浙江专用2018版高考数学大一轮复习高考专题突破四高考中的不等式问题

1（浙江专用）2018版高考数学大一轮复习高考专题突破四高考中的不等式问题教师用书1．若a，b，c∈R，且ab，则下列不等式一定成立的是()A．a＋c≥b－cB．(a－b)c2≥0C．acbcD.c2a－b0答案B解析A项：当c0时，不等式a＋c≥b－c不一定成立；C项：c＝0时，ac＝bc；D项：c＝0时，c2a－b＝0；B项：ab⇒a－b0，因为c2≥0，所以(a－b)c2≥0.故选B.2．(2016·浙江金华十校联考)已知函数f(x)＝－x＋1，x0，x－1，x≥0，则不等式x＋(x＋1)f(x＋1)≤1的解集是()A．{x|－1≤x≤2－1}B．{x|x≤1}C．{x|x≤2－1}D．{x|－2－1≤x≤2－1}答案C解析由题意不等式x＋(x＋1)f(x＋1)≤1等价于①x＋10，x＋x＋－x＋＋1]≤1或②x＋1≥0，x＋x＋x＋－1]≤1，解不等式组①得x－1；解不等式组②得－1≤x≤2－1.故原不等式的解集是{x|x≤2－1}，选C.3．(2016·杭州质检)若实数x，y满足x＋y≥0，x≤1，x－2y≥0，则|x|＋|y|的取值范围是________．答案[0,2]解析|x|＋|y|表示可行域内一点到x，y轴的距离之和，作出不等式组表示的可行域，由可2行域可知在(0,0)处取得最小值0，在(1，－1)处取得最大值2，所以|x|＋|y|∈[0,2]．4．若关于x的方程x2＋4x＋|a－2|＋|a＋1|＝0有实根，则实数a的取值范围为________．答案[－32，52]解析由方程x2＋4x＋|a－2|＋|a＋1|＝0有实根，可得Δ＝42－4×1×(|a－2|＋|a＋1|)≥0，整理得|a－2|＋|a＋1|≤4.∵|a－2|＋|a＋1|代表数轴上的点a到2和－1两点的距离和，易知|a－2|＋|a＋1|≤4的取值范围为[－32，52].题型一含参数不等式的解法例1解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a∈R)．解原不等式可化为ax2＋(a－2)x－2≥0⇒(ax－2)(x＋1)≥0.①当a＝0时，原不等式化为x＋1≤0⇒x≤－1.②当a0时，原不等式化为x－2a(x＋1)≥0⇒x≥2a或x≤－1.③当a0时，原不等式化为x－2a(x＋1)≤0.当2a－1，即a－2时，解得－1≤x≤2a；当2a＝－1，即a＝－2时，解得x＝－1；当2a－1，即a－2，解得2a≤x≤－1.综上所述，当a－2时，原不等式的解集为－1，2a；当a＝－2时，原不等式的解集为{－1}；当－2a0时，原不等式的解集为2a，－1；当a＝0时，原不等式的解集为(－∞，－1]；当a0时，原不等式的解集为(－∞，－1]∪2a，＋∞.思维升华解含参数的一元二次不等式的步骤(1)若二次项含有参数应讨论是否等于0，小于0，和大于0，然后将不等式转化为二次项系3数为正的形式．(2)判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系．(3)当方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．(1)若0a1，则不等式(a－x)(x－1a)0的解集是______．(2)若关于x的不等式|x－1|＋|x＋m|3的解集为R，则实数m的取值范围是__________．答案(1)(a，1a)(2)(－∞，－4)∪(2，＋∞)解析(1)原不等式即为(x－a)(x－1a)0，由0a1得a1a，∴ax1a.(2)依题意得，|x－1|＋|x＋m|≥|(x－1)－(x＋m)|＝|m＋1|，即函数y＝|x－1|＋|x＋m|的最小值是|m＋1|，于是有|m＋1|3，m＋1－3或m＋13，由此解得m－4或m2.因此实数m的取值范围是(－∞，－4)∪(2，＋∞)．题型二线性规划问题例2实数x，y满足不等式组x－y＋2≥0，2x－y－5≤0，x＋y－4≥0，则z＝|x＋2y－4|的最大值为________．答案21解析方法一作出不等式组表示的平面区域．如图中阴影部分所示．z＝|x＋2y－4|＝|x＋2y－4|5·5，则几何含义为阴影区域内的点到直线x＋2y－4＝0的距离的5倍．由x－y＋2＝0，2x－y－5＝0，得点B的坐标为(7,9)，显然，点B到直线x＋2y－4＝0的距离最大，此时zmax＝21.方法二由图可知，阴影区域内的点都在直线x＋2y－4＝0的上方，显然此时有x＋2y－40，4于是目标函数等价于z＝x＋2y－4，即转化为一般的线性规划问题．显然，当直线经过点B时，目标函数取得最大值，zmax＝21.思维升华对线性规划问题的实际应用，关键是建立数学模型，要找准目标函数及两个变量，准确列出线性约束条件，然后寻求最优解，最后回到实际问题．(1)已知x，y满足约束条件x－y－1≤0，2x－y－3≥0，当目标函数z＝ax＋by(a0，b0)在该约束条件下取到最小值25时，a2＋b2的最小值为()A．5B．4C.5D．2(2)(2017·杭州调研)一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4吨，硝酸盐18吨；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1吨，硝酸盐15吨．现库存磷酸盐10吨，硝酸盐66吨，在此基础上生产这两种混合肥料．如果生产1车皮甲种肥料产生的利润为10000元，生产1车皮乙种肥料产生的利润为5000元，那么适当安排生产，可产生的最大利润是________元．答案(1)B(2)30000解析(1)画出满足约束条件的可行域如图所示，可知当目标函数过直线x－y－1＝0与2x－y－3＝0的交点(2,1)时取得最小值，所以有2a＋b＝25.因为a2＋b2表示原点(0,0)到点(a，b)的距离的平方，所以a2＋b2的最小值为原点到直线2a＋b－25＝0的距离，即(a2＋b2)min＝|－25|22＋12＝2，所以a2＋b2的最小值是4，故选B.(2)设生产甲种肥料x车皮，生产乙种肥料y车皮，则z＝10000x＋5000y，约束条件为54x＋y≤10，18x＋15y≤66，x≥0，y≥0，画出可行域如图所示，由图可知，在D(2,2)处z有最大值，且zmax＝10000×2＋5000×2＝30000(元)．题型三基本不等式的应用例3(1)在面积为定值9的扇形中，当扇形的周长取得最小值时，扇形的半径是()A．3B．2C．4D．5(2)(2016·浙江五校第一次联考)已知a0，b0，c1，且a＋b＝1，则(a2＋1ab－2)·c＋2c－1的最小值为______．答案(1)A(2)4＋22解析(1)设扇形的半径为r，其弧长为l，由题意可得S＝12lr＝9，故lr＝18.扇形的周长C＝2r＋l≥22rl＝22×18＝12，当且仅当2r＝l，即r＝3，l＝6时取等号．(2)∵a2＋1ab＝a2＋a＋b2ab＝2a2＋2ab＋b2ab＝2ab＋ba＋2≥22ab·ba＋2＝22＋2，当且仅当2ab＝ba，a＋b＝1，即a＝2－1，b＝2－2时等号成立，∴(a2＋1ab－2)·c＋2c－1≥22c＋2c－16＝22(c－1)＋2c－1＋22≥222c－2c－1＋22＝4＋22，当且仅当22(c－1)＝2c－1，即c＝1＋22时，等号成立．综上，所求最小值为4＋22.思维升华(1)应用型问题解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型．(2)应用基本不等式求最值要注意检验等号成立的条件，不要忽视问题的实际意义．(1)设x，y均为正实数，且32＋x＋32＋y＝1，则xy的最小值为()A．4B．43C．9D．16(2)某栋楼的建筑成本由土地使用权费和材料工程费构成，已知土地使用权费为2000元/m2；材料工程费在建造第一层时为400元/m2，以后每增加一层费用增加40元/m2.要使平均每平方米建筑面积的成本费最低，则应把楼盘的楼房设计成________层．答案(1)D(2)10解析(1)由32＋x＋32＋y＝1可得xy＝8＋x＋y.∵x，y均为正实数，∴xy＝8＋x＋y≥8＋2xy(当且仅当x＝y时等号成立)，即xy－2xy－8≥0，解得xy≥4，即xy≥16，故xy的最小值为16.(2)设应把楼房设计成x层，每层有面积ym2，则平均每平方米建筑面积的成本费为k＝2000y＋y×400＋y×440＋…＋y×[400＋x－xy＝2000x＋20x＋380≥22000x·20x＋380＝780，当且仅当2000x＝20x，即x＝10时取等号，故应把楼房设计成10层．题型四绝对值不等式例4设不等式|x＋1|＋|x－1|≤2的解集为M.(1)求集合M；(2)若x∈M，|y|≤16，|z|≤19，求证：|x＋2y－3z|≤53.(1)解①x－1，－2x≤2⇒x∈∅；7②－1≤x≤1，2≤2⇒－1≤x≤1；③x1，2x≤2⇒x∈∅，综上所述，不等式的解集即集合M为[－1,1]．(2)证明|x＋2y－3z|≤|x|＋2|y|＋3|z|≤1＋2×16＋3×19＝53，∴|x＋2y－3z|≤53.思维升华(1)解绝对值不等式可以利用绝对值的几何意义，零点分段法、平方法、构造函数法等．(2)利用绝对值三角不等式可以证明不等式或求取值．(1)(2016·杭州质检)已知函数f(x)＝|x－5|＋|x＋3|＋|x－3|＋|x＋5|－c，若存在正常数m，使f(m)＝0，则不等式f(x)f(m)的解集是________．(2)不等式|x－2|＋|x＋1|≥a对于任意x∈R恒成立，则实数a的取值范围为__________．答案(1)(－m，m)(2)(－∞，3]解析(1)由|－x－5|＋|－x＋3|＋|－x－3|＋|－x＋5|＝|x－5|＋|x＋3|＋|x－3|＋|x＋5|可知，函数f(x)为偶函数，当－3≤x≤3，得f(x)的最小值为16－c.结合题意可得c≥16.由f(m)＝0得f(x)f(m)，即|x－5|＋|x＋3|＋|x－3|＋|x＋5|－c0，结合图形可知，解集为(－m，m)．(2)当x∈(－∞，－1]时，|x－2|＋|x＋1|＝2－x－x－1＝1－2x≥3；当x∈(－1,2)时，|x－2|＋|x＋1|＝2－x＋x＋1＝3；当x∈[2，＋∞)时，|x－2|＋|x＋1|＝x－2＋x＋1＝2x－1≥3，综上可得|x－2|＋|x＋1|≥3，∴a≤3.1．解关于x的不等式x2－(2＋m)x＋2m0.解原不等式可化为(x－2)(x－m)0.①当m2时，不等式(x－2)(x－m)0的解集为{x|2xm}；8②当m2时，不等式(x－2)(x－m)0的解集为{x|mx2}；③当m＝2时，不等式(x－2)(x－m)0的解集为∅.综上所述：当m2时，不等式的解集为{x|2xm}；当m2时，不等式的解集为{x|mx2}；当m＝2时，不等式的解集为∅.2．已知函数f(x)＝x2－6x＋9＋x2＋8x＋16.(1)求f(x)≥f(4)的解集；(2)设函数g(x)＝k(x－3)，k∈R，若f(x)g(x)对任意的x∈R都成立，求k的取值范围．解(1)f(x)＝x2－6x＋9＋x2＋8x＋16＝x－2＋x＋2＝|x－3|＋|x＋4|，∵f(x)≥f(4)，即|x－3|＋|x＋4|≥9，∴x≤－4，3－x－x－4≥9或－4x3，3－x＋x＋4≥9或x≥3，x－3＋x＋4≥9，解得x≤－5或x≥4，∴f(x)≥f(4)的解集为{x|x≤－5或x≥4}．(2)f(x)g(x)，即f(x)＝|x－3|＋|x＋4|的图象恒在g(x)＝k(x－3)图象的上方，又∵f(x)＝|x－3|＋|x＋4|＝－2x－1，x≤－4，7，－4x3，2x＋1，x≥3，g(x)＝k(x－3)的图象恒过定点P(3,0)，作函数y＝f(x)，y＝g(x)的图象如图，其中kPB＝2，A(－4,7