(江苏专用)2016高考数学二轮复习 专题三 第1讲 等差数列、等比数列的基本问题课件 理

第1讲等差数列、等比数列的基本问题高考定位高考对本内容的考查主要有：(1)数列的概念是A级要求，了解数列、数列的项、通项公式、前n项和等概念，一般不会单独考查；(2)等差数列、等比数列是两种重要且特殊的数列，要求都是C级.真题感悟1.(2015·江苏卷)设数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N*)，则数列1an前10项的和为________.解析∵a1＝1，an＋1－an＝n＋1，∴a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n，将以上n－1个式子相加得an－a1＝2＋3＋…＋n＝（2＋n）（n－1）2，即an＝n（n＋1）2，令bn＝1an，故bn＝2n（n＋1）＝21n－1n＋1，故S10＝b1＋b2＋…＋b10＝21－12＋12－13＋…＋110－111＝2011.答案20112.(2014·江苏卷)在各项均为正数的等比数列{an}中，若a2＝1，a8＝a6＋2a4，则a6的值是________.解析因为a8＝a2q6，a6＝a2q4，a4＝a2q2，所以由a8＝a6＋2a4得a2q6＝a2q4＋2a2q2，消去a2q2，得到关于q2的一元二次方程(q2)2－q2－2＝0，解得q2＝2，a6＝a2q4＝1×22＝4.答案43.(2010·江苏卷)函数y＝x2(x＞0)的图象在点(ak，a2k)处的切线与x轴交点的横坐标为ak＋1，k为正整数，a1＝16，则a1＋a3＋a5＝________.解析在点(ak，a2k)处的切线方程为：y－a2k＝2ak(x－ak)，当y＝0时，解得x＝ak2，所以ak＋1＝ak2，故{an}是a1＝16，q＝12的等比数列，即an＝16×12n－1，∴a1＋a3＋a5＝16＋4＋1＝21.答案214.(2013·江苏卷)在正项等比数列{an}中，a5＝12，a6＋a7＝3.则满足a1＋a2＋…＋ana1a2…an的最大正整数n的值为________.解析由已知条件得12q＋12q2＝3，即q2＋q－6＝0，解得q＝2，或q＝－3(舍去)，an＝a5qn－5＝12×2n－5＝2n－6，a1＋a2＋…＋an＝132(2n－1)，a1a2…an＝2－52－42－3…2n－6＝21122nn，由a1＋a2＋…＋ana1a2…an，可知2n－5－2－5(11)22nn，由2n－5－2－5(11)22nn，可求得n的最大值为12，而当n＝13时，28－2－5213，所以n的最大值为12.答案12考点整合1.an与Sn的关系Sn＝a1＋a2＋…＋an，an＝S1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2.2.等差数列(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d，(2)求和公式：Sn＝n（a1＋an）2＝na1＋n（n－1）2d，(3)性质：①若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq；②an＝am＋(n－m)d；③Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…，成等差数列.3.等比数列(1)通项公式：an＝a1qn－1(q≠0)；(2)求和公式：q＝1，Sn＝na1；q≠1，Sn＝a1（1－qn）1－q＝a1－anq1－q；(3)性质：①若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq；②an＝am·qn－m；③Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…，(Sm≠0)成等比数列.热点一等差、等比数列的基本运算【例1】等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S10＝0，S15＝25，则Sn的最小值为________.解析设等差数列{an}的公差为d，由已知S10＝10a1＋10×92d＝0，S15＝15a1＋15×142d＝25，解得a1＝－3，d＝23.∴Sn＝na1＋n（n－1）2d＝－3n＋n（n－1）2×23＝n23－103n＝13(n－5)2－253.当n＝5时，Sn有最小值为－253.答案－253探究提高等差、等比数列的基本运算是利用通项公式、求和公式求解首项a1和公差d(公比q)，在列方程组求解时，要注意整体计算，以减少计算量.【训练1】(2015·郑州模拟)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sm－1＝5，Sm＝－11，Sm＋1＝21，则m等于________.解析由已知得Sm－Sm－1＝am＝－16，Sm＋1－Sm＝am＋1＝32，故公比q＝－2，又Sm＝a1－amq1－q＝－11，故a1＝－1，又am＝a1qm－1＝－16，代入可求得m＝5.答案5热点二等差、等比数列的性质运算【例2】(1)(2015·苏北四市模拟)在等差数列{an}中，a1＝－2015，其前n项和为Sn，若S1212－S1010＝2，则S2015的值为________.(2)(2015·潍坊模拟)在等比数列{an}中，公比q＝2，前87项和S87＝140，则a3＋a6＋a9＋…＋a87＝________.解析(1)根据等差数列的性质，得数列Snn也是等差数列，由已知可得S11＝a1＝－2015，由S1212－S1010＝2＝2d，得公差d＝1.故S20152015＝－2015＋(2015－1)×1＝－1，∴S2015＝－2015.(2)法一a3＋a6＋a9＋…＋a87＝a3(1＋q3＋q6＋…＋q84)＝a1q2·1－（q3）291－q3＝q21＋q＋q2·a1（1－q87）1－q＝47×140＝80.法二设b1＝a1＋a4＋a7＋…＋a85，b2＝a2＋a5＋a8＋…＋a86，b3＝a3＋a6＋a9＋…＋a87，因为b1q＝b2，b2q＝b3，且b1＋b2＋b3＝140，所以b1(1＋q＋q2)＝140，而1＋q＋q2＝7，所以b1＝20，b3＝q2b1＝4×20＝80.答案(1)－2015(2)80探究提高在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.【训练2】(1)(2015·苏州期中)在等差数列{an}中，a5＝3，a6＝－2，则a3＋a4＋…＋a8＝________.(2)(2015·湖南卷)设Sn为等比数列{an}的前n项和，若a1＝1，且3S1，2S2，S3成等差数列，则an＝________.解析(1)根据等差数列性质计算.因为{an}是等差数列，所以a3＋a4＋…＋a8＝3(a5＋a6)＝3.(2)由3S1，2S2，S3成等差数列知，4S2＝3S1＋S3，可得a3＝3a2，∴公比q＝3，故等比数列通项an＝a1qn－1＝3n－1.答案(1)3(2)3n－1热点三等差、等比数列的判定与证明【例3】数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且对任意正整数n，点(an＋1，Sn)在直线2x＋y－2＝0上.(1)求数列{an}的通项公式；(2)是否存在实数λ，使得数列Sn＋λn＋λ2n为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.解(1)由题意，可得2an＋1＋Sn－2＝0.①当n≥2时，2an＋Sn－1－2＝0.②①－②，得2an＋1－2an＋an＝0，所以an＋1an＝12(n≥2).因为a1＝1，2a2＋a1＝2，所以a2＝12.所以{an}是首项为1，公比为12的等比数列.所以数列{an}的通项公式为an＝12n－1.(2)由(1)知，Sn＝1－12n1－12＝2－12n－1.若Sn＋λn＋λ2n为等差数列，则S1＋λ＋λ2，S2＋2λ＋λ22，S3＋3λ＋λ23成等差数列，则2S2＋9λ4＝S1＋3λ2＋S3＋25λ8，即232＋9λ4＝1＋3λ2＋74＋25λ8，解得λ＝2.又λ＝2时，Sn＋2n＋22n＝2n＋2，显然{2n＋2}成等差数列，故存在实数λ＝2，使得数列{Sn＋λn＋λ2n}成等差数列.探究提高判断和证明数列是等差(比)数列的三种方法(1)定义法：对于n≥1的任意自然数，验证an＋1－an或an＋1an为同一常数.(2)通项公式法：①若an＝a1＋(n－1)d＝am＋(n－m)d或an＝kn＋b(n∈N*)，则{an}为等差数列；②若an＝a1qn－1＝amqn－m或an＝pqkn＋b(n∈N*)，则{an}为等比数列.(3)中项公式法：①若2an＝an－1＋an＋1(n∈N*，n≥2)，则{an}为等差数列；②若a2n＝an－1·an＋1(n∈N*，n≥2)，则{an}为等比数列.【训练3】已知数列{an}是各项均不为0的等差数列，Sn为其前n项和，且满足a2n＝S2n－1，令bn＝1an·an＋1，数列{bn}的前n项和为Tn.(1)求数列{an}的通项公式及数列{bn}的前n项和Tn；(2)是否存在正整数m，n(1＜m＜n)，使得T1，Tm，Tn成等比数列？若存在，求出所有的m，n的值；若不存在，请说明理由.解(1)n＝1时，由a21＝S1＝a1，且a1≠0，得a1＝1.因为{an}是等差数列，所以an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)d，Sn＝na1＋n（n－1）2d＝n＋n（n－1）2d.于是由a2n＝S2n－1，得[1＋(n－1)d]2＝2n－1＋(2n－1)·(n－1)d，即d2n2＋(2d－2d2)n＋d2－2d＋1＝2dn2＋(2－3d)n＋d－1，所以d2＝2d，2d－2d2＝2－3d，d2－2d＋1＝d－1，解得d＝2.所以an＝2n－1，从而bn＝1an·an＋1＝1（2n－1）·（2n＋1）＝1212n－1－12n＋1所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝121－13＋1213－15＋…＋1212n－1－12n＋1＝121－12n＋1＝n2n＋1.(2)法一T1＝13，Tm＝m2m＋1，Tn＝n2n＋1，若T1，Tm，Tn成等比数列，则m2m＋12＝13n2n＋1，即m24m2＋4m＋1＝n6n＋3.由m24m2＋4m＋1＝n6n＋3，可得3n＝－2m2＋4m＋1m2＞0，即－2m2＋4m＋1＞0，∴1－62＜m＜1＋62.又m∈N*，且m＞1，所以m＝2，此时n＝12.因此，当且仅当m＝2，n＝12时，数列{Tn}中的T1，Tm，Tn成等比数列.法二因为n6n＋3＝16＋3n＜16，故m24m2＋4m＋1＜16，即2m2－4m－1＜0，∴1－62＜m＜1＋62.又m∈N*，且m＞1，所以m＝2，此时n＝12.因此,当且仅当m＝2,n＝12时,数列{Tn}中的T1，Tm，Tn成等比数列.1.在等差(比)数列中，a1，d(q)，n，an，Sn五个量中知道其中任意三个，就可以求出其他两个.解这类问题时，一般是转化为首项a1和公差d(公比q)这两个基本量的有关运算.2.等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件,有时需要进行适当变形.3.应用关系式an＝S1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2时，一定要注意分n＝1，n≥2两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起.4.三个数a，b，c成等差数列的充要条件是b＝a＋c2，但三个数a，b，c成等比数列的充要条件不是b2＝ac.