上海市普陀区2010学年度第一学期高三数学(理科)定位考(含答案)

（理科）第1页，共10页普陀区高三年级质量调研数学试卷（理科）一、填空题（本大题满分56分）1.设平面向量()1,1a=r，()0,4b=-r，则ba.2.已知函数()2logafxx,(01)aa且,若()fx的反函数1()fx的图像经过点3,4，则a.3.已知集合|lg0Axx，|21xBx，则AB.4.若数列{}na对任意的*NnÎ都有11nnaaa+=+，且36a=，则20a=.5.若直线l的一个法向量为3,1n，则直线l的倾斜角为.6.已知sina，其中是第四象限角，则sin2.7.已知一个球的半径为R，一个平面截该球所得小圆的半径为r，该小圆圆心到球心的距离为d，则d关于r的函数解析式为.8.抛物线的顶点在坐标原点，焦点是椭圆222416xy+=的一个焦点，则此抛物线的焦点到其准线的距离为.9.若函数arcsin1fxx，则3f.10.某种电子产品的采购商指导价为每台200元，若一次采购数量达到一定量，还可享受折扣.右图为某位采购商根据折扣情况设计的算法程序框图，则该程序运行时，在输入一个正整数X之后，输出的变量S表示的实际意义是；若一次采购85台该电子产品，则S元.11.方程为2241xyxxy的曲线上任意两点之间距离的最大值为.12.高一数学课本中，两角和的正弦公式是在确定了两角差的余弦公式后推导的.即sinsincoscossin.（填入推导的步骤）13.已知函数14245xxfxkkk在区间0,2上存在零点，则实数k的取值范围是.14.在正方体的顶点中任意选择4个顶点，对于由这4个顶点构成的四面体的以下判断中，所有正确的结论是（写出所有正确结论的编号）①能构成每个面都是等边三角形的四面体；②能构成每个面都是直角三角形的四面体；③能构成三个面为全等的等腰直角三角形，一个面为等边三角形的四面体；第10题图（理科）第2页，共10页④能构成三个面为不都全等的直角三角形，一个面为等边三角形的四面体.二、选择题（本大题满分20分）15.“0x”是“0x”的（）A.充分非必要条件；B.必要非充分条件；C.充要条件；D.既非充分又非必要条件.16.设a为非零实数，则关于函数2()1fxxax，Rx的以下性质中，错误．．的是（）A.函数()fx一定是个偶函数；B.函数()fx一定没有最大值；C.区间,0一定是()fx的单调递增区间；D.函数()fx不可能有三个零点.17.双曲线221169yx上到定点5,0的距离是6的点的个数是（）A.0个；B.2个；C.3个；D.4个.18.若对于任意角，都有cossin1ab，则下列不等式中恒成立的是（）A.221ab；B.221ab；C.22111ab；D.22111ab.三、解答题（本大题满分74分）19.（本题满分10分）已知数列12nnnnnabaab（0ab，*Nn），试判定：依据a、b的不同取值，集合limnnMmma含有三个元素，并用列举法表示集合M.20.（本题满分14分，其中第1小题6分，第2小题8分）为了贯彻节能减排的理念，国家制定了家电能耗的节能标准.以某品牌的节能型冰箱为例，该节能型冰箱使用一天（24小时）耗电仅0.81度，比普通冰箱约节省电能50%，达到国家一级标准.经测算，每消耗100度电相当于向大气层排放78.5千克二氧化碳，而一棵大树在60年的生命周期内共可以吸收1吨二氧化碳.（1）一台节能型冰箱在一个月（按30天不间断使用计算）中比普通冰箱相当于少向大气层排放多少千克的二氧化碳（精确到0.1千克）？（2）某小城市数千户居民现使用的都是普通冰箱.在“家电下乡”补贴政策支持下，若每月月初都有150户居民“以旧换新”换购节能型冰箱，那么至少多少个月后（每月按30天不间断使用计算），该市所有新增的节能型冰箱少排放的二氧化碳的量可超过150棵大树在60年生命周期内共吸收的二氧化碳的量？21.（本题满分14分，其中第1小题7分，第2小题7分）已知ABC△的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c.（1）若当A时，cos2cos2BCA取到最大值，求的值；（理科）第3页，共10页（2）设A的对边长1a，当cos2cos2BCA取到最大值时，求ABC△面积的最大值.22.（本题满分16分，其中第1小题9分，第2小题7分）如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为1，高为h（2h），动点M在侧棱1BB上移动.设AM与侧面11BBCC所成的角为.（1）当,64时，求点M到平面ABC的距离的取值范围；（2）当6时，求向量AM与BC夹角的大小.23.（本题满分20分，其中第1小题4分，第2小题6分，第3小题10分.）平面直角坐标系xOy中，已知111222,,,AxyAxy，…，,nnnAxy是直线:lykxb上的n个点（*Nn，k、b均为非零常数）.（1）若数列nx成等差数列，求证：数列ny也成等差数列；（2）若点P是直线l上一点，且1122OPaOAaOA，求12aa的值；（3）若点P满足1122nnOPaOAaOAaOA，我们称OP是向量1OA，2OA，…，nOA的线性组合,na是该线性组合的系数数列.当OP是向量1OA，2OA，…，nOA的线性组合时，请参考以下线索：①系数数列na需满足怎样的条件，点P会落在直线l上？②若点P落在直线l上，系数数列na会满足怎样的结论？③能否根据你给出的系数数列na满足的条件，确定在直线l上的点P的个数或坐标？试提出一个相关命题（或猜想）并开展研究，写出你的研究过程.【本小题将根据你提出的命题（或猜想）的完备程度和研究过程中体现的思维层次，给予不同的评分】A1B1C1MACB第22题图（理科）第4页，共10页高三调研数学试卷参考答案及评分标准一、填空题（每小题4分，满分56分）：1.4-；2.4；3.,1；4.（文，理）40；5.23p；6.221aa（或242aa）；7.22dRr，0,rR；8.4；9.理：312-；文：34；10.表示一次采购共需花费的金额;15300；11.14；12.coscoscossinsin222；13.理：,45,；文：2；14.理：①②③④；文：①②③.二、选择题（每题4分，满分16分）：题号15161718答案BCBD三、解答题：19.（本题满分10分）（理科）解：由结论：“当1q时，lim0nnq”且根据本题条件0ab，故本题需根据变量a和常数1的大小比较进行分类讨论：（1）当10ab时，11lim22nnnnnabab；（2）当10ab时，122limlim233nnnnnnnnabbabb；（3）当10ab或10ab时，有111limlim1221nnnnnnnnnnbabaaabbaa.故集合limnnMmma含有以上三个元素，用列举法表示集合12,1,23M.…3…6…9…10（文科）解：如图，延长DA至E，CB至F，使得DA=AE，CB=BF.联结AF，PF，EF，DF.因为ABCD是正方形，所以AD//BF，且AD=BF，所以AF//BD.故PAF（或其补角）的大小即为异面直线PA与BD所成角的大小.又正方形边长为2，PD=1，故5PA，22AF，2225DFCFCD.所以，2221PFPDDF.…3…7ABCDPEF（理科）第5页，共10页于是，222582110cos252522PAAFPFPAFPAAF，所以异面直线PA与BD所成角的大小为10arccos5.…9…1020.（本题满分14分，其中第1小题6分，第2小题8分）解:（1）由于节能型冰箱比普通冰箱约节省电能50%，故一台节能型冰箱一天（24小时）消耗的0.81度电相当于比普通冰箱少消耗的电能，即一台节能型冰箱在一个月中比普通冰箱要少消耗电：0.813024.3（度）；设一台节能型冰箱在一个月中比普通冰箱要少排放x千克的二氧化碳，则78.524.3100x24.378.519.075519.1100x（千克）.故一台节能型冰箱在一个月中比普通冰箱少向大气层排放约19.1千克的二氧化碳.（2）设n个月后(*Nn)，这些节能型冰箱少排放的二氧化碳可超过150棵大树在60年生命周期内所吸收的二氧化碳的量.依题意，有(1)19.075515015010002nn1104.8nn，因为*Nn，故可解得10n.所以，至少经过10个月后，这些节能型冰箱少排放的二氧化碳可超过150棵大树在60年生命周期内共吸收的二氧化碳的量.…3…6…10…1421.（本题满分14分，其中第1小题7分，第2小题7分）解：（1）因为cos2coscos2sin22BCAAA221312sin2sin2sin22222AAA故当1sin22A时，原式取到最大值，即三角形的内角3A时，最大值为32.（2）由（1）结论可得3A，此时2221cos22bcaAbc221bcbc.又222bcbc，因此2211bcbcbcbc，当且仅当bc时等号成立.所以1133sin12224ABCSbcA.故ABC△面积的最大为43.…2…5…7…9…12…14（理科）第6页，共10页22.（本题满分16分，理科：第1小题9分，第2小题7分；文科：第1小题3分，第2小题6分，第3小题7分）（理科）解：（1）设BC的中点为D，连结AD、DM，则有11ABCADBCDBCBBABCADBB为正三角形为中点平面11ADBBCC平面于是，可知AMD即为AM与侧面BCC1所成角.因为，点M到平面ABC的距离为BM，不妨设BMx，0,xh.在Rt△ADM中，tanADAMDMD.由32AD,222142xDMBDBM,故23tan14ADMDx.而当,64时，3tan,13，即2331314x221314922xx，所以，点M到平面ABC的距离BM的取值范围是2,22.（2）解法一：当6时，由（1）可知2BM,故可得32DM,223AMADDM.设向量AM与BC的夹角为，因为()AMBCABBMBCABBCBMBC111cos12002.所以132cos6||||31AMBCAMBC，…3…6…9…11…13…15故向量AM与BC夹角的大小为3arccos6.…16DABCA1B1C1M（理科）第7页，共10页解法二：如图，以11AC中点O为原点，1OB所在的直线为x轴，1OC所在的直线为y轴，OE所在直线为z轴（其中点E为AC中点），建立空间直角坐标系.由（1）可知，当6时，2BM.所以有，3,0,22Mh（），10,,2Ah（），3,0,2Bh（）,10,,2Ch，即31,,222AM（），31,,022BC（）.设向量AM与BC夹角为，则3cos=6AMBCAMBC故向量AM与BC夹角的大小为3arccos6.解法三：如图，过点M作MN//BC，交1CC于N.联结AN.因为是正三棱柱，故可得AMAN.当6时，由（