电动力学课后答案

--1第一章1．根据算符的微分性与矢量性推导下列公式uAeuAeuAeduAdduAduuAzuuAyuuAxuuAzAyAxAuAzueyuexueuududfuufufduudfufzuufufzyuufufyxuufufxduAduuAduAduuAududfufzyxuAAAAAAAAAAAAAABABABAABABBACBABABABBAACCBAACBBACACBABABAABBCACBACBABCcBABABAAAAAABABAABABBAzzyyxxzyxzyxzyxcccccccccc)()()2()(')()()(')(')()(')()(')()1()()()(,,2.)(21)()()()(2)()2()()()()()()()(,,,)()()()()(,,)()()()()(1)(21)()2()()()()()()1(222故故得解：的函数，证明：是空间坐标设所以：右边为：则左边为令上述公式中则得不再需要的符号将此两项相加，并弃去）（可得令又应用公式：）（结果可得令应用公式：常量表示相当的量应该看成此处）（）解：（--23333333300033332221')'(')1(;)'(')1(;)'(')1(1)'()1(;)'()1(;)'()1()(')'(';)'(';)'('])'()'()'([)'(;)'(;)'()()1(,)],sin([)()]sin([)(),()(,))((,)(,)()2()0(0')(0)(1'1)(')()''''(1')'()'()'(.3)()3(rrrrzzzrryyyrrxxxrrrrrzzzrryyyrrxxxrbrrrrzzzrryyyrrxxxrrrrzzeryyerxxerrzzzrryyyrrxxxraEkarkEfrkEeradracrbrarrrrrdrrcrrrrbrrrrazAeyAexAezAeyAexAerxxzzyyxxrduAduyuuAxuuAexuuAzuuAezuuAyuuAeyAxAexAzAezAyAeuAzyxzzyyxxzzyyxxxyzzxyyzxxyzzxyyzx解：均为常矢量及其中及求会对源变数求微商）证明下列结果，并体（为从源点指向场点的方向规定的距离，到场点为该点设--3;1)'(3'1;1)'(3'1;1)'(3'1)1()1()(010''')(3523352335232333333rrzzrzzzzrzrryyryyyyryrrxxrxxxxrxrrrrdrrrrzzryyrxxzyxeeerrczyx或0013])'()'()'[(3)1(3352222rrrrzzyyxxr即)cos()()cos()()cos()()cos()()sin()()cos()()cos()cos()cos()sin()()(;)'()'(;)'()'(;)'()'()'()'()'()()()'()'()'())((0)'()'()'()'()'()'()(3)'()'()'()'()'()'())(2(0000000000000rkEkrkkEkEerkkEkEerkkEkEerkEfrkEkrkEkrkEkrkEkrkEearaazazzazzazayayyayyayaxaxxaxxaxzzayyaxxaradaeaeaeaezzeyyexxzayaxaraceyxxxyyexzzzxxeyyyzzzrbzzzyyyxxxrzzeyyexxerayxxyzxzzxyzyyzxzzyyxxzzzzyyyyxxxxzyxzzyyxxzyxzyxzyxzyx4(1)应用高斯定理证明:--4svsssvvsvfsdfdvfsdafsdasdfadvfadvfaaafsdfdv)()()(点乘方程左边得是一个任意常矢量，以证：令(2)应用斯托柯斯定理证明：LssssLLLsldsdsdasdasdaldaldaaaldsd)()(点乘方程右边得是一个任意常矢量，以证：令5已知一个电荷系统的偶极矩定义为vdvxtxtp,,,),()(利用电荷守恒定律0tJ证明的变化率为vdvtxJdtpd,,),(解：vdvxtxtp,,,),()(,x与时间无关，取的)(tp一个分量为visiiviiviiviiviiiiviidvJsdJxdvJxdvJxdvJxdvtxxtpdttdpdvxtxtp,,,,,,,,,,,,,,,,,)()()(),()()(),()(考虑到积分区域的表面比电荷所在区域大得多时，表面上的电流为0。sdJxsii)(,=0所以viidvJdttdp,)(故得vdvtxJdtpd,,),(6若m是一个常矢量，证明除R=0点以外，矢量3RRmA的旋度等于标量3RRm的梯度的负值，即A其中R是坐标原点到场点的距离，方向由原点指向场点--5解：RmRmmRmRRmARmRRmA1)(1)()1()1()1(13m是常矢量，故0m0)1(mR且013RRR（R=0点除外）所以RmA1)(此外RmmRmRRmRmRmRmRRm1)()1()(11)()1()1(13比较两式结果可知A7有一内外半径分别为r1和r2的空心介质球，介质的介电常数为，使介质内均匀带静止电荷f，求（1）空间各点的电场（2）极化体电荷和极化面电荷分布解：（1）空间各点的电场由于自由电荷均匀分布在介质球内，电场具有球对称性分布，利用高斯定理可解得)(0)(3)()(3)(121303132303132rrrrrrrrrrrrrEff（3）极化体电荷和极化面电荷分布：在（)21rrr范围内存在极化体电荷pPpEEPre00)1(fE--6frpE)()1(00)(21rrr或fp)1(0在r=r2球面上的极化面电荷p2012)1()(2EnPPnrp)()1(3)()(3)()1(3)(2022313232313203231322rrrrrrrrrrrnrrrrEffrpf在r=r1的球面上的极化面电荷p000)(12,2,02,33,2,prrepEEPPPPn8内外半径分别为r1和r2的无穷长中空导体圆柱，沿向流有稳恒自由电流Jf，导体的磁导率为。求磁感应强度和磁化电流。解：沿中空倒替圆柱轴向流动的均匀自由电流Jf所产生的磁感应强度具有轴对称性，因而可应用安培环路定律求B三个不同区域的B可分别算出)(0)(2)()(2)(12132122321220rrrrrrrrrrrrrB现在计算磁化电流：ffrmMmMJJHJHMMJ)1()1(0磁化电流面密度为HnMnmMn是柱面外法线单位矢径当r=r2时，fMfJrrrrJrrrHH222122022212222)1(22当r=r1时0012MHH--79证明均匀介质内部的体极化电荷密度p总是等于体自由电荷密度f的)1(0倍解：在线性各向同性的均匀介质内部frrpDEEP)1()1()()1(0000010证明两个闭合的稳恒电流圈之间的相互作用力的大小相等方向相反，（但两个电流元之间的相互作用力一般并不服从牛顿第三定律）解：设有两个闭合的稳恒电流圈c,c’，如图示，两电流圈的各电流元的位置矢径',rr表示，则电流圈所受电流圈的作用力为：ccrrrrldIlIdF30')'(''4而电流圈c’所受电流圈c的作用力为'30'')'(''4cccrrrrlIdldIF令Rrr'则333333)'()'()]('[')'(')()'(RRldldldRRldRRldldRRldldldRRldRRldld故'3'33'0'33'0'330')00(0]''[4']''[4')'(')(4'ccscscccccccccFFRRRsdRRldsdRRldIIldRRldldRRldIIldRRldldRRldIIFF即若为两个电流元''ldI与lId之间作用力为：--82112332112302130120)'(')()(''4)''(4FdFdldRRldldRRld