工程数学试卷及答案

《工程数学》试题第1页共6页得分评卷人1．某人打靶3发，事件Ai表示“击中i发”，i=0,1,2,3.那么事件A=A1∪A2∪A3表示()。A.全部击中.B.至少有一发击中.C.必然击中D.击中3发2．对于任意两个随机变量X和Y，若E(XY)=E(X)E(Y)，则有()。A.X和Y独立。B.X和Y不独立。C.D(X+Y)=D(X)+D(Y)D.D(XY)=D(X)D(Y)3．下列各函数中可以作为某个随机变量的概率密度函数的是（）。A．其它1||0|)|1(2)(xxxf。B.其它2||05.0)(xxfC.00021)(222)(xxexfxD.其它00)(xexfx，4．设随机变量X～)4,(2N,Y～)5,(2N,}4{1XPP,}5{2YPP,则有（）A.对于任意的,P1=P2B.对于任意的,P1P2C.只对个别的，才有P1=P2D.对于任意的,P1P25．设X为随机变量，其方差存在，c为任意非零常数，则下列等式中正确的是（）A．D(X+c)=D(X).B.D(X+c)=D(X)+c.C.D(X-c)=D(X)-cD.D(cX)=cD(X)一、单项选择题（每小题3分，共15分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。《工程数学》试题第2页共6页得分评卷人6．设3阶矩阵A的特征值为-1，1，2，它的伴随矩阵记为A*，则|A*+3A–2E|=。7．设A=10000002~011101110x，则x=。8．设有3个元件并联，已知每个元件正常工作的概率为P，则该系统正常工作的概率为。9．设随机变量X的概率密度函数为其它Axxxf002)(，则概率)21(XP。10．设二维连续型随机变量),(YX的联合概率密度函数为其它当0,00),()43(yxkeyxfyx，则系数k。得分评卷人11．求函数tetf)(的傅氏变换(这里0)，并由此证明：二、填空题（每空3分，共15分）三、计算题（每小题10分，共50分）《工程数学》试题第3页共6页tedt2cos02212．发报台分别以概率0.6和0.4发出信号“1”和“0”。由于通讯系统受到干扰，当发出信号“1”时，收报台未必收到信号“1”，而是分别以概率0.8和0.2收到信号“1”和“0”；同时，当发出信号“0”时，收报台分别以概率0.9和0.1收到信号“0”和“1”。求（1）收报台收到信号“1”的概率；（2）当收报台收到信号“1”时，发报台确是发出信号“1”的概率。13．设二维随机变量),(YX的联合概率函数是其它0,00),()42(yxceyxfyx求：（1）常数c；（2）概率P(X≥Y)；（3）X与Y相互独立吗？请说《工程数学》试题第4页共6页出理由。14．将n个球随机的放入N个盒子中去，设每个球放入各个盒子是等可能的，求有球盒子数X的数学期望。15．设一口袋中依此标有1，2，2，2，3，3数字的六个球。从中任取一球，记随机变量X为取得的球上标有的数字，求(1)X的概率分布律和分布函数。(2)EX《工程数学》试题第5页共6页得分评卷人16.设a=(a1,a2,…,an)T，a1≠0,其长度为║a║，又A=aaT,(1)证明A2=║a║2A；(2)证明a是A的一个特征向量，而0是A的n-1重特征值；(3)A能相似于对角阵Λ吗？若能,写出对角阵Λ.四、证明题（共10分）《工程数学》试题第6页共6页得分评卷人17.设在国际市场上每年对我国某种出口商品的需求量X是随机变量,它在[2000,4000](单位：吨)上服从均匀分布，又设每售出这种商品一吨，可为国家挣得外汇3万元，但假如销售不出而囤积在仓库，则每吨需保养费1万元。问需要组织多少货源，才能使国家收益最大。五、应用题（共10分）《工程数学》试题第7页共6页参考答案及评分标准一、选择题（每小题3分，共15分）1．B2．C3．D4．A5．A二、填空题（每小题3分，共15分）6.97.18.1–(1–P)39.3/410.12三、计算题（每题10分，共50分）11.解答：函数f(t)的付氏变换为：F(w)=dtedtedteeetjtjtjtt0)(0)(||||][（3分）=22211jj(2分)由付氏积分公式有f(t)=[1F(w)]=deFtj)(21(2分)=dtjt)sin(cos22122==dtdt02222cos2cos221（2分）所以tedt2cos022（1分）12.解答:设A1=“发出信号1”，A0=“发出信号0”，A=“收到信号1”（2分）(1)由全概率公式（1分）有P(A)=P(A|A1)P(A1)+P(A|A0)P(A0)（2分）=0.8x0.6+0.1x0.4=0.52（1分）(2)由贝叶斯公式（1分）有P(A1|A)=P(A|A1)P(A1)/P(A)（2分）=0.8x0.6/0.52=12/13（1分）13.解答:《工程数学》试题第8页共6页(1)由联合概率密度的性质有1),(dyyxfdx即0)42(01dycedxyx（2分）从而c=8（2分）(2)yxdxdyyxfYXP),()(xyxdyedx0)42(0328（2分）(3)当x0时，02)42(28),()(xyxXedyedyyxfxf（2分）当x=0时,0)(xfX同理有其它004)(4yeyfyY（1分）因yxyfxfyxfYX,)()(),(故X与Y相互独立（1分）14.解答：设否则个盒子有球第iXi01i=1,2,…,N(2分)则NiiXX1(1分)因nniNNXP)1()0((2分)nniiNNXPXP)1(1)0(1)1((2分)因而nniiiNNXPXPEX)1(1)1(1)0(0(2分)《工程数学》试题第9页共6页所以))11(1(1nNiiNNEXEX(2分)15.解答：（1）随机变量X的取值为1，2，3。（1分）依题意有：62)3(;63}2{;61}1{XPXPXP（3分）X的分布函数}{)(xXPxF（1分）由条件知：当1x时，;0(）xF（1分）当21x时，;61)1((XPxF）（1分）当32x时，;32)2()1((XPXPxF）（1分）当3x时，;1(）xF（1分）（2）EX=1x1/6+2x3/6+3x2/6=13/6（1分）四、证明题（共10分）(1)A2=aaT·aaT=aTa·aaT=║a║2A（2分）(2)因Aa=aaT·a=aTa·a=║a║2a（2分）故a是A的一个特征向量。又A对称，故A必相似于对角阵（1分）设A∽diag(λ1,λ2,…,λn)=B,其中λ1,λ2,…,λn是A的特征值(1分)因rank(A)=1,所以rank(B)=1(1分)从而λ1,λ2,…,λn中必有n-1个为0,即0是A的n-1重特征值（1分）(3)A对称，故A必相似于对角阵Λ，Λ=diag(║a║2,0,…,0)(2分)五、应用题（共10分）解答:设y为预备出口的该商品的数量，这个数量可只介于2000与4000之间，用Z表示国家的收益（万元）,（1分）则有yXyXXyXyXgZ)(33)(（4分）因X服从R(2000,4000),故有其它4000200002000/1)(xxfX(1分)所以《工程数学》试题第10页共6页dxydxxyxdxxfxgEZyyX40002000200032000)(3)()(=–(y2–7000y+4•106)/1000(3分)求极值得y=3500(吨)(1分)