(江西专版)2014中考复习方案专题六有关二次函数的综合题

专题六有关二次函数的综合题专题六┃有关二次函数的综合题典例探究《课程标准》对二次函数这一知识点的学习要求比较高，它最能体现初中代数的综合性和能力性，因此二次函数在近几年中考试卷中已形成必不可少的题型．江西省从2012年开始对二次函数的考查角度有所调整，目的要将二次函数的性质和特征作为试题主体来考查，促使我们在复习中把二次函数作为最核心的内容之一来教学．预计2014年仍会以二次函数的性质和特征作为试题主体来考查．典例探究例1[2013·江西]已知抛物线yn＝－(x－An)2＋An(n为正整数，且0A1A2…An)与x轴的交点为An－1(Bn－1，0)和An(Bn，0)，当n＝1时，第1条抛物线y1＝－(x－A1)2＋A1与x轴的交点为A0(0，0)和A1(B1，0)，其他依此类推．(1)求A1，B1的值及抛物线y2的解析式；(2)抛物线y3的顶点坐标为____________；依此类推第n条抛物线yn的顶点坐标为____________；所有抛物线的顶点坐标满足的函数解析式是______________；专题六┃有关二次函数的综合题典例探究(3)探究下列结论：①若用An－1An表示第n条抛物线被x轴截得的线段长，直接写出A0A1的值，并求出An－1An；②是否存在经过点A(2，0)的直线和所有抛物线都相交，且被每一条抛物线截得的线段的长度都相等？若存在，直接写出直线的解析式；若不存在，请说明理由．图T6－1专题六┃有关二次函数的综合题典例探究【点拨交流】1．本题考查了哪些知识？2．怎样利用已知条件求A1，B1的值？3．如何求抛物线y1，y2，y3的顶点坐标，由此得到什么规律？4．怎样求直线和抛物线的交点坐标？专题六┃有关二次函数的综合题典例探究【点拨交流】1．本题考查了二次函数的一般知识，求字母系数、解析式、顶点坐标，字母表示数(符号意识)，数形结合思想，规律探究，合情推理，解题方法的灵活性等．2．将A0坐标代入y1的解析式可求得a1的值，y1的解析式也就确定了，已知抛物线就可求出b1的值，又把(b1，0)代入y2的解析式，可求出a2，即得y2的解析式．3．因为抛物线y2＝－(x－4)2＋4，令y2＝0，得－(x－4)2＋4＝0，所以x1＝2，x2＝6，所以抛物线y2与x轴交于点A1(2，0)，A2(6，0)．又因为抛物线y3＝－(x－a3)2＋a3与x轴交于A2(6，0)，所以－(6－a3)2＋a3＝0，解得a3＝4或9，但a3a2，所以a3＝9，所以抛物线y3的顶点坐标为(9，9)．由抛物线y1的顶点坐标为(1，1)，y2的顶点坐标为(4，4)，y3的顶点坐标为(9，9)，依次类推，抛物线yn的顶点坐标为(n2，n2)．4．直线和抛物线的交点坐标就是直线的解析式和抛物线解析式所组成的方程组的解．专题六┃有关二次函数的综合题典例探究【解题思路】将A0坐标代入y1的解析式求得a1的值↓求y1的解析式↓求出a2，得y2的解析式↓用上述同样的方法可求得a3，a4，a5↓得到规律an＝n2→第n条抛物线yn的顶点坐标↓由特殊到一般→求出An－1An专题六┃有关二次函数的综合题典例探究解(1)∵抛物线y1＝－(x－a1)2＋a1与x轴交于点A0(0，0)，∴－a21＋a1＝0，∴a1＝0或1.由已知可知a10，∴a1＝1，即y1＝－(x－1)2＋1.令y1＝0，得－(x－1)2＋1＝0，∴x1＝0，x2＝2，∴抛物线y1与x轴交于A0(0，0)，A1(2，0)，∴b1＝2.∵抛物线y2＝－(x－a2)2＋a2与x轴交于点A1(2，0)，∴－(2－a2)2＋a2＝0，∴a2＝1或4.∵a2a1，∴a2＝4，∴y2＝－(x－4)2＋4.(2)(9，9)(n2，n2)y＝x详解如下：令y2＝0得：－(x－4)2＋4＝0，∴x1＝2，x2＝6，∴抛物线y2与x轴交于点A1(2，0)，A2(6，0)．又∵抛物线y3＝－(x－a3)2＋a3与x轴交于A2(6，0)，∴－(6－a3)2＋a3＝0，∴a3＝4或9.∵a3a2，∴a3＝9，∴抛物线y3的顶点坐标为(9，9)．由抛物线y1的顶点坐标为(1，1)，y2的顶点坐标为(4，4)，y3的顶点坐标为(9，9)，依次类推，抛物线yn的顶点坐标为(n2，n2)．∵所有抛物线的顶点的横坐标等于纵坐标，∴顶点坐标满足的函数解析式是y＝x.专题六┃有关二次函数的综合题典例探究(3)①∵A0(0，0)，A1(2，0)，∴A0A1＝2.又∵yn＝－(x－n2)2＋n2，令yn＝0，∴－(x－n2)2＋n2＝0，即x1＝n2＋n，x2＝n2－n，∴An－1(n2－n，0)，An(n2＋n，0)，即An－1An＝(n2＋n)－(n2－n)＝2n.②存在．是平行于直线y＝x且过A1(2，0)的直线，其解析式为y＝x－2.专题六┃有关二次函数的综合题典例探究例2[2012·江西]如图T6－2，已知二次函数L1：y＝x2－4x＋3与x轴交于A，B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于点C.(1)写出A，B点的坐标；(2)二次函数L2：y＝kx2－4kx＋3k(k≠0)，顶点为P.①直接写出二次函数L2与二次函数L1有关图象的两条相同的性质；②是否存在实数k，使△ABP为等边三角形，如存在，请求出k的值；如不存在，请说明理由；③若直线y＝8k与抛物线L2交于点E，F，请问线段EF的长度是否发生变化，如果不会，求EF的长度；如果会，说明理由．图T6－2专题六┃有关二次函数的综合题典例探究【点拨交流】1．本题考查了哪些知识？2．如何求抛物线y＝x2－4x＋3与x轴的交点A，B的横坐标，与y轴交点C的纵坐标？3．二次函数L1：y＝x2－4x＋3与二次函数L2：y＝kx2－4kx＋3k(k≠0)，从解析式看有什么异同？4．使△ABP为等边三角形的条件是什么？5．直线y＝8k与抛物线L2交于点E，F，如何求线段EF的长度？专题六┃有关二次函数的综合题典例探究【点拨交流】1．本题考查了平面直角坐标系、二次函数、一次函数、正三角形的相关性质．2．抛物线y＝x2－4x＋3与x轴的交点A，B的横坐标就是当y＝0时，自变量x的值，与y轴交点C的纵坐标就是当x＝0时，函数y的值．3．二次函数L2：y＝kx2－4kx＋3k(k≠0)可变形为y＝k(x2－4x＋3)(k≠0)，当k＝1时，就是二次函数L1：y＝x2－4x＋3，因此二次函数L1：y＝x2－4x＋3是二次函数L2：y＝kx2－4kx＋3k(k≠0)当k＝1时的特殊情形，当y＝0时，二次函数L1：y＝x2－4x＋3与二次函数L2：y＝kx2－4kx＋3k(k≠0)所对应的一元二次方程的解相同，即这两个函数图象与x轴的交点相同，对称轴相同．4．因为A(1，0)，B(3，0)，所以AB＝2，要使△ABP为等边三角形，必满足顶点P的纵坐标的绝对值为3.5．先求出点E，F的坐标，而点E，F的坐标就是方程组y＝8k，y＝kx2－4kx＋3k的解，所以EF＝|x2－x1|.专题六┃有关二次函数的综合题典例探究【解题思路】构建一元二次方程求解↓围绕对称轴、顶点坐标、图象与坐标轴的交点及函数增减性来进行分析↓求出等边△ABP的边AB的长度↓探究顶点的纵坐标与以AB为边的等边三角形的高之间的对应关系↓构建方程求两函数图象的交点问题专题六┃有关二次函数的综合题典例探究解(1)A(1，0)，B(3，0)．(2)①对称轴为直线x＝2或顶点的横坐标为2或都经过点A(1，0)，B(3，0)．②存在实数k，使△ABP为等边三角形．∵y＝kx2－4kx＋3k＝k(x－2)2－k，∴顶点P(2，－k)．∵A(1，0)，B(3，0)，∴AB＝2，要使△ABP为等边三角形，必满足|－k|＝3，∴k＝±3.③线段EF的长不会发生变化．∵直线y＝8k与抛物线L2交于E，F两点，∴kx2－4kx＋3k＝8k，∵k≠0，∴x2－4x－5＝0，∴x1＝－1，x2＝5，∴EF＝x2－x1＝6，∴线段EF的长不会发生变化．专题六┃有关二次函数的综合题典例探究