§12.1-级数的收敛性--数学分析课件(华师大-四版)-高教社ppt-华东师大教材配套课件

级数是数学分析三大组成部分之一，是逼近理论的基础，是研究函数、进行近似计算的一种有用的工具.级数理论的主要内容是研究级数的收敛性以及级数的应用.§1级数的收敛性数学分析第十二章数项级数数学分析第十二章数项级数高等教育出版社§1级数的收敛性级数的收敛性有限个实数u1,u2,…,un相加后还是一个实数，“无限个实数相加”会有什么结果呢？到《庄子·天下篇》“一尺之棰,日取其半,万世不竭”的例中,231111,2222n由于前n项相加的和是112n，个数相加”的结果应该是1.相加”的表达式那么如在第二章提可以推测这“无限又如下面由“无限个数后退前进目录退出将每天截下那一部分的长度“加”起来是:数学分析第十二章数项级数高等教育出版社§1级数的收敛性级数的收敛性中，(11)(11)(11)000,结果肯定是0，1[(1)1][(1)1]1000,则结果是1.问题:“无限个数相加”是否存在“和”;“和”等于什么?简单地与有限个数相加作简单的类比,需要建立新的理论.1(1)1(1)如果将其写作而写作两个结果的不同向我们提出了两个基本如果存在,由此可见,“无限个数相加”不能数学分析第十二章数项级数高等教育出版社§1级数的收敛性级数的收敛性定义1称为常数项级数或数项级数(常简称级数),称为数项级数(1)的通项或一般项.1nnu.nu常记为，在不致误解时可简记为数项级数(1)的前n项之和记为121,(2)nnknkSuuuu称为数项级数(1)的第n个部分和,也简称部分和.给定一个数列{un},将其各项依次用“+”号连接起来的表达式12(1)nuuu数项级数(1)也其中un数学分析第十二章数项级数高等教育出版社§1级数的收敛性级数的收敛性定义2limnnSS(即),则称数项级数(1)收敛,项级数(1)的和,记作例1讨论等比级数(也称几何级数)2(3)naaqaqaq的收敛性(a≠0).若是发散数列,则称数项级数(1)发散.{}nS若数项级数(1)的部分和数列{}nS收敛于SS称为数,21nuuuS1.nnSu或数学分析第十二章数项级数高等教育出版社§1级数的收敛性级数的收敛性解q≠1时,级数(3)的第n个部分和为此时级数(3)收敛,其和为.1-aq(iii)1,,.nqSna当时级数发散1,q当时20,kS1nnaqaqaS.11qqanqqaSqnnnn11limlim1)i(时，当.1qa,lim1)ii(nnSq时，当.3）发散此时级数（21,0,1,2,,kSak.级数发散2(3)naaqaqaq1,(3);q时级数收敛1,q时综合起来得到:级数(3)发散.数学分析第十二章数项级数高等教育出版社§1级数的收敛性级数的收敛性例2讨论数项级数111(4)1223(1)nn的收敛性.解级数(4)的第n个部分和为1111223(1)nSnn1111112231nn11.1n数学分析第十二章数项级数高等教育出版社§1级数的收敛性级数的收敛性1limlim11,1nnnSn由于因此级数(4)收敛,且其和为1.注由于级数(1)的收敛或发散(简称敛散性),是由它的部分和数列{}nS来确定,数列{}nS的另一种表现形式.{}na,如果把它看作某一数项级数的部分和数列,则这个数项级数就是因而也可把级数(1)作为反之,任给一个数列数学分析第十二章数项级数高等教育出版社§1级数的收敛性级数的收敛性定理12.1（级数收敛的柯西准则）1213211()()().(5)nnnnuaaaaaaa{}na这时数列与级数(5)具有相同的敛散性,收敛时,其极限值就是级数(5)的和.{}na基于级数与数列的这种关系,可得下面有关级数的定理.12.(6)mmmpuuu且当级数(1)收敛的充要条件是:任给正数,N总存在正整数，以及对任意使得当Nmp的正整数都有数学分析第十二章数项级数高等教育出版社§1级数的收敛性级数的收敛性推论（级数收敛的必要条件）任何正整数N,总存在正整数m0(N)和p0，使得0000120.(7)mmmpuuu由定理12.1立即可得如下推论.若级数(1)收敛,则lim0.nnu注推论是级数收敛的一个必要条件:一般项不趋于零,级数一定发散,收敛.写出级数(1)发散的充要条件是:0,存在某正数对根据定理12.1以及数列发散的充要条件，可以立刻但一般项趋于零,则级数未必因此推论用来判断级数发散是很有效.数学分析第十二章数项级数高等教育出版社§1级数的收敛性级数的收敛性1(1)1(1)例3讨论调和级数111123n的敛散性.解这里一般项,10nun因此不能利用推论判断它是发散级数.因为一般项un=()n-1不趋于零，所以发散.1如级数下面利用柯西准则证明它是发散的.数学分析第十二章数项级数高等教育出版社§1级数的收敛性级数的收敛性为此令p=m,则有122111122mmmuuummm111222mmm1,201,2故取对任何正整数N只要mN和p=m就有(7)式成立，因此调和级数发散.11nn数学分析第十二章数项级数高等教育出版社§1级数的收敛性级数的收敛性例4判断级数111nnnnnnn的敛散性.解因为所以由级数收敛的必要条件知原级数发散.nnnnnnnnnnnnnnn111lim1limnnnnnn112211lim10数学分析第十二章数项级数高等教育出版社§1级数的收敛性级数的收敛性例5运用级数收敛的柯西准则证明级数21n收敛.证由于12mmmpuuu222111(1)(2)()mmmp111(1)(1)(2)(1)()mmmmmpmp1111111121mmmmmpmp11mmp1.m数学分析第十二章数项级数高等教育出版社§1级数的收敛性级数的收敛性定理12.2当mN及任意正整数p,由上式可得121,mmmpuuum21n依级数收敛的柯西准则,知级数收敛.,nnuv若级数与都收敛则对任意常数c,d，()nncudv级数亦收敛，且().nnnncudvcudv因此,,0对任意,1N可取数学分析第十二章数项级数高等教育出版社§1级数的收敛性级数的收敛性定理12.3注去掉、增加或改变级数的有限项虽不改变该级数的敛散性，但在收敛时，其和一般还是要变的.由定理12.3知,1,nnu若级数收敛其和为S,12(8)Lnnuu第n个余项(简称余项),时所产生的误差.去掉、增加或改变级数的有限项并不改变级数的则级数也收敛，.nnSSR且其和的式称为级数nu)8(它表示以部分和Sn代替S敛散性.数学分析第十二章数项级数高等教育出版社§1级数的收敛性级数的收敛性定理12.4在收敛级数的项中任意加括号,既不改变级数的收敛性,也不改变它的和.,.nuS为收敛级数其和为nu下面证明加证设括号后的级数111()kknnkuu收敛,11,,kkknnvuu则11111().kknnnknkkuuuv且其和也是.S,111nuuv为此，记,2112nnuuv,数学分析第十二章数项级数高等教育出版社§1级数的收敛性级数的收敛性注从级数加括号后的收敛,不能推断它在未加括号于是,若为收敛级数nu的部分和数列,{}nS时也收敛.例如(11)(11)(11)0000,收敛,但级数1111却是发散的.则级数.kknnvSS的部分和数列是的一个子列由于lim.nnnSSS收敛,且knS故由子列性质，也收敛，,limSSknk且.Svk收敛，且它的和也等于即级数数学分析第十二章数项级数高等教育出版社§1级数的收敛性级数的收敛性例6判别下列级数的敛散性：111111212131314141解考虑加括号的级数111121213131114141其一般项112,111nunnn数学分析第十二章数项级数高等教育出版社§1级数的收敛性级数的收敛性由定理12.2及例3知，级数发散，从而原级数发散.22112nnnnu112nn数学分析第十二章数项级数高等教育出版社§1级数的收敛性级数的收敛性*例7证明级数1213nnn收敛，并求其和.1213nnkkkSlimnnS证令，若能求出,就能得到所要的结论.11112121333nnnnkkkkkkSS111112121333nkkkkk－1111112121333nnkkkkkk－由于1213nn数学分析第十二章数项级数高等教育出版社§1级数的收敛性级数的收敛性11111221333nknkn－12111121213333nknkn－12121,333nnn所以132121,2333nnnnS于是132121lim1.2333nnnnnS这样就证明了级数1213nnn收敛,并且其和为1.复习思考题数学分析第十二章数项级数高等教育出版社1,()nnnnuvuv讨论级数与.之间收敛性的关系.,,2.nnnnuvuv设级数均收敛问是否一定收敛.,3.nkuv若级数加括号后的级数发散级数是否一定发散？nu