优化设计

现代设计方法第三章优化设计OptimizationDesign现代设计方法本章主要内容优化设计概述优化问题的数学分析基础一维探索优化方法无约束多维问题的优化方法约束问题的优化方法多目标函数的优化方法现代设计方法本章重难点优化设计数学模型的建立，掌握常用的优化方法，如一维探索优化方法、无约束多维问题的优化方法、约束问题的优化方法、以及多目标函数的优化方法等。现代设计方法3.1优化设计概述3.1.1优化设计问题的提出1.传统设计方法：确定产品结构方案；尺寸计算和强度校核；调整方案，重新计算。（循环设计过程）缺点：烦琐，耗时，以牺牲设计效率和质量为代价2.优化设计：转化为最优化问题，利用数学规划的方法，借助于计算机（高速度、高精度和大存储量）的处理，从满足设计要求的一切可行方案中，按照预定的目标自动寻找最优设计的一种设计方法。优化设计三要素：设计变量，目标函数，约束条件。现代设计方法满足：gu(m、z、x)的情况下寻找：一组设计参数m、z、x；（模数、齿数、变位系数）使得：设计目标流量最均匀,体积最小,寿命最长以齿轮泵为例，其优化设计过程如下：现代设计方法3.1.2优化设计的数学模型优化设计的问题首先是建立数学模型，即把实际问题转化为数学模型的形式。优化模型三要素：设计变量，目标函数，约束条件。1.设计变量设计过程中，进行选择和调整，最终必须确定的独立参数称为设计变量；固定不变，需要事先给定的参数称为设计常量。（1）维数：设计变量的个数称为设计问题的维数。设计变量愈多，设计自由度愈大，可供选择方案愈多，设计愈灵活，难度愈大，求解愈复杂。现代设计方法（2）设计空间:n个设计变量的坐标轴所形成的n维实空间称为设计空间，用Rn表示。设计空间中，n个设计变量的坐标值组成一个设计点，并代表一个设计方案，可采用如下向量表示：其中，最优设计方案用表示，称为最优点或优化点。*XnTnnRXxxxxxxX,,,2121现代设计方法二维设计空间三维设计空间x2x1X=[x1x2]Tx1x2x3X=[x1x2x3]T现代设计方法2.目标函数优化设计的任务是在许多可行的方案中找出最优的方案，所谓最优方案是在设计变量中能最好的满足所追求的某些特点的目标，而这些目标又可表达为设计变量的函数，称为目标函数。目标函数可用来评价设计方案的好坏，又称为评价函数。常表示为：目标函数表征的是设计的某项或某些最重要的特征。优化设计就是要通过优选设计变量使目标函数达到最优值。目标函数总可以转化成求最小值的统一形式。),,,()(21nxxxfXf现代设计方法等值曲面:目标函数值相等的所有设计点的集合称为目标函数的等值曲面。二维：等值线；三维：等值面；三维以上：等超越面。z等值线族形象地反映了目标函数值的变化规律，越靠近极值点的等值线，表示的目标函数值越小，其分布也越密集。xyo等高线x*（中心极值点）等值线族二维设计变量下的等值线现代设计方法3.约束条件（函数）对任何设计都有若干不同的要求和限制，将这些要求和限制表示成设计变量的函数并写成一系列不等式和等式表达式，就构成了设计的约束条件简称约束。其作用是对设计变量的取值加以限制。现代设计方法（1）分类根据对设计变量取值的限制形式：显约束（直接限制）和隐约束（间接限制）根据性质的不同：边界约束和性能约束。边界约束：直接限制每个设计变量的取值范围或彼此相互关系的一些辅助的区域约束。性能约束：由产品性能或设计者要求推导出来的用以间接限制设计变量取值范围的一种约束。现代设计方法（2）可行域任何一个不等式约束都把设计空间分为两部分，一部分是满足约束条件的称为可行域，另一部分是不满足约束条件的称为非可行域，这两部分的分界是(约束方程)。在约束边界上的点称为边界点两个以上约束边界的交点称为角点0)(Xgi等式约束同样把设计空间分成两部分。现代设计方法不等式约束与等式约束的几何意义：1x2x2x1x0)(Xg0)(Xg0)(Xg0)(Xh0)(Xh0)(Xh在一个优化设计问题的设计空间中，满足所有约束条件的点构成的子空间，称为可行域。现代设计方法【例1】作出下列约束条件构成的可行域：1009080706050403020101009080706050403020100)(1Xg0)(4Xg0)(3Xg0)(2Xg0)(5Xg1x2x0),(0),(20054),(300103),(36049),(22151214212132121221211xxxgxxxgxxxxgxxxxgxxxxg现代设计方法【例2】根据下列约束条件画出可行域。0)(01)(02)(132212211xXgxxXgxxXg543210-2-1212x1x0)(3Xg0)(1Xg0)(2Xg可行域在约束边界的哪一边怎么确定？现代设计方法（3）起作用约束设X为设计空间中的一个点：满足所有约束条件的点称为可行点（内点和边界点）不满足所有约束条件的点称为非可行点（外点）X在某个约束边界上，则这个约束条件称为X的起作用约束X不在某个约束边界上，则这个约束条件称为X的不起作用约束现代设计方法1x2x)3(X0)(3Xg)1(X)2(X0)(2Xg0)(1Xg0)(4Xg起作用约束设计点X(k)的所有起作用约束的函数序号下标集合用Ik表示，即}),,2,10)({)(muXguIkuk(，321}2,1{}1{,III左图中现代设计方法一般形式：123,,,,,nnixxxxnNxR求变量：123()(,,,,)nfxxxx极小化极大化函数：123(,,,,)0()ungxxxx约束条件：不等式约束123(,,,,)0()vnhxxxx等式约束4.优化设计的数学模型现代设计方法用“max、min”表示极大、极小化，用“s.t”表示“满足于”，“m、p”表示不等式约束与等式约束的个数，则表示如下形式：),,3,2,1(0)(),,3,2,1(0)(..)(min(max)pvXhmuXgtsRXXfvun现代设计方法本课程中，所有的优化设计问题都是求目标函数的极小值。遇到求极大值的问题，则先通过转化变成极小值问题。与此同时，所有的不等式约束都采用的形式。0)(Xg现代设计方法5.优化设计问题的求解（1）图解法【例3】求解下列优化问题：0)(0)(20054)(300103)(36049)(..12060)(min251421321221121xXgxXgxxXgxxXgxxXgtsxxXf现代设计方法1009080706050403020101009080706050403020100)(1xg0)(4xg0)(3xg0)(2xg0)(5xg1x2x4080)(xf最优解是等值线在函数值下降方向上与可行域的最后一个交点。0)(0)(020054)(0300103)(036049)(2514213212211＝＝＝＝＝约束方程：xXgxXgxxXgxxXgxxXgTX]2420[*，现代设计方法22121112221231min()44()20..()10()0fxxxxgxxxstgxxxgxx【例4】求解下列优化问题：现代设计方法12-1-20123453452x1x0)(3Xg0)(2Xg0)(1Xg1)(Xf8.3)(Xf9)(XfTX]34.158.0[*，最优解是等值线在函数值下降方向上与可行域的最后一个交点。现代设计方法非线性问题的最优解要么是一个内点，要么是一个边界点；非线性问题的最优解如果是一个边界点，那么它必定是等值线（面）在函数值下降方向上与可行域的最后一个交点；线性问题的最优解必定是等值线（面）在函数值下降方向上与可行域的最后一个交点；一般情况下：现代设计方法（2）数值迭代法数值迭代法的基本思想：从一个初始点出发，按照一个可行的搜索方向和适当的步长走一步，到达，再从出发，选一个可行的搜索方向和适当的步长走一步，达到，并保证每一步函数值都是下降的，即必须满足（这称为新点的适用性），这样一步一步地重复进行数值计算，直至达到目标函数的极小点。)0(X)1(X)1(X)2(X)()()1()(iiXfXf现代设计方法无约束优化问题2x1x*X)0(X)0(S)1(X)1(S)2(X)2(S)3(X)3(S)4(X初始点)0(X用某种优化方法确定)0(S确定前进步长计算检查若不满足则改变步长，满足则进入下一步)0()0()0()0()1(SXX?)()()0()1(XfXf从出发)1(X用某种优化方法确定)1(S确定前进步长计算检查若不满足则改变步长，满足则进入下一步?)()()1()2(XfXf从出发)2(X用某种优化方法确定)2(S确定前进步长计算检查若不满足则改变步长，满足则进入下一步)2()2()2()2()3(SXX?)()()2()3(XfXf从出发)3(X用某种优化方法确定)3(S确定前进步长计算检查若不满足则改变步长，满足则进入下一步)3()3()3()3()4(SXX?)()()3()4(XfXf现代设计方法)(kX)(kS)(k)()()()1(kkkkSXX——第k个迭代点——从第k个迭代点出发寻找下一个迭代点的搜索方向——沿前进的步长)(kS基本迭代公式现代设计方法由于每次迭代求得的新点均为使函数值有所下降的适用点（如果不是适用点，可改变方向和步长另行搜索适用点），则所得各点必将逐步向该函数的极小值点逼近，最后总可求得非常接近该函数理论最优点的近似最优点。*X现代设计方法2）约束优化问题对于约束优化问题，除了检查每个新点的适用性外，还要检查其可行性，即是否满足的约束条件，如果适用性和可行性兼备，再进行下一次迭代，最终自然也能求得非常接近约束最优点的近似最优点。0)(Xgu*X现代设计方法综上所述，采用数值法进行迭代求优时，除了选择初始点以外，如何确定迭代方向和步长成为非常重要的环节，他们将直接决定着搜索的效率、函数值逐步下降的稳定性和优化过程所需的时间等。)0(X)(kS)(k现代设计方法A.点距准则根据相邻两迭代点与间的距离足够小而建立的准则，点距准则可表示为或)(kX)1(kX)()1(kkXXnikikixx12)()1(数值迭代终止准则（计算精度的确定）现代设计方法B.值差准则根据相邻的两迭代点的函数值下降量足够小而建立的准则。绝对下降量准则：相对下降量准则：)()()()1(kkXfXf)1)(()()()()1()1()()1(kkkkXfXfXfXf现代设计方法C.梯度准则根据迭代点的函数梯度达到足够小而建立的准则，表示为)()1(kXf或22221nxfxfxf现代设计方法迭代法必须要解决的三个问题迭代算法具有收敛性；在收敛性前提下，选择比较好的初始点X(0)和适宜的终止判据及收敛精度；选取使目标函数值下降较快的迭代探索方向S(k)和最优的迭代步长α(k)，确保较快的收敛速度。如何确定S(k)、α(k)优化方法现代设计方法3.2优化设计的数学分析基础优化设计的本质：求极值。1.函数的泰勒展开为便于对多变量问题进行数学分析和求解，往往需要采用线性函数和二次函数替代简化目标函数。（1）一元函数的f(X)泰勒展开：若f(x)在含有x(0)处的某个开区间内直到（n+1）阶可导，只要开区间（a,b）足够小,则该函数在（a,b）内x(0)点处的二阶泰勒展开式为：(0)(0)(0)(0)(0)21()()'()()''()()2fxfxfxxxfx