2014“高教杯”全国大学生数学建模竞赛B题一等奖论文

2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：B我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：18007008所属学校（请填写完整的全名）：长沙理工大学参赛队员(打印并签名)：1.颜小强2.彭巍3.胡笛声指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：刘仲云（论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。如填写错误，论文可能被取消评奖资格。）日期：2014年9月12日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：1创意平板折叠桌摘要本文运用解析几何与结构力学等知识，建立了描述折叠桌动态变化过程的数学模型，经MATLAB编程求出了优化后的设计加工参数，逐层深入地解决了问题一至问题三，最后分别设计出了问题二和问题三中折叠桌设计加工参数求解系统的GUI（分别见附录7、8），至此，基于MATLAB的GUI，我们开发出了折叠桌设计软件。对于问题一，我们首先确定桌面虚拟圆的半径R=23.82cm，且将离散问题连续化处理的思想运用于求解桌脚边缘线的参数方程当中，然后推出了桌脚边缘线的参数方程（见公式3）、桌腿木条长度和开槽长度的计算公式（分别公式5和公式4），最后，根据题目已知条件，求出了各木条的开槽长度、各桌腿底端的坐标（分别见表5.1和附录2），且对折叠桌的动态变化过程进行了模拟仿真（见图5.8）对于问题二，我们先对折叠桌的受力进行了分析，提出了中心三角形法则（见名词解释）。根据该法则，我们推出了以平板尺寸和木条根数为自变量的钢筋位置函数以及开槽长度函数（分别见公式11、14），然后以平板尺寸、木条数目为自变量，在满足稳固性、加工方便等约束条件下，建立以用材量最小的单目标优化模型，最后，分别用枚举法和分支定界两种算法求得优化后的设计加工参数。当桌高70cm，桌面直径80cm时，得到的设计加工参数如下：用料最省的设计稳定性最优的设计枚举法分支定界法枚举法分支定界法平板尺寸()cm169.084.03.0171.6280.03.00184.081.03.0185.5080.03.00钢筋位置()cm40.8742.0840.4140.55总用料3()cm42588411934471244576木条数28321818对于问题三，根据客户任意给定的折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小，我们先通过分析与推导，建立了相关参数的数学模型，然后应用问题二建模的相同步骤，即可求出优化后的设计加工参数。最后，我们给出日常会议桌、家庭日常餐桌、桌边边缘线为正六边形三种创意平板折叠桌，求出了三种折叠桌的设计加工参数（分别见表7.1、7.2和7.3），且分别画出了相应的动态变化过程示意图（见图7.4、7.5和7.6）。本文设计的描述平板折叠桌动态变化过程的数学模型具有很强的适用性，只需客户给定折叠桌高度、桌面边缘线精确的形状大小，即可直接输出设计加工参数和描述折叠桌动态变化过程的GUI，这能够使得生产该平板折叠桌的公司提高生产效率和降低生产成本。关键词：求解系统的GUI，设计加工参数，中心三角形法则，枚举法，分支定界法2一、问题重述某公司生产一种桌面呈圆形，桌腿随着铰链的活动可以平摊成一张平板的可折叠桌子（如图1-2所示）。桌腿由两组若干根木条组成，每组各用一根钢筋将木条连接，钢筋两端分别固定在桌腿各组最外侧的两根木条上，并且沿木条有空槽以保证滑动的自由度（见图3）。桌子外形由直纹曲面构成，附件视频展示了折叠桌的动态变化过程。试建立数学模型讨论下列问题：问题1：给定长方形平板尺寸为120cm×50cm×3cm，每根木条宽2.5cm，连接桌腿木条的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置，折叠后桌子的高度为53cm。试建立模型描述此折叠桌的动态变化过程，在此基础上给出此折叠桌的设计加工参数（例如，桌腿木条开槽的长度等）和桌脚边缘线（图4中红色曲线）的数学描述。问题2：折叠桌的设计应做到产品稳固性好、加工方便、用材最少。对于任意给定的折叠桌高度和圆形桌面直径的设计要求，讨论长方形平板材料和折叠桌的最优设计加工参数，例如，平板尺寸、钢筋位置、开槽长度等。对于桌高70cm，桌面直径80cm的情形，确定最优设计加工参数。问题3：公司计划开发一种折叠桌设计软件，根据客户任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，给出所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最优设计加工参数，使得生产的折叠桌尽可能接近客户所期望的形状。你们团队的任务是帮助给出这一软件设计的数学模型，并根据所建立的模型给出几个你们自己设计的创意平板折叠桌。要求给出相应的设计加工参数，画出至少8张动态变化过程的示意图。3二、问题的分析2.1问题一的分析问题一是在给定平板材料的形状尺寸、钢筋固定位置和折叠桌子高度的情况下，要求建立模型描述折叠桌子的动态变化过程。并要求构建出设计加工参数（桌腿的开槽长度和桌腿木条长度）和桌角边缘线的数学描述。当折叠桌子处于不同的状态，其桌角边缘线的形状不相同，因此，折叠桌子的动态变化过程可以通过建立不同状态下桌角边缘线的形状来描述。由于桌脚边缘线是由桌腿木条最低点勾勒形成的曲线，采用离散问题连续化处理的思想，建立好空间直角坐标系，利用桌腿木条的空间关系，进行坐标变化，计算出与桌腿木条长度有关的桌脚边缘线的曲线参数方程。在计算桌腿木条开槽长度时，通过对钢筋在桌腿木条开槽的运动轨迹进行研究发现，钢筋在桌腿木条开槽是向下运动，且平稳放置在地面时，钢筋处于每个开槽的最低处。所以，利用开槽两端点折叠前后的空间坐标变化关系，可以求出和桌面直径相关的桌腿木条的开槽长度的计算公式。另外，对桌面圆直径进行讨论，得出最佳的合理值。利用桌面直径、折叠桌高度与桌腿木条长度之间的相互关系，得出桌腿木条长度的函数公式。最后，将所给折叠桌子的相关设计参数带入关系式，并将折叠桌的动态过程进行仿真模拟，直观生动的再现折叠桌的折叠变化。2.2问题二的分析问题二需要从产品的稳固性、加工难易程度和节省用材三方面综合考虑，讨论出给定桌高、桌面直径的长方形平板材料和折叠桌的最优设计参数。受第一问启发，如果可以确定平板尺寸和钢筋位置，则可以利用桌脚边缘线的参数方程确定开槽长度。平板尺寸可以由平板长度、木条宽度和木条数量确定。通过建立yoz投影面坐标系，钢筋的位置如果可以找到与上述三者的关系，则可以确定钢筋位置。由第一问的离散问题连续化思想，将第二问转化为第一问求解桌腿边缘线的参数方程，可以得到中间与最外侧木条靠近地面最低点坐标，从而确定出中间与最外侧木条相交的两直线方程，进一步求解出钢筋的投影点位置。由于钢筋是直线，可以很容易求解出钢筋的位置。所以求解最优设计参数转化为求解上述三个变量，并满足产品稳固性好、加工方便、用材最少。桌子的稳固性与桌子的受力有关，对桌腿各组最外侧的两根木条和内侧的木条的受力进行分析。根据力学基本原理，可知折叠桌处于其轴心位置，中间的木条受力最小，结构合理，而其与平板长度有直接关系。桌子的加工方便程度与木条宽度有关，木条越宽，开槽越不容易。对于桌子的用材，平板尺寸越小，则用材最少。从而，可以通过建立单目标优化模型，将上述平板长度、木条宽度和木条数量的最优值确定，给出产品在稳固性好、加工方便、用材最少的条件下，最优的设计参数。2.3问题三的分析问题三需要我们根据客户任意给定的折叠桌高度，桌面边缘线的形状大小和桌腿边缘线的大致形状，给出所需平板草料的形状尺寸和最优设计加工参数，并且还要使得生产的折叠桌尽可能接近客户期望的形状。因为桌脚边缘性一开始无法确定，故我们假定所有木条长度一致，最后在通过削减或增加桌腿的长度来使桌腿边缘形状尽可能接近客户期望的形态，至此，便可联立问题一的模型和问题二的模型，求出相应的设计加工参数，并给出所设计折叠桌的动态变化过程。4三、模型假设3.1折叠桌子的桌腿木条的开槽长度恰为钢筋相对于木条的滑距离；3.2折叠桌子的受力结构合理，桌腿木条质量好，能够平稳放置于水平地面；3.3桌腿木条至地面的距离为桌腿木条最低点至地面的铅垂高度；3.4钢筋对折叠桌用材的影响认为很小，可以忽略不计；3.5假设折叠桌放置在光滑的水平面上；3.6假设构成折叠桌的木材密度是均匀分布的。四、符号说明4.1符号说明符号含义最外侧木条的水平倾斜角R桌面圆形半径kd水平倾斜角为时，第k根木条的开槽长度ky水平倾斜角为时，第k根木条y轴方向的坐标kz水平倾斜角为时，第k根木条z轴方向的坐标kl第k根桌腿木条的长度r最外侧木条与钢筋的交点至铰链的距离h折叠桌的桌高4.2名词解释（1）钢筋位置：最外侧木条与钢筋的交点至最外侧木条中点的距离长度。（2）中心三角形法则：当折叠桌两根最内侧桌腿木条的延长线与桌面连线形成以轴心为对称轴的等腰三角形时，最内侧的木条受到的内力最小，这样的规律称为重心三角形法则。五、问题一模型的建立与求解5.1模型的建立5.1.1桌角边缘线的动态模型折叠桌在折叠过程中，两组桌腿木条形成分别形成两个相同的直纹曲面。目前，在指纹曲面的研究中，一般应用计算机给出造型效果图，并对曲面上的点进行分析，判断曲面的光顺性。这对于构造动态变化的直纹曲面较为困难。通过对折叠桌子的动态变化进一步研究，发现桌腿木条与桌面圆相接点（铰链处）的位置不变，而另一端点构成桌脚边缘线。由问题一的分析，利用连续化思想，我们建立桌角边缘线的数学模型：如图5.1所示，建立空间直角坐标系。图5.1折叠桌子示意图5以图一中的yoz为投影平面进行投影，得到折叠桌子的桌腿木条折叠状态时的平面图（见图5.2）。图5.2折叠桌子投影示意图设3(,0)By为y轴上任意一点，500(,)Byz为钢筋的所处的位置，任意桌腿木条底端的位置为4(,)Byz,02BB为最外侧桌腿木条，为最外侧桌腿木条与桌面的水平倾斜角，为给定的常数值。由此，木条长度为：2lly（1）其中l为桌面圆形与桌腿木条相连处木块长度。因为354BBB是同一根桌腿木条，所以在同一条直线上，利用欧拉距离公式，可以找到其与桌腿木条长度的关系。35BB与54BB在同一直线上，其斜率必定相等。由上述关系，可以列出一个方程组：2220000()0yyzlyyyyzzz（2）方程组（2）是一组隐函数方程，根据斜率与的关系，可以转化为如下参数方程：12(,)(,)yfyzfy对方程组（2）求解，进一步化简得到两组求解结果：第一组解：1020(,)()(,)byfyyayyzzfyyy6第二组解：1020(,)()(,)byfyyayyzzfyyy上式中：20201()zayy224lblyy因为选取的任意点是位于yoz轴的第三象限，第