画法几何点、直线与平面的投影

VA第三章点、线、平面的投影§3-1点一、点的两面投影axaa'A1A2XOaa'ax证明投影规律：aa'OXaax=Aa'a'ax=AaXO点的投影VXOa'ab'bc'cABC例题3-1：根据投影图判断点在空间的位置二、点的三面投影1.三面投影体系2.点的三面投影XOZYHYWaa'axaaYHaYw点的三面投影规律：a'aOZaYHO=aYwOaa'OX3.点的投影与坐标的关系XYZ（X，Z）（X，Y）（Y，Z）V45°例题3-2：画出点（15，5，10）的三面投影及空间位置XOZYHYWa'aaaa’aAXZYHYWa'a例3-3：根据点的两面投影求第三投影45°a辅助线45°b'bbeee'cc'cd'ddf'ffg'gg三、两点的相对位置1.相对位置的判定XOZYHYWa'aab'bbd'ddb'bba'aac'ccXOZYHYW(b)(d')不可见者用括号表示2.重影点及其投影的可见性§3-2直线的投影XOZYHYWa'aab'bb直线的投影可由直线上任意两点的投影决定1.直线的倾角：对水平投影面的夹角——对正投影面的夹角——对侧投影面的夹角——一、各种位置直线的投影1投影面的平行线2投影面的垂直线3一般位置线XOZYHYWb1、投影面的平行线a'aab'b实长（1）水平线XOZYHYWba'aab'b（2）正平线（3）侧平线XOZYHYWa'aab'bb水平线的投影特征：（4）、平行线的投影特征：（1）在与其平行的投影面上的投影反映实长；（2）该投影与相应投影轴之间的夹角反映直线与另外两个投影面的倾角；（3）其余的两个投影平行于投影轴，但不反映实长。XOZYHYWa'aa30°bb'b例题1例题3-4：过点A向右上方作一正平线AB,使其实长为25，与H面的倾角=30°。(1)铅垂线XOZYHYWba'aab'（b）2、投影面的垂直线(2)正垂线(3)侧垂线（b）XOZYHYWa'aab'bXOZYHYWba'aa（b'）b（1）直线在与其垂直的投影面上的投影积聚为一点；（2）其余的两个投影垂直于相应的投影轴，且反映实长。（4）、垂直线的投影特征：XOZYHYWba'aab'（b）例题2例题3-5根据投影图判断下列直线的空间位置bXOZYHYWa'aab'bXOZYHYWa'aab'bb（b）XOZYHYWa'aab'b讨论1、在垂直线投影图上能否量得、和？2、既然垂直线也平行于投影面，能否称它为平行线呢？XOZYHYWba'aab'（b）bXOZYHYWa'aab'bXOZYHYWa'aab'bb3、一般位置线的投影特征：（1）三个投影均不反映实长；（2）三个投影均不反映直线与投影面的倾角。3一般位置线A0zyxXOZYHYWa'aab'bb实长实长实长Za-Zb直角三角形法：两直角边、斜边、锐角求直线对投影面的倾角及线段的实长例题3例题3-6已知直线AB的正面投影和点A的水平投影a,并知AB=25,求AB的水平投影ab及AB对V面的倾角。XOa'ab'25b例题4例题3-7已知直线AB的水平投影ab，和正面投影a’,并知AB对H面的倾角为30°，求AB的正面投影及实长XOa'abb'b1'30ºc'cd'd点在直线上，点的投影必在直线的同名投影上定比性：AC：CB=a'c':c'b'=ac:cb=ac:cb二、直线上的点bXOa'ab'dDd'e'e例题3-8:在直线AB上找一点K,AK:KB=3:2。bXOa'ab'32kk'例题5例题6例题3-9:判定点K是否在直线AB上。kOZYHYWabk'kXa'ab'bXa'ab'bk'k例题7例题3-10:已知点C在直线AB上，且AC=20,求C点的投影。bXOa'ab'20c'c课后思考题XOZYHYW(a')b'ababbXOZYHYWa'aab'b1、判断AB线的空间位置ABCDEFHILKOJMN课后思考题2、请指出立体上棱线的空间位置，并画出相应的投影。思考练习题ABCDEFHGILKOJMN请指出立体棱线的空间位置,并找出其相应的投影a(d)a'd'adb(c)b'(c')bci'(j')jijik(o)k'o'(k)(o)f'f(f)(h)(h')he'ee§3-3两条直线的相对位置关系两条直线的相对位置共面:平行、相交（垂直）不共面：交叉(垂直）一、平行两条直线平行同名投影平行ca'b'c'd'abd平行例一：acdba'b'c'd'abdc例二：c'd'a'b'abcdabcd当两条直线为某一投影面的平行线时，必须在该投影面内判断两条直线是否平行二、相交两条直线相交同名投影相交ca'b'c'd'abdkk'ca'b'c'd'abd交点的投影符合点的投影规律例题3-11：过点A，作直线AB，与已知直线CD相交。a'ac'd'cd例题3-12：过点A，作水平线AB，与已知直线CD相交。a'ac'd'cd无数解唯一解例题3-13：过线外一点A，作正平线与CD相交。a'ac'd'cd例题3-14：从F点作直线，使其与AB、CD均相交cf'fa'b'abc'(d')dk'ke(e')例题3-15：已知两平行线AB、CD，求作于其相交的水平线MN，使其距H面的距离为15。a'b'abc'd'dc15m'n'mn三、交叉交叉直线的特征:•即不平行也不相交d'dca'b'c'abe'f'e(f)判定可见性ca'b'c'd'abdeff'(e')g'h'g(h)例题3-16：判定重影点的可见性。四、垂直定理：互相垂直的两直线，当其中有一条直线平行于投影面时，两直线在该投影面上的投影反映直角。证明：bcab₾ABBC,BCBbBC平面ABabbc//BCbc平面ABab逆定理也成立：如果两直线在某一投影面上的投影互相垂直，而其中有一条直线平行于该投影面，那么这两条直线在空间一定垂直。d'dca'b'c'abd'dca'b'c'abd'dca'b'c'ab相交垂直交叉垂直垂直的两种情况：判断垂直d'dca'b'c'abd'dca'b'c'ab例题3-17：求两直线AB与CD之间的距离。(f)ef'e'公垂线bXOa'ab'cd'（d）c'例题3-18：已知矩形ABCD的一边AB平行于H面，完成该矩形的两面投影。d'dca'b'c'ab§3-4平面的投影ABCDEFHILKOJMN一、平面表示法OXZYHYWaaa'b'bbc'cc1、几何元素表示法不在同一直线上的三个点，唯一地确定了一个平面OXZYHYWaaa'b'bbc'ccOXZYHYWaaa'b'bbc'ccOXZYHYWaaa'b'bbc'ccOXZYHYWaaa'b'bbc'ccOXZYHYWaaa'b'bbc'cc几何元素表示平面的方法2迹线表示法迹线——平面与投影面的交线PvPHPw二、各种位置平面1平面的倾角与H面夹角——与V面夹角——与W面夹角——（1）正垂面OXZYHYWaaa'b'bbc'cc2.垂直面PvPwPh2.垂直面（2）铅垂面OXZYHYWaaa'b'bbc'cc2.垂直面（3）侧垂面OXZYHYWaaa'b'bbc'cc垂直面的投影特性正垂面铅垂面侧垂面1在与平面垂直的投影面上，其投影积聚成一条直线。该直线与投影轴的夹角，反映平面与另两个投影面的夹角。OXZYHYWaaa'b'bbc'ccOXZYHYWaaa'b'bbc'ccOXZYHYWaaa'b'bbc'cc2在与倾斜的投影面上的投影为类似形。3、平行面（1）水平面Ywzx0YHabca'b'c'bac（2）正平面YwzxoYHa'b'c'abbacc（3）、侧平面aa'b'YwzxoYHabbcc'c平行面的投影特性Ywzx0YHabca'b'c'bacYwzxoYHa’b’c’abbaccaa'b'YwzxoYHabbcc'c1在与其平行的投影面上的投影反映实形。2在另外两个投影面上，其投影积聚成一条直线，且平行于投影轴OXZYHYWaaa'b'bbc'cc在三个投影面上的投影都是类似形，不直接反映与投影面的夹角。4、一般位置面例题3-19：根据投影判定平面的位置a’b’c’abca'b'abc'cOXZYHYWaaa'b'bbc'ccaa'b'bc'cb'bc'ca'aabca'b'c'正平面铅垂面正垂面水平面侧垂面侧平面例题3-20：指出围成立体各平面的空间位置并找出相应的投影ABCDEFHILKOJMN三、平面内的点和直线1、平面内的点点在平面内，则该点必在已知平面内的一条直线上平面内的直线2、平面内的直线如果直线在平面内，它必须通过平面内的两点；或通过平面内的一点，且平行于平面内的一条直线特殊位置平面上的点可根据其积聚性求出一般位置平面上的点的确定要依靠平面上的直线作为辅助直线a'b'c'cbak'ka'b'c'cbak'k例题3-21：判断K点是否在平面上例题3-22：已知MN是平面ABCD内的一条直线，求其水平投影。a'b'c'd'abdcm'n'mn绿色的直线在平面内吗？例题3-23：已知平面ABC内的点D的正面投影，求其水平投影。a'b'c'abcd'd例题3-24：判定点K、E点是否在平面ABC内。a'b'c'abce'ek'k不在！在！平面是可以无限延伸的例题3-25：完成ABCD的投影。abcda'b'c'od'3、平面内的特殊位置线（1）平面内的投影面平行线特点：在平面上具有平行线的投影特征例题3-26：在平面内画出水平线、正平线和侧平线a'b'c'abc在平面上可以画出许多条正平线，但方向是一致的。一般位置平面内平行线的空间形态一般位置平面内投影面的平行线的空间形态讨论：1在一般位置平面内能否画出投影面的垂直线？2在水平面内能画出几种投影面的特殊位置线？3在铅垂面内能画出几种投影面的特殊位置线？2、平面的最大斜度线最大斜度线——垂直于平面内投影面平行线的直线最大斜度线与投影面夹角最大证明：α2α1a11sinABAaABAa2sin112sinsinABAB121sinsinABAB最大斜度线——垂直于平面内投影面平行线的直线最大斜度线与投影面夹角最大α2α1a最大坡度线——垂直于平面内水平线的直线意义：最大斜度线与投影面夹角反映了平面与投影面的夹角。例题3-27：求三角形ABC与H面的倾角a'b'c'abc1求水平线2求最大坡度线3求α角讨论2一条最大坡度线能否决定一个平面？kk'想一想包含水平线AB作一与H面倾角为30º的平面a'b'abcc'dd'’课堂练习题：§3-5线与面、面与面的相对位置平行关系如果一条直线平行于平面内的任意一条直线，则该直线与该平面互相平行一、直线与平面平行例题1：过点A作一水平线AB,使其与平面ECD平行。b'ba'aXOecdd'e'c'例题2：判定直线AB与平面ECD是否平行。Oee'cc'dd'Xa'ab'b例题3：判定直线AB,与平面ECD是否平行。Oee'cc'dd'Xb'ba'a例题4：过点C作一平面平行于直线AB。c'c平行于一条直线的平面可以有无数个OXb'ba'a如果平面内的两条相交直线平行于另一平面内的两条相交直线，则两平面互相平行二、两平面平行例题5：过点A作一平面与平面DEFG平行OXa'ad'deg'f'e'gf例题6：判定两正垂面是否平行。ee'cc'dda'abbgg例题7：判定两平面是否平行。ee'cc'dd'a'abb'g'g相交问题1、共有点：既属于直线又属于平面2、可见性：重影点c'ee'cdd'1、特殊位置直线与一般面相交（利用积聚性求交点）k'k当相交的两个元素中有一个是特殊位置时，从有积聚性的投影下手解题OXb'ba'(a)2、一般线与投影面垂直面相交（利用积聚性求交点）OXb'bk'kee'cc'dd'a'aee'ff'dd'aa'c'b'c4、一般面与投影面垂直面相交（利用积聚性求交线）k'l'k(l)两垂直面的交线是垂直线ee'cc'dd'a'abb'