1)－(1,2)＝(1，－1)，∴(4－x,2－y)＝2(1，－1)，即(4－x,2－y)＝(2，－2)，∴4－x＝2，2－y＝－2，解得x＝2，y＝4，故点D的坐标为(2,4)．][规律方法]1.两平面向量共线的充要条件有两种形式：(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0；(2)若a∥b(a≠0)，则b＝λa.2．向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数．当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例求解．[变式训练3](1)(2017·杭州学军中学模拟)已知向量a＝(1－sinθ，1)，b＝12，1＋sinθ，若a∥b，则锐角θ＝________.(2)已知向量OA→＝(1，－3)，OB→＝(2，－1)，OC→＝(k＋1，k－2)，若A，B，C三点能构成三角形，则实数k应满足的条件是________．(1)π4(2)k≠1[(1)由a∥b，得(1－sinθ)(1＋sinθ)＝12，所以cos2θ＝12，所以cosθ＝22或－22，又θ为锐角，所以θ＝π4.(2)若点A，B，C能构成三角形，则向量AB→，AC→不共线．因为AB→＝OB→－OA→＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，AC→＝OC→－OA→＝(k＋1，k－2)－(1，－3)＝(k，k＋1)，所以1×(k＋1)－2k≠0，解得k≠1.][思想与方法]1．平面向量基本定理实质上是平面向量的分解定理，是平面向量正交分解、坐标表示的理论基础，用平面向量基本定理可将平面内任一向量分解成形如a＝λ1e1＋λ2e2的形式．2．利用平面向量共线的坐标表示既可以证明向量平行、点共线，也可以由平行求点的坐标或参数值．3．若a与b不共线，λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.[易错与防范]1．在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量OA→＝a，点A的位置被向量a唯一确定，此时点A的坐标与a的坐标统一为(x，y)．但表示形式与意义不同，如点A(x，y)，向量a＝OA→＝(x，y)，向量坐标中既有大小信息又有方向信息．2．若a，b为非零向量，当a∥b时，a，b的夹角为0°或180°，求解时容易忽视其中一种情形致误．3．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件不能表示成x1x2＝y1y2，因为x2，y2有可能等于0，应表示为x1y2－x2y1＝0.