28.2.2解直角三角形应用举例(1)

新人教版九年级数学(下册)第二十八章28.2.2解直角三角形（2）应用举例（1）（2）两锐角之间的关系∠A＋∠B＝90°（3）边角之间的关系caAA斜边的对边sincbBB斜边的对边sincbAA斜边的邻边coscaBB斜边的邻边cosbaAAA的邻边的对边tanabBBB的邻边的对边tan（1）三边之间的关系222cba（勾股定理）ABabcC在直角三角形中,除直角外,由已知两元素求其余未知元素的过程叫解直角三角形.1.解直角三角形(必有一边)2.解直角三角形的依据3、30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：锐角a三角函数30°45°60°sinacosatana1222322212332331对于sinα与tanα，角度越大，函数值也越大；对于cosα，角度越大，函数值越小。设塔顶中心点为B，塔身中心线与垂直中心线的夹角为A，过B点向垂直中心线引垂线，垂足为点C（如图），5.20.095454.5所以∠A≈5°28′ABC解决有关比萨斜塔倾斜的问题．在Rt△ABC中，已知：∠C＝90°，BC＝5.2m，AB＝54.5m，求∠AsinBCAABsin0.0954A即：例3：2012年6月18日“神舟”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接。“神舟”九号与“天宫”一号的组合体在离地球表面343km的圆形轨道上运行，如图，当组合体运行到地球表面上P点的正上方时，从中能直接看到地球表面最远的点在什么位置？最远点与P点的距离是多少？（地球半径约为6400km，∏取3.142结果取整数）分析：从组合体能直接看到的地球表面最远点，是视线与地球相切时的切点．·OQFPα如图，⊙O表示地球，点F是组合体的位置，FQ是⊙O的切线，切点Q是从组合体中观测地球时的最远点，弧PQ的长就是地球表面上P、Q两点间的距离，为计算弧PQ的长需先求出∠POQ（即a）的度数解：设∠POQ＝a,在图中，FQ是⊙O的切线，△FOQ是直角三角形．9491.034364006400cosOFOQa36.18a∴PQ的长为km20516400180142.336.18640018036.18由此可知，当飞组合体在P点正上方时，从中观测地球表面时的最远点距离P点约2051km·OQFPα︵P75：例4:热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高（结果精确到0.1m）分析：我们知道，在视线与水平线所成的角中视线在水平线上方的是仰角，视线在水平线下方的是俯角，因此，在图中，a=30°,β=60°Rt△ABC中，a=30°，AD＝120，所以利用解直角三角形的知识求出BD；类似地可以求出CD，进而求出BC．ABCDαβ仰角水平线俯角解：如图，a=30°,β=60°，AD＝120．ADCDADBDatan,tan30tan120tanaADBD3403312060tan120tanADCD312031203120340CDBDBC1.2773160答：这栋楼高约为277.1mABCDαβP76：练习1.建筑物BC上有一旗杆AB，由距BC=20m的D处观察旗杆顶部A的仰角60°，观察底部B的仰角为45°，求旗杆的高度（精确到0.1m）ABCD20m60°45°ABCD20m60°45°解：在等腰三角形BCD中∠ACD=90°BC=DC=20m在Rt△ACD中tanACADCDCtanACDCADC20tan60=203203答：棋杆的高度为14.6m.练习203214.6ABACBC0所以－－P76练习2.如图，沿AC方向开山修路．为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC上的一点B取∠ABD=135°，BD=520m，∠D=45°，那么开挖点E离D多远正好能使A，C，E成一直线（精确到0.1m）45°135°ABCED∴∠BED=∠ABD－∠D=90°cosDEBDEBDcosDEBDBDE2cos45520=5202答：开挖点E离点D367.6m，正好能使A，C，E成一直线.解：要使A、C、E在同一直线上，则∠ABD是△BDE的一个外角2602367.6BDE是直角三角形3、在平地上一点C，测得山顶A的仰角为30°，向山沿直线前进20米到D处，再测得山顶A的仰角为45°，求山高AB？解：根据题意，得AB⊥BC，∴∠ABC＝90°∵∠ADB＝45°，∴AB＝BD∴BC＝CD＋BD＝20＋AB在Rt△ABC中，∠C＝30°BCABCtan30tan3320ABAB10310ABAB10310答：山高为＋米.ABCD课堂小结1、弄清俯角、仰角的意义，明确各术语与示意图中的什么元素对应，只有明确这些概念，才能恰当地把实际问题转化为数学问题；2、认真分析题意、画图并找出要求的直角三角形；3、选择合适三角函数值，使计算尽可能简单；4、根据题目中的对精确度的要求保留，并注明单位。ABC例1：.如图，△ABC中，∠B=45°，∠C=30°，AB=2，求AC的长.解：过A作AD⊥BC于D，∵在Rt△ABD中,∠B=45°,AB=2，222D45°30°2∴AD=sinB=ABAD∵在Rt△ACD中，∠C=30°AB×sinB=22×sin45°=2∴AC=2AD=22的长，求的面积为，，，边上一点，为中，：在例ABACDCDADBDBCDABC330121462ABCDE，的延长线于，交解：如图，作ECBCBAE12,33021CDAECDSACD又35AE，中，在14ADADERt11)35(142222AEADED5611BDEDBE105)35(2222EBAEABABERt中，在61412355的长，求的面积为，，，边上一点，为中，：在例ABACDCDADBDBCDABC330121463ECBAE于点解：如图，作12,33021CDAECDSACD又35AE，中，在14ADADERt11)35(142222AEADED17611BDEDBE91217)35(2222EBAEABABERt中，在ABCDE614123511（2）两锐角之间的关系∠A＋∠B＝90°（3）边角之间的关系caAA斜边的对边sincbBB斜边的对边sincbAA斜边的邻边coscaBB斜边的邻边cosbaAAA的邻边的对边tanabBBB的邻边的对边tan（1）三边之间的关系222cba（勾股定理）ABabcC在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系：