二阶非齐次线性微分方程的解法研究

1引言数学分析中所研究的函数，就是指自变量与因变量之间的一种关系。但在实际问题中，往往很难找到自变量与因变量之间的直接联系（即函数关系），反而比较容易从其变化过程中求出自变量，因变量及它们的导数或微分的关系式。这种联系着自变量、未知函数及它们的导数或微分的关系式，称之为微分方程。微分方程特别是线性微分方程在实际问题中有着广泛的应用。本文除简洁介绍n阶线性微分方程的主要基本理论外，着重对二阶常系数线性微分方程的解法进行研究。1线性微分方程的基本理论与初等解法1.1基本理论]1[]2[tfxtadtdxtadtxdtadtxdnnnnnx1111（1.1）01111xtadtdxtadtxdtadtxdnnnnnx（1.2）方程（1.1）称为n阶非齐次线性微分方程，方程（1.2）称为n阶齐次线性微分方程。下面给出方程（1.1）和（1.2）的解的性质和结构。定理1（齐线性方程解的叠加原理）如果txtxtxn,,,21是方程（1.2）的n个解，则它们的线性组合txctxctxcnn2211也是方程（1.2）的解。其中nccc,,,21是任意的常数。定理2（（1.2）的通解结构定理）如果txtxtxn,,,21是方程（1.2）的n个线性无关的解，则方程（1.2）的通解可表示为：txctxctxcxnn2211（1.3）其中nccc,,,21是任意的常数，且（1.3）包括了方程（1.2）的所有解。定理3（非齐线性方程解的叠加原理）如果tx是方程tfxL1的解，而tx是方程tfxL2的解，则txtx也是方程tftfxL21的解。定理4（（1.1）的通解结构定理）如果txtxtxn,,,21是方程（1.2）的基本解2组，而tx是方程（1.1）的某一解，则方程（1.1）的通解可表示为：txtxctxctxcxnn2211（1.4）其中nccc,,,21是任意的常数，且（1.4）包括了方程（1.1）的所有解。1.2初等解法假设方程（1.1）和（1.2）中的所有系数都是常数，即tfxadtdxadtxdadtxdnnnnnn1111（1.5）01111xadtdxadtxdadtxdnnnnnn（1.6）方程（1.5）称为n阶常系数非齐次线性方程，方程（1.6）称为n阶常系数齐次线性方程。1.2.1齐线性方程的初等解法①常系数齐线性方程对于常系数齐线性方程（1.6）的求解，关键在于找出它的基本解组，即n个线性无关解。参照一阶常系数齐线性方程的求解，对于方程（1.6）我们也试求其形如x=te的解，其中为待定常数，将其代入方程（1.6）得：0111tnnnneaaa由于对于tR，都有0te，则：0111nnnnaaaF（1.7）式（1.7）称为方程（1.6）的特征方程。而方程（1.6）的解的形式将由式（1.7）的特征根决定。这就是所谓的欧拉待定指数函数法。例1.求解方程04522xdtdxdtxd解：特征方程0452特征根,1142故所求通解为ttececx421，其中21,cc为任意常数3例2.求解方程022244xdtxddtxd解：特征方程01224特征根i（二重根）故所求通解为ttccttccxsin)(cos)(4321,其中4,,1ici为任意常数②欧拉方程所谓欧拉方程就是指如下特殊的变系数方程：011111yadxdyxadxydxadxydxnnnnnnnn（1.8）经变换xtextln,，则)8.1()9.1(：01111ybdtdybdtydbdtydnnnnnn（1.9）方程（1.9）有形如y=te的解，则方程（1.8）有形如xy的解，将xy代入（1.8），得特征方程：0)2()1()1()1(11nnaanan（1.10）至此，对于方程（1.8）的求解方法可参照方程（1.6）的求解1.2.2非齐线性方程的初等解法①常数变易法在求解一阶非齐线性方程的通解时，我们使用了常数变易法，这一方法同样适用于求解非齐线性方程（1.1）。其具体方法与步骤如下：1）写出方程（1.2）的通解：txctxctxcxnn22112）常数变易，即令txtctxtctxtcxnn2211（1.11）3）把（1.11）及其一阶到n阶导数（在附加了n-1个条件）代入方程（1.1）,可得个确定tci),,2,1(ni的方程组（A）：4（A）tftxtctxtctxtctxtctxtctxtctxtctxtctxtcnnnnnnnnn11221112211221100解方程组（A）得()()iictt,ni,,2,14）逐个积分，得nidtttciii,,2,1,5）写出方程（1.1）的通解：txtctxtctxtcxnn2211=dtttxtxiniiinii11,ini,,2,1为任意常数例3.求方程2txxt于域0t的通解解：对应齐线性方程0xxt解之得BAtx221，A，B为任意常数易知基本解组为1，2t原方程可改写为1xxtt(*)则运用常数变易法，令,221ttctcx代入上式(*)得ttctttctc222120解得,61131rttc2221rttc故原方程的通解为,313221ttrrx21,rr为任意常数②比较系数法现在讨论常系数非齐线性方程（1.5）tfxadtdxadtxdadtxdnnnnnn1111（1.5）的求特解问题事实上，当方程（1.5）的非齐次项tf具有某些特殊形状时，可采用一种简便有效的求特解方法————比较系数法。5类型设tmmmmebtbtbtbtf)(1110，其中及),,1,0(mibi为实常数，那么方程（1.5）有特解：tmmmmkeBtBtBtBtx)(1110，其中k为特征根的重数，而mBBB,,,10为待定常数，可通过比较系数法来确定。类型设tettBttAtfsincos，其中,为常数，tBtA,为带实系数的m次（或不超过m次）多项式，则方程（1.5）有特解：[cossin]ktxtPttQtte，其中k为特征根i的重数,而,tPtQ为待定的带实系数的m次多项式，可通过比较系数法来确定。例4.求texxx32的通解解：特征方程0322特征根,1132则对应齐线性方程通解为ttececx3211,ttef是特征根，取k=1原方程有特解ttBtetBex，代入原方程，得tteBe441B特解为ttex41故原方程的通解为tttteececx41321,12,cc为任意常数例5.求texxxtcos32的通解解：特征方程0322特征根,211ii212则对应齐线性方程通解为tetctcx)2sin2cos(21iitetft1,cos不是特征根，故取k=0原方程有特解tetBtAx)sincos(，代入原方程，得6teteBAteBAtttcossin)54(cos)45(则054145BABA解得414415BA故特解为tettx)sin4cos5(411故原方程的通解为ttettetctcx)sin4cos5(411)2sin2cos(21其中12,cc为任意常数至此，关于方程（1.5）的求解大体可分为两大步骤：1）先求出对应齐线性方程的基本解组；2）根据tf的具体情况，运用比较系数法，求出特解，随后组合便得方程（1.5）的通解。2二阶常系数非齐线性微分方程的解法研究线性微分方程的理论研究已比较完善，应用范围也很广泛，特别是二阶常系数线性微分方程在力学、电工学等方面应用最广泛。根据前面的知识，我们知道对于二阶常系数非齐线性方程的求解，可分为两大步骤：一是求出对应二阶常系数齐线性方程的通解；二是求解出二阶常系数非齐线性方程的一个特解，随后组合便得非齐线性方程的通解。二阶常系数非齐线性方程xfqyypy（2.1）二阶常系数齐线性方程0qyypy（2.2）2.1特解的解法研究求解齐线性方程（2.2）的方法已经趋于完善，因此求得方程（2.1）的一个特解便成为求解方程（2.1）的关键。下面介绍几种求特解的方法。2.1.1升阶法]3[]4[]5[对于方程xfqyypy（2.1）7①当xf为多项式时，设nnnnaxaxaxaxf1110，此时方程（2.1）两边同时对x求导n次，得!)!1(!)1(0)()1()2(10)1()1(12110naqypyynaxnaqypyyaxnanxayqypynnnnnnnnn显然，方程（2.1）的解存在，且满足上述方程。最后一个方程的一个明显解（不妨设0,0pq时，情况类似）是：qnayn!0.此时0)1()2(nnyy，由nnyy与1通过倒数第二个方程可得1ny，依次往上推，一直推到（2.1），即可得方程（2.1）的一个特解xy。上面这种方法称为升阶法。此种方法比一般教科书所介绍的比较系数法更为简便。下面举几个例子来探讨比较一下。例1.求方程2106652xxyyy（1）的一个特解解：方程（1）两边同时对x求导，得101265xyyy（2）方程（2）两边同时对x求导，得12654yyy令.2,04yyy得将其代入（2），得xy2，再将其代入（1），得210661022xxyx因此方程（1）的一个特解为2xy8例2.求方程xxyy2552（3）的一个特解解：方程（3）两边同时对x求导，得2105xyy（4）方程（4）两边同时对x求导，得1054yy令2,04yy得，将其代入（4）得,2xy再将其代入（3），得xxyx25522得2xy，解得331xy故方程（3）的一个特解为331xy②当)()(1110Reaxaxaxaxfxnnnn时，令xexuy，则xxeuuuyeuuy)2(,)(2代入方程（3），经整理得nnnnaxaxaxauqpupu11102)()2(这样，类型②就可转变为类型①。从这里可以看出，升阶法不需要讨论是否为特征根的问题。因此，求解问题的过程得以简化。例3.求方程xexyyy3)2(42（5）的一个特解解：令,3