数列通项公式几种的求法

425130011001010101101000101001011数列通项公式的求法南昌县莲塘三中王美华复习回顾例题讲解巩固练习课后总结北师大版高中数学必修（五）425130011001010101101000101001011数列的通项公式:是一个数列的第n项（即an）与项数n之间的函数关系数列的通项公式是研究数列性质最基本、最重要的一种表达形式注：①有的数列没有通项公式，如：3，π，e，6；②有的数列有多个通项公式下面我们就谈一谈数列通项公式的几种常用求法：复习回顾425130011001010101101000101001011一、观察法（又叫猜想法，不完全归纳法）观察数列中各项与其序号间的关系，分解各项中的变化部分与不变部分，再探索各项中变化部分与序号间的关系，从而归纳出构成规律写出通项公式例1：根据数列的前几项，写出它的一个通项公式：（1）-1，2，-3，4，…,62516,1259,254,51)3(（2）2，5，10，17，…nann)1(413121114321所以通项公式为，），（），（），（））变形为（解：（12nan通项公式为（2）变形为12+1，22+1，32+1，42+1，…例题讲解nnnna5)1(,54)1(53152151132142143213221211通项公式为，），（），（））变形为（（注意：用不完全归纳法，只从数列的有限项来归纳数列所有项的通项公式是不一定可靠的.425130011001010101101000101001011例题讲解二、定义法：当已知数列为等差或等比数列时，可直接利用等差或等比数列的通项公式，只需求得首项及公差或公比。这种方法适应于已知数列类型的题目．例2：等差数列na是递增数列，前n项和为nS，且931,,aaa成等比数列，255aS求数列na的通项公式.解：设数列na公差为)0(dd∵931,,aaa成等比数列，∴9123aaa，即)8()2(1121daadadad12∵0d，∴da1………………………………①∵255aS∴211)4(2455dada…………②由①②得：531a，53d∴nnan5353)1(53425130011001010101101000101001011三、公式法：已知数列的前n项和公式，求通项公式的基本方法是：)2()1(11nssnsannn例3．已知下列两数列的前n项和sn的公式，求的通项公式。（1）（2）}{na}{na注意：要先分n=1和n≥2两种情况分别进行运算，然后验证能否统一。nnsn32212nsn例题讲解54nan)2(12)1(0nnnan（2）由公式可得：(1)当n=1,a1=s1=-1,n≥2,an=sn-sn-1=(2n2-3n)-2(n-1)2+3(n-1)=4n-5∵a1=1也适合此等式，∴n∈N*425130011001010101101000101001011112211()()()nnnnnaaaaaaaa例题讲解四、叠加法一般地，对于型如的通项公式，只要f(n)能进行求和，则宜采用此方法求解。)(1nfaann1(1)(2)(2)(1)fnfnffa即例4、已知数列{an}中,,求数列{an}的通项公式。naaann11,1解：∵an+1-an=n∴当n≥2,n∈N*an-an-1=n-1an-1-an-2=n-2…………a3-a2=2a2-a1=1各式相加得，an=a1+(n-1)+…+2+1=1+(n-1)+…+2+1=1+(n-1)n/2当n=1时，a1=1,故，an=n(n-1)/2+1425130011001010101101000101001011已知,a1=a，an+1=an+f(n),其中f(n)可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项.①若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;②若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和;③若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;④若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和。112322111)()()()(,2aaaaaaaaaaaannnnnnnnnn总结：例题讲解练习：已知数列｛an｝中，a1=1，且an+1=an+2n,n∈N*求数列｛an｝的通项公式an解：12222,13211nnnnaa122121nnna即：425130011001010101101000101001011例题讲解五、叠乘法：对于型如：an+1=f(n)·an类的通项公式，当f(1)·f(2)·…·f(n)的值可以求得时，宜采用此方法。121121nnnnnaaaaaaaa1()(1)(1)fnfnfa即：解：因为21annnaa31nnnaa311123aa2233aa113nnnaa21)1(321133nnnnaa2)1(32nnna所以把1，2…，n分别代入上式得：，，…把上面n-1条式子左右两边同时相乘得：所以通项公式为例5、已知数列中，，，求通项公式。21ana}{nannnaa31425130011001010101101000101001011例题讲解练习：132122112211132nnnnnaaaannaaaaannn11{},1,,1{}.nnnnanaaana例已知数列中求数列的通项公式解：11,0(,1)()1(nqanaqqnananf此时数列为等比数列的数）其中为常数，即：当1()nnafna1(1)nnafna总结：（2）当f(n)为n的函数时，用叠乘法此时：121121nnnnnaaaaaaaa1()(1)(1)fnfnfa时，2n425130011001010101101000101001011（1）若c=1时，数列{an}为等差数列;（2）若d=0时，数列{an}为等比数列;（3）若c≠1且d≠0时，数列{an}为线性递推数列，其通项可通过构造辅助数列来求.方法1：待定系数法设an+1+m=c(an+m),得an+1=can+(c-1)m,与题设an+1=can+d,比较系数得:(c-1)m=d,所以有：m=d/(c-1)因此数列构成以为首项，以c为公比的等比数列，1ndac11dac11()11nnddaaccc11()11nnddaaccc即：六、辅助数列法：这种方法类似于换元法,主要用于形如an+1=can+d(c≠0,a1=a)的已知递推关系式求通项公式。例题讲解425130011001010101101000101001011例6：已知数列{an}中，a1=3,an+1=2an+3,求数列的通项公式巩固练习解法1：由an+1=2an+3得an+1+3=2（an+3）所以{an+3}是以a1+3为首项，以2为公比的等比数列，所以:an+3=（a1+3）×2n-1故an=6×2n-1-3解法2：因为an+1=2an+3，所以n1时，an=2an-1+3，两式相减，得：an+1-an=2(an-an-1).故{an-an-1}是以a2-a1=6为首项，以2为公比的等比数列.an-an-1=(a2-a1)·2n-1=6×2n-1,an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=6(2n-1-1)+3=3(2n-1-1)425130011001010101101000101001011课后总结求数列{an}的通项公式几种常用方法：1、观察法。2、定义法。3、公式法。4、叠加法。5、叠乘法。6、辅助数列法。作业：《同步导学案》P43-45页。425130011001010101101000101001011上海九院整形科：//上海九院双眼皮价格2017http：//上海九院隆胸价格上海九院整形科隆鼻重庆网站建设公司网页设计北京八大处整形外科医院北京八大处整形外科医院怎么样八大处整形医院八大处双眼皮上海九院最新文章上海九院最新动态八大处整形项目八大处整形案例汎戾駊谢谢观看