高中数学必修5解三角形教案

1第2章解三角形2.1.1正弦定理教学要求：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题.教学重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用.教学难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数.教学过程：一、复习准备：1.讨论：在直角三角形中，边角关系有哪些？（三角形内角和定理、勾股定理、锐角三角函数）如何解直角三角形？那么斜三角形怎么办？2.由已知的边和角求出未知的边和角，称为解三角形.已学习过任意三角形的哪些边角关系？（内角和、大边对大角）是否可以把边、角关系准确量化？→引入课题：正弦定理二、讲授新课：1.教学正弦定理的推导：①特殊情况：直角三角形中的正弦定理：sinA=casinB=cbsinC=1即c=sinsinsinabcABC.②能否推广到斜三角形？（先研究锐角三角形，再探究钝角三角形）当ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据三角函数的定义，有sinsinCDaBbA,则sinsinabAB.同理，sinsinacAC（思考如何作高？），从而sinsinsinabcABC.③*其它证法：证明一：（等积法）在任意斜△ABC当中S△ABC=111sinsinsin222abCacBbcA.两边同除以12abc即得：sinaA=sinbB=sincC.证明二：（外接圆法）如图所示，∠A＝∠D，∴2sinsinaaCDRAD，同理sinbB=2R，sincC＝2R.abcOBCAD2证明三：（向量法）过A作单位向量j垂直于AC，由AC+CB=AB边同乘以单位向量j得…..④正弦定理的文字语言、符号语言，及基本应用：已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边；已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值.2.教学例题：①出示例1：在ABC中，已知045A，060B，42acm，解三角形.分析已知条件→讨论如何利用边角关系→示范格式→小结：已知两角一边②出示例2：06,45,2,,ABCcAabBC中，求和.分析已知条件→讨论如何利用边角关系→示范格式→小结：已知两边及一边对角③练习：03,60,1,,ABCbBcaAC中，求和.在ABC中，已知10acm，14bcm，040A，解三角形（角度精确到01，边长精确到1cm）④讨论：已知两边和其中一边的对角解三角形时，如何判断解的数量？3.小结：正弦定理的探索过程；正弦定理的两类应用；已知两边及一边对角的讨论.三、巩固练习：1.已知ABC中，A=60°，3a，求sinsinsinabcABC.2.作业：教材P5练习1(2)，2题.32.1.2余弦定理（一）教学要求：掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.教学重点：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用.教学难点：向量方法证明余弦定理.教学过程：一、复习准备：1.提问：正弦定理的文字语言？符号语言？基本应用？2.练习：在△ABC中，已知10c，A=45，C=30，解此三角形.→变式3.讨论：已知两边及夹角，如何求出此角的对边？二、讲授新课：1.教学余弦定理的推导：①如图在ABC中，AB、BC、CA的长分别为c、a、b.∵ACABBC，∴()()ACACABBCABBC222ABABBCBC222||||cos(180)ABABBCBBC222coscacBa.即2222cosbcaacB，→②试证：2222cosabcbcA，2222coscababC.③提出余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍.用符号语言表示2222cosabcbcA，…等；→基本应用：已知两边及夹角④讨论：已知三边，如何求三角？→余弦定理的推论：222cos2bcaAbc，…等.⑤思考：勾股定理与余弦定理之间的关系？2.教学例题：①出示例1：在ABC中，已知23a，62c，060B，求b及A.分析已知条件→讨论如何利用边角关系→示范求b→讨论：如何求A？（两种方法）（答案：22b，060A）→小结：已知两边及夹角cabABC4②在ABC中，已知13acm，8bcm，16ccm，解三角形.分析已知条件→讨论如何利用边角关系→分三组练习→小结：已知两角一边3.练习：①在ΔABC中，已知a＝7，b＝10，c＝6，求A、B和C.②在ΔABC中，已知a＝2，b＝3，C＝82°，解这个三角形.4.小结：余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；余弦定理的应用范围：①已知三边求三角；②已知两边及它们的夹角，求第三边.三、巩固练习：1.在ABC中，若222abcbc，求角A.（答案：A=1200）2.三角形ABC中，A＝120°，b＝3，c＝5，解三角形.→变式：求sinBsinC；sinB＋sinC.3.作业：教材P8练习1、2（1）题.52.1.3正弦定理和余弦定理（练习）教学要求：进一步熟悉正、余弦定理内容，能熟练运用余弦定理、正弦定理解答有关问题，如判断三角形的形状，证明三角形中的三角恒等式.教学重点：熟练运用定理.教学难点：应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化.教学过程：一、复习准备：1.写出正弦定理、余弦定理及推论等公式.2.讨论各公式所求解的三角形类型.二、讲授新课：1.教学三角形的解的讨论：①出示例1：在△ABC中，已知下列条件，解三角形.(i)A＝6，a＝25，b＝502；(ii)A＝6，a＝252，b＝502；(iii)A＝6，a＝5063，b＝502；(iiii)A＝6，a＝50，b＝502.分两组练习→讨论：解的个数情况为何会发生变化？②用如下图示分析解的情况.（A为锐角时）②练习：在△ABC中，已知下列条件，判断三角形的解的情况.(i)A＝23，a＝25，b＝502；(ii)A＝23，a＝25，b＝102例1.根据下列条件，判断解三角形的情况(1)a＝20，b＝28，A＝120°.无解(2)a＝28，b＝20，A＝45°；一解(3)c＝54，b＝39，C＝115°；一解(4)b＝11，a＝20，B＝30°；两解2.教学正弦定理与余弦定理的活用：babababaa已知边a,b和A仅有一个解有两个解仅有一个解无解abCH=bsinAaba=CH=bsinAaCH=bsinAACBACB1ABACB2CHHH6①出示例2：在△ABC中，已知sinA∶sinB∶sinC=6∶5∶4，求最大角的余弦.分析：已知条件可以如何转化？→引入参数k，设三边后利用余弦定理求角.②出示例3：在ΔABC中，已知a＝7，b＝10，c＝6，判断三角形的类型.分析：由三角形的什么知识可以判别？→求最大角余弦，由符号进行判断结论：活用余弦定理，得到：222222222是直角是直角三角形是钝角是钝角三角形是锐角abcAABCabcAABCabcA是锐角三角形ABC③出示例4：已知△ABC中，coscosbCcB，试判断△ABC的形状.分析：如何将边角关系中的边化为角？→再思考：又如何将角化为边？3.小结：三角形解的情况的讨论；判断三角形类型；边角关系如何互化.三、巩固练习：1.已知a、b为△ABC的边，A、B分别是a、b的对角，且sin2sin3AB，求abb的值2.在△ABC中，sinA:sinB:sinC＝4:5:6，则cosA:cosB:cosC＝.3.作业：72.2三角形中的几何计算一、设疑自探正弦定理、余弦定理是两个重要的定理，在解决与三角形有关的几何计算问题中有着广泛的应用。对于本节课你想了解哪些内容？（1）怎样运用正弦定理、余弦定理处理三角形中的计算问题？（2）处理三角形中的计算问题应该注意哪些问题？二、解疑合探..453095||的长求，，，，中，形例一：如图所示，在梯BDADBBCAACABBCADABCDADBC28135601410,BCBCBCDBDAABADCDADABCD答案：的长。，求，，，中，在四边形例二：如图所示，已知DCAB面积的最大值。）求四边形（的函数；表示成的面积试将四边形）若（的两侧。与圆心分别在且点角形为边作等边三以上半圆上的一个动点，是圆，点上，的延长线在直径，点的半径是圆例三：如图所示，已知OPDCyOPDCPOBPCDPCDPCOPBCABCO2,1,11DOACBP8的取值范围。求于交的平分线，底角中，底边如图所示，在等腰例五BDDACBDBBCABC,1:.232,12cos22,45202cos12cos4212cos42cos22sincos2cossin2cos2sin2)23sin(sin,)23180sin(1sin,sinsin2318022180,2180,2），的取值范围为（即中，由正弦定理，得在解：BDABCABCABCABC。ABCABCABCABCABCABCABCABCABCABCBDABCABCBDBDCBCCBDBCDABCABCABCABDABDCABCACABC四、运用拓展3311334949322016601rRBCABCBCSABAABCABC，，答案：径。的外接圆和内切圆的半及，求，，中，）在（），的取值范围是（答案：的取值范围。求的对边，且分别是内角中，在21,2,,,,)2(ababABCBAcbaABCABCD9§3解三角形的实际应用举例教学目标1、掌握正弦定理、余弦定理，并能运用它们解斜三角形。2、能够运用正弦定理、余弦定理进行三角形边与角的互化。3、培养和提高分析、解决问题的能力。教学重点难点1、正弦定理与余弦定理及其综合应用。2、利用正弦定理、余弦定理进行三角形边与角的互化。教学过程一、复习引入1、正弦定理：2sinsinsinabcRABC2、余弦定理：,cos2222AbccbabcacbA2cos222,cos2222BcaacbcabacB2cos222Cabbaccos2222，abcbaC2cos222二、例题讲解引例：我军有A、B两个小岛相距10海里，敌军在C岛，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，为提高炮弹命中率，须计算B岛和C岛间的距离，请你算算看。解：060A075B∴045C由正弦定理知0045sin1060sinBC6545sin60sin1000BC海里750600CBA10例1．如图，自动卸货汽车采用液压机构，设计时需要计算油泵顶杆BC的长度（如图）．已知车厢的最大仰角为60°，油泵顶点B与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为/02060，AC长为1.40m，计算BC的长（保留三个有效数字）．分析：这个问题就是在ABC中，已知AB=1.95m，AC=1.4m,求BC的长，由于已知的两边和它们的夹角，所以可根据余弦定理求出BC。解：由余弦定理，得答：顶杠BC长约为1.89m.解斜三角形理论应用于实际问题应注意：1、认真分析题意，弄清已知元素和未知元素。2、要明确题目中一些名词、术语的意义。如视角，仰角，俯角，方位角等等。3、动手画出示意图，利用几何图形的性质，将已知和未知集中到一个三角形中解决。练1.如图,一艘船以32海里/时的速度向正北航行,在A处看灯塔S在船的北偏东020,30分钟后航行到B处,在B处看灯塔S在船的北偏东065方向上,求灯塔S和B处的距离.（保留到0.1）解：16AB由正弦定理知0020sin45sinBSAB'2066'