直线与圆方程例题(总结版)

1/17【考试大纲要求】1．理解直线的斜率的概念，掌握两点的直线的斜率公式．掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线的方程．2．掌握两条直线平行与垂直的条件和点到直线的距离公式；能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系．4．了解解析几何的基本思想，了解坐标法．5．掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程.6．掌握直线与圆的位置关系的判断方法，能利用直线和圆的位置关系解决相关问题.直线方程考察的重点是直线方程的特征值（主要是直线的斜率、截距）有关问题，可与三角知识联系；圆的方程，从轨迹角度讲，可以成为解答题，尤其是参数问题，在对参数的讨论中确定圆的方程．【基础知识归纳】1．直线方程（1）直线的倾斜角直线倾斜角的取值范围是：0180.（2）直线的斜率)90(tank.倾斜角是90°的直线没有斜率；倾斜角不是90°的直线都有斜率，斜率的取值范围是（－∞，+∞）.(3)直线的方向向量设F1（x1，y1）、F2（x2，y2）是直线上不同的两点，则向量21FF=（x2－x1，y2－y1）称为直线的方向向量向量121xx21FF=（1，1212xxyy）=（1，k）也是该直线的方向向量，k是直线的斜率.特别地，垂直于x轴的直线的一个方向向量为a＝(0,1).说明：直线的倾斜角、斜率、方向向量都是刻划、描述直线的倾斜程度的．每一条直线都有倾斜角和方向向量，但不是每一条直线都有斜率，要注意三者之间的内在联系．（4）直线方程的五种形式点斜式：)(00xxkyy，(斜率存在)斜截式：bkxy(斜率存在)两点式：121121xxxxyyyy，(不垂直坐标轴)截距式：1byax(不垂直坐标轴,不过原点)一般式：0CByAx.引申：过直线1111:0lAxByC,2222:0lAxByC交点的直线系方程为：111222()0AxByCAxByC（λ∈R）(除l2外)．2．两条直线的位置关系（1）直线与直线的位置关系存在斜率的两直线111:lykxb；222:lykxb.有：2/17①12ll12kk且12bb；②12ll121kk；③1l与2l相交12kk；0④1l与2l重合12kk且12bb.一般式的直线1111:0lAxByC,2222:0lAxByC.有①12ll12210ABAB；且12210BCCB;②12ll12120AABB;③1l与2l相交12210ABAB;④1l与2l重合12210ABAB；且12210BCCB（2）点与直线的位置关系若点00(,)Pxy在直线0CByAx上，则有000AxByC；若点00(,)Pxy不在直0CByAx上，则有000AxByC，此时点00(,)Pxy到直线0CByAx的距离为2200BACByAxd．平行直线10AxByC与20AxByC之间的距离为2221BACCd．（3）两条直线的交点直线1111:0lAxByC,2222:0lAxByC的公共点的坐标是方程11122200AxByCAxByC的解相交方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；平行方程组无解.重合方程组有无数解.3．曲线与方程4.圆的方程(1)圆的定义(2)圆的方程标准式：222()()xaybr，其中r为圆的半径，(,)ab为圆心．一般式：220xyDxEyF（2240DEF）.其中圆心为,22DE，半径为22142DEF参数方程:cossinxryr，cos(sinxarybr是参数）.消去θ可得普通方程5.点与圆的位置关系3/17判断点(,)Pxy与圆2()xa22()ybr的位置关系代入方程看符号.6.直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有：相离、相切和相交.有两种判断方法：（1）代数法：（判别式法）0,0,0时分别相离、相交、相切.（2）几何法：圆心到直线的距离,,drdrdr时相离、相交、相切.7．弦长求法（1）几何法：弦心距d，圆半径r，弦长l，则2222ldr．（2）解析法：用韦达定理，弦长公式.8．圆与圆的位置关系题型1：直线的倾斜角1．（07·上海）直线014yx的倾斜角．答案：4arctanπ解析：直线014yx可化为14xy，），（　2,4tank4arctanπ．题型2：直线的斜率2．（08·安徽卷）若过点(4,0)A的直线l与曲线22(2)1xy有公共点，则直线l的斜率的取值范围为（）A．[3,3]B．(3,3)C．33,33D．33,33答案：C解析：记圆心为(2,0)D,记上、下两切点分别记为BC、，则30BADCAD，∴l的斜率00tan150,tan30,k即33,33k.题型3直线的方程3．（07·浙江）直线210xy关于直线1x对称的直线方程是（）Ａ．210xyＢ．210xy4/17Ｃ．230xyＤ．230xy答案：D解析：(利用相关点法)设所求直线上任一点(x,y),则它关于1x对称点为(2-x,y)在直线210xy上,即0122yx，化简得答案D.题型4：直线与直线的位置关系4．（06·福建）已知两条直线2yax和(2)1yax互相垂直，则a等于()A．2B．1C．0D．1答案D解析：两条直线2yax和(2)1yax互相垂直，则(2)1aa，∴a=－1，选D.题型5：点与直线的位置关系5．（06·湖南）圆224xyx4100y上的点到直线014yx的最大距离与最小距离的差是()A．36B.18C.26D.25答案C解析：圆0104422yxyx的圆心为(2，2)，半径为32，圆心到直线014yx的距离为|2214|25232，圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是2R=62，选C.题型6：圆的方程6.(06·重庆)以点（2，－1）为圆心且与直线3450xy相切的圆的方程为（）A．22(2)(1)3xyB．22(2)(1)3xyC．22(2)(1)9xyD．22(2)(1)3xy答案C解析22|32415|34r－（－）＋＋＝3，故选C.5/1710.。（08·福建)若直线3x+4y+m=0与圆sin2cos1yx（为参数）没有公共点，则实数m的取值范围是.解析：将圆化成标准方程得1)2()1(22yx，圆心)2,1(，半径1r.直线与圆相离，∴143)2(41322m，∴55m，∴100mm或.题型7：直线与圆的位置关系7.（09•辽宁）已知圆C与直线x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的方程为（）A.22(1)(1)2xyB.22(1)(1)2xyC.22(1)(1)2xyD.22(1)(1)2xy答案B解析：圆心在x＋y＝0上,排除C、D,再结合图象,或者验证A、B中圆心到两直线的距离等于半径2即可.题型8：圆与圆的位置关系12．（07·山东）与直线xy20和曲线221212540xyxy都相切的半径最小的圆的标准方程是_____答案22(2)(2)2xy【解析】曲线化为22(6)(6)18xy，其圆心到直线20xy的距离为66252.2d所求的最小圆的圆心在直线yx上，其到直线的距离为2，圆心坐标为(2,2).标准方程为22(2)(2)2xy.【重点方法提炼】在解答有关直线的问题时，应特别注意的几个方面：（1）在确定直线的斜率、倾斜角时，首先要注意斜率存在的条件，其次要注意倾角的范围．（2）在利用直线的截距式解题时，要注意防止由于“零截距”造成丢解的情况.如题目条件中出现直线在两坐标轴上的“截距相等”“截距互为相反数”“在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上的截距的m倍（m＞0）”等时，采用截距式就会出现“零截距”，从而丢解.此时最好采用点斜式或斜截式求解．（3）在利用直线的点斜式、斜截式解题时，要注意防止由于“无斜率”，从而造成丢解.如在求过圆外一点的圆的切线方程时或讨论直线与圆锥曲线的位置关系时，或讨论两直线的平行、垂直的6/17位置关系时，一般要分直线有无斜率两种情况进行讨论．（4）有关圆的问题解答时，应注意利用圆的平面几何性质，如圆与直线相切、相交的性质，圆与圆相切的性质，这样可以使问题简化．（5）对独特的数学方法——坐标法要引起足够重视．要注意学习如何借助于坐标系，用代数方法来研究几何问题，体会这种数形结合的思想．（6）首先将几何问题代数化，用代数的语言描述几何要素及其关系，进而将几何问题转化为代数问题；处理代数问题；分析代数结果的几何含义，最终解决几何问题．这种思想应贯穿平面解析几何教学的始终．典型例题1.（2004年湖北，文2）已知点M1（6，2）和M2（1，7），直线y=mx－7与线段M1M2的交点M分有向线段M1M2的比为3∶2，则m的值为A.－23B.－32C.41D.4解析：设M（x，y），点M分M1M2所成比为λ=23.得x=231236=3，y=2317236=5.代入y=mx－7，得m=4.答案：D2.（2003年辽宁）在同一直角坐标系中，表示直线y=ax与y=x+a正确的是yxOAyxOByOCxyxOD解：根据a的符号和表示直线的位置特征，显见C正确，因为当a0时，y=ax表示过原点且下降的直线，y=x+a表示纵截距小于零且上升的直线.故选C.答案：C3.（2005年春季北京，6）直线x+3y－2=0被圆（x－1）2+y2=1所截得的线段的长为A.1B.2C.3D.2解析：圆心（1，0），r=1到直线x+3y－2=0的距离d=22)3(1|201|=21.则21弦长=23.∴弦长为3.7/17I1321-2-1SR3120xyGI44B1C1D1F1G1H1答案：C4.（2004年湖北，4）圆C1：x2+y2+2x+2y－2=0与圆C2：x2+y2－4x－2y+1=0的公切线有A.1条B.2条C.3条D.4条答案：B5.（2004年天津，理7）若P（2，－1）为圆（x－1）2+y2=25的弦AB的中点，则直线AB的方程是A.x－y－3=0B.2x+y－3=0C.x+y－1=0D.2x－y－5=0解：由（x－1）2+y2=25知圆心为Q（1，0）.据kQP·kAB=－1，∴kAB=－QPk1=1（其中kQP=1201=－1）.∴AB的方程为y=（x－2）－1=x－3，即x－y－3=0.答案：A6.已知两圆2210xy和22(1)(3)20xy相交于AB，两点，则直线AB的方程是．答案：30xy7．圆01222xyx关于直线032yx对称的圆的方程是（）Ａ．21)2()3(22yxＢ．21)2()3(22yxＣ．2)2()3(22yxＤ．2)2()3(22yx答案C8．圆心为(11)，且与直线4xy相切的圆的方程是．22(1)(1)2xy9．若x，y满足约束条件1122xyxyxy，目标函数2zaxy仅在点（1，0）处取得最小值，则a的取值范围是(A)（1，2）(B)（4，2）(C)(4,0](D)(2,4)答案：B解析：根据图像判断，当a=0时，显然成立；当a0时，直线ax+2y-z=0的斜率k=-a/2kAC=-1,a2;当a0时，k=-