(用)含绝对值不等式的解法

§2.4含绝对值不等式复习回顾：.00bcaccbabcaccbacbcaba，那么，如果；，那么，如果；，那么如果2.绝对值的意义：.0000时，当时，，当时，，当xxxxxx1.不等式的性质：？的解的几何意义是什么2.1x202？的解的几何意义是什么2.1x的解集意义求出能否利用绝对值的几何22)2)1.2xx202？的解的几何意义是什么2.1x的解集意义求出能否利用绝对值的几何22)2)1.2xx220202？的解的几何意义是什么2.1x的解集意义求出能否利用绝对值的几何22)2)1.2xx.22的点的集合小于数轴上到原点距离的几何意义：x220202？的解的几何意义是什么2.1x02的解集意义求出能否利用绝对值的几何22)2)1.2xx2.22的点的集合小于数轴上到原点距离的几何意义：x220202？的解的几何意义是什么2.1x02的解集意义求出能否利用绝对值的几何22)2)1.2xx2.22的点的集合大于数轴上到原点距离的几何意义：x.22的点的集合小于数轴上到原点距离的几何意义：x220202？的解的几何意义是什么2.1x}.|{)0(}|{)0(axaxxaaxaxaxaax或的解集为：，的解集为：一般地，问：为什么要加上a0这个条件呢？如果a0呢？a=0呢？._________)0(_________)0(_________)0(_________)0(的解集为；的解集为；的解集为；的解集为aaxaaxaaxaax结论：._________)0(_________)0(_________)0(_________)0(的解集为；的解集为；的解集为；的解集为aaxaaxaaxaaxΦ结论：._________)0(_________)0(_________)0(_________)0(的解集为；的解集为；的解集为；的解集为aaxaaxaaxaaxΦR结论：._________)0(_________)0(_________)0(_________)0(的解集为；的解集为；的解集为；的解集为aaxaaxaaxaaxΦRΦ结论：._________)0(_________)0(_________)0(_________)0(的解集为；的解集为；的解集为；的解集为aaxaaxaaxaaxΦR}0{xxΦ结论：湖南长郡卫星远程学校2009年下学期制作06例题分析例1(1)220x(2)42x的解法与)0(ccbaxcbax的解法与)0(ccbaxcbax38(2)2121)1(xx解下列不等式：[例2]类形去掉绝对值符号后解的含义区别|ax+b|ccax+bc{x|ax+bc}∩{x|ax+bc}|ax+b|cax+bc或ax+bc{x|ax+bc}∪{x|ax+bc}.43221(2)2134(1)xx；解下列不等式：【典例训练】1.不等式｜2x-3｜＞2的解集是______.2.不等式｜x2+3x-8｜＜10的解集是_______.【解析】1.由｜2x-3｜＞2得2x-3＞2或2x-3＜-2,解得x＞或x＜,故原不等式的解集是{x｜x＞或x＜}.答案：{x｜x＞或x＜}2.原不等式等价于-10＜x2+3x-8＜10,即⇒∴原不等式的解集是(-6,-2)∪(-1,3)答案：(-6,-2)∪(-1,3)52521212125222x3x810x3x810＞，＜x1x26x3＞或＜，＜＜，【典例训练】1.解不等式|x+1|+|x-1|≥3；【解析】1.方法一:如图,设数轴上与-1,1对应的点分别为A,B,（1）A,B两点间的距离为2,因此区间［-1,1］上的数都不是不等式的解.（2）设在A点左侧有一点A1到A,B两点的距离和为3,A1对应数轴上的x.所以-1-x+1-x=3,得x=-.（3）同理设B点右侧有一点B1到A,B两点的距离和为3，B1对应数轴上的x,所以x-1+x-(-1)=3.所以x=.3232从数轴上可看到，点A1，B1之间的点到A，B的距离之和都小于3；点A1的左边或点B1的右边的任何点到A，B的距离之和都大于3，所以原不等式的解集是(-∞,-］∪［,+∞).3232【方法二】（1）当x≤-1时,原不等式可以化为-(x+1)-(x-1)≥3,解得x≤-.（2）当-1＜x＜1时,原不等式可以化为x+1-(x-1)≥3,即2≥3.不成立,无解.（3）当x≥1时,原不等式可以化为x+1+x-1≥3.所以x≥.综上,可知原不等式的解集为{x|x≤-或x≥}32323232方法三:将原不等式转化为|x+1|+|x-1|-3≥0.构造函数y=|x+1|+|x-1|-3,即-2x-3，x≤-1,y=-1，-1x1,2x-3，x≥1.作出函数的图象(如图).函数的零点是-,,从图象可知当x≤-或x≥时,y≥0.即|x+1|+|x-1|-3≥0.所以原不等式的解集为(-∞,-］∪［,+∞).323232323232【典例训练】1.不等式｜2x-3｜＜3x+1的解集是_________.2.解关于x的不等式｜logaax2｜＜｜logax｜+2.(一)形如|f(x)|a,|f(x)|a(a∈R)型不等式解法：等价转化法，①当a0时，|f(x)|a⇒-af(x)a.|f(x)|a⇔f(x)a或f(x)-a.②当a=0时，|f(x)|a无解.|f(x)|a⇔f(x)≠0.③当a0时，|f(x)|a无解.|f(x)|a⇔f(x)有意义.常见题型解法归类湖南长郡卫星远程学校2009年下学期制作06(二)|x-a|+|x-b|≥c和|x-a|+|x-b|≤c型不等式的解法(1)利用绝对值不等式的几何意义求解.(2)以绝对值的零点为分界点,将数轴分为几个区间,利用“零点分段讨论”求解.(3)通过构造函数，利用函数的图象求解.(三)形如|f(x)|g(x),|f(x)|g(x)型不等式解法:等价转化法，即①|f(x)|g(x)⇔-g(x)f(x)g(x),②|f(x)|g(x)⇔f(x)g(x)或f(x)-g(x)(其中g(x)可正也可负).若此类问题用分类讨论法来解决，就显得较复杂.(四)形如a|f(x)|b(ba0)型不等式解法：等价转化法，即a|f(x)|b(0ab)⇔af(x)b或-bf(x)-a.(五)形如|f(x)|f(x),|f(x)|f(x)型不等式解法：绝对值的定义，即|f(x)|f(x)⇔x∈，|f(x)|f(x)⇔f(x)0.【熟能生巧】1.解不等式|x|+|x-3|≤5..方法一几何意义：是数轴上到0和3两点的距离之和不超过5的x的范围,结合数轴易得出-1≤x≤4,所以原不等式的解集为［-1,4］.方法二:原不等式|x|+|x-3|≤5可等价转化为或或解不等式组得-1≤x≤4.所以原不等式的解集为{x|-1≤x≤4}.x3xx35，，x0x3x5，0x3x3x5，【思考】求解此类不等式的关键是什么？提示：关键是理解绝对值的几何意义.【解析】1.解题流程.答案：(，+∞)审题转化|2x-3|3x+1由题意知3x+10,原不等式转化为-(3x+1)2x-33x+1求解结论以上不等式等价于2x33x12x33x13x102x52x4x51x32(,)5252.原不等式可化为｜1+2logax｜＜｜logax｜+2，两边平方得4(logax)2+4logax+1＜(logax)2+4｜logax｜+4，由定义去掉绝对值符号可得：(1)⇒0≤logax＜1.(2)⇒-3＜logax＜0,综上(1)(2)可知-3＜logax＜1,故当a＞1时，原不等式的解集为{x｜a-3＜x＜a}；当0＜a＜1时，原不等式的解集为{x｜a＜x＜a-3}.aaalogx012logxlogx2，＜a2aalogx03(logx)8logx30＜，＜【思考】解答题2的易错点是什么？提示：易错点是忽略分类讨论而导致错解.含参数的绝对值不等式的解法【技法点拨】含参数的不等式问题分类及解题策略(1)一类要对参数进行讨论，另一类对参数并没有进行讨论，而是去绝对值时对变量进行讨论，得到两个不等式组，最后把两不等式组的解集合并，即得该不等式的解集.(2)解绝对值不等式的基本思想是想方设法，去掉绝对值符号，去绝对值符号的常用手段有以下几种：①形如｜f(x)｜≤g(x)或｜f(x)｜g(x)的求解方法:(ⅰ)根据实数的绝对值的意义分类讨论，即|a|=；a(a≥0)-a(a0)(ⅱ)根据公式:|x|a⇔-axa(a∈R且a0)；｜f(x)｜g(x)⇔-g(x)f(x)g(x)；|x|a⇔xa或x-a(a∈R且a≥0)；｜f(x)｜g(x)⇔f(x)g(x)或f(x)-g(x).(ⅲ)根据|a|2=a2(a∈R)，若不等式两边非负,可在不等式两边同时平方,如｜f(x)｜≤｜g(x)｜⇔f2(x)≤g2(x).②若不等式中有两个或两个以上含有未知数的绝对值的项，一般用数形结合法(包括几何法、图象法)和区间讨论法.数形结合法是根据绝对值的意义在数轴上找对应满足题意的数，直接写出解集,或构造函数,画出图象,由图象直接写出未知数的取值范围,得出解集；区间讨论法是先求出每个含绝对值符号的代数式等于零的未知数的值，将这些值依次标在数轴上，这样数轴被分成若干个区间，这若干个区间内的不等式的解集的并集即为原不等式的解集.分段讨论时，注意不要遗漏分段的端点.【典例训练】1.设函数f(x)=|x-1|+|x-a|,如果对任意x∈R,f(x)≥2,则a的取值范围是_____.2.(2011·新课标全国高考)设函数f(x)=|x-a|+3x,其中a0.(1)当a=1时，求不等式f(x)≥3x+2的解集；(2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤-1}，求a的值.【解析】1.若a=1,则f(x)=2|x-1|,不满足题设条件.若a1,则f(x)=-2x+a+1,x≤a1-a,ax1,2x-(a+1),x≥1⇒f(x)的最小值为1-a.若a1,则f(x)=-2x+a+1,x≤1a-1,1xa2x-(a+1),x≥a⇒f(x)的最小值为a-1.综上可知，所求a的取值范围是(-∞,-1］∪［3,+∞).答案：(-∞,-1］∪［3,+∞)2.(1)当a=1时,f(x)≥3x+2可化为|x-1|≥2.由此可得x≥3或x≤-1.故不等式f(x)≥3x+2的解集为{x|x≥3或x≤-1}.(2)由f(x)≤0得|x-a|+3x≤0,将此不等式化为不等式组或即或因为a0,所以不等式组的解集为{x|x≤}.由题设可得=-1,故a=2.xaxa3x0，xaax3x0＜，，xaax4，xaax.2＜，a2a2【易错误区】绝对值不等式变形不等价致误【典例】不等式｜x+2｜-｜2x-1｜≥1的解集是_________.【解题指导】(ⅱ)(ⅲ)∴(ⅰ)无解，(ⅱ)的解集为0≤x＜,(ⅲ)的解集为≤x≤2.综上(ⅰ),(ⅱ),(ⅲ)取并集②，得原不等式的解集为［0，2］.答案：［0，2］12x2x22x11,＜1x2x22x11,1212【解析】原不等式等价于①(ⅰ)x2x22x11,＜【阅卷人点拨】通过阅卷后分析，对解答本题的常见错误及解题启示总结如下：(此处的①②见解析过程)【即时训练】函数