《函数极限连续》PPT课件

第二节极限与连续一、数列极限的定义与性质二、函数的极限三、函数的连续性一、数列极限的定义与性质如果按照某一法则，对每一个正整数，对应着一个确定的实数xn，xn按下标由小到大排列得一序列就叫做无穷数列，简称数列，记做{xn}.数列中的每一个数叫做数列的项，第n项xn叫做数列的一般项（通项）.，，，，，nxxxx321数列极限的概念如果数列{xn}，当n无限增大时，数列{xn}的取值无限接近常数a，就称a是{xn}当n→∞时的极限，记作如果数列没有极限，称数列是发散的limnnxa，1.收敛数列{xn}的极限是唯一的2.收敛的数列一定有界，但有界的数列不一定收敛。3.无界数列必定发散4.收敛数列的极限有的可以达到，有的不能达到。例如，常数列可以达到它的极限。收敛数列的性质二、函数的极限1）自变量趋于无穷大时函数的极限如果函数()fx当x无限增大时，()fx取值和常数l要多接近就有多接近，此时称l是()fx当x时的极限，记作lim()xfxl．lim()xfx存在的充分必要条件是lim()lim()xxfxfx．2）自变量趋于有限值时函数的极限假定函数()fx在点0x的某个去心邻域内是有定义，如果在0xx的过程中，对应的函数值()fx无限接近于确定的数值A，那么就说A是函数()fx当0xx时的极限．记作0lim()xxfxA或()fxA(当0xx)．3）左、右极限（1）当自变量x小于0x而无限趋近于0x时，如果函数()fx的对应值无限趋近于一个确定的数A，那么A就叫做函数()fx当0xx时的左极限，记作0lim()xxfxA或0(0)fxA．（2）当自变量x大于0x而无限趋近于0x时，如果函数()fx的对应值无限趋近于一个确定的数A，那么A就叫做函数()fx当0xx时的右极限，记作0lim()xxfxA或0(0)fxA．定理函数()fx当0xx时极限存在的充分必要条件是左极限及右极限各自存在并且相等，即00(0)(0)fxfx．例证明函数10()0010xxfxxxx当x0时的极限不存在．证这是因为00lim()lim(1)1xxfxx00lim()lim(1)1xxfxx．00lim()lim()xxfxfx因此不存在．函数极限的性质性质1(函数极限的唯一性)如果极限0lim()xxfx存在，那么这极限唯一．性质2(函数极限的局部有界性)如果0lim()xxfxA，那么存在常数0M和0，使得当00xx时有()fxM．性质3(函数极限的局部保号性)如果0lim()xxfxA，而且0A（或0A），那么就存在着点0x的某一去心邻域，当x在该邻域内时，就有()0fx（或()0fx）．推论1如果在0x的某一去心邻域内()0fx（或()0fx），而且0lim()xxfxA，那么0A（或0A）．函数极限的运算1）无穷小、无穷大无穷小的定义在某一极限过程中（如0xx，x，n），以零为极限的变量称为该极限过程的无穷小量，简称无穷小．例如，因为1lim0xx所以函数1x为当x时的无穷小．无穷小与函数极限的关系定理在自变量的同一变化过程0xx（或x）中，函数()fx具有极限A的充分必要条件是()fxA，其中是无穷小．无穷小的运算性质性质1有限个无穷小的和也是无穷小．性质2有界函数与无穷小的乘积是无穷小．推论1常数与无穷小的乘积是无穷小．推论2有限个无穷小的乘积也是无穷小．无穷大如果01lim0()xxfx，即当0xx时1()fx是无穷小，则称当0xx时，()fx为无穷大．记为0lim()xxfx或0()()fxxx注当0xx(或x)时为无穷大的函数()fx极限是不存在的．为了便于叙述也说“函数的极限是无穷大”并记作0lim()xxfx(或lim()xfx)．如果()fx为无穷大，则1()fx为无穷小；反之，如果()fx为无穷小，且()0fx，则1()fx为无穷大．无穷小的比较设、是同一变化过程中的无穷小量，如果0lim，就说是比高阶的无穷小，记作0．如果lim，就说是比低阶的无穷小．如果0limc，就说是和同阶无穷小．如果00limkck，，就说是关于的k阶无穷小．如果1lim，就说与是等价无穷小，记作~．定理设~，~，且lim存在，则limlim．定理表明，求两个无穷小之比的极限时，如果用来代替的无穷小选取得适当，可使计算简化．例求30sinlim3xxxx．解当0x时sin~xx所以332000sin11limlimlim3333xxxxxxxxxx．2）极限的四则运算法则设0lim()xxfxA和0lim()xxgxB，则（1）000lim()()lim()lim()xxxxxxfxgxfxgxAB；（2）000lim()()lim()lim()xxxxxxfxgxfxgxAB，00lim()lim()xxxxCfxCfxCA，00lim()lim()nnnxxxxfxfxA；（3）000lim()()lim(0)()lim()xxxxxxfxfxABgxgxB．．例求3221lim53xxxx．解3322222lim(1)1lim53lim(53)xxxxxxxxx3222222limlim1lim5limlim3xxxxxxxx3222(lim)1(lim)523xxxx3221721033．3）两个准则准则I如果数列{}{}nnxy、及{}nz满足下列条件：（1）(123...)nnnyxzn，，，（2），，azaynnnnlimlim那么数列{}nx的极限存在，且axnnlim．准则I如果函数()fx、()gx及()hx满足下列条件(1)0(0)M，当00||(||)xxxM时，有()()()gxfxhx(2)lim(),lim();gxAhxA那么lim()fx存在，且lim().fxA．定义满足条件1321nnxxxxx，称数列{}nx是单调增加的；满足条件1321nnxxxxx，称数列{}nx是单调减少的．统称为单调数列．准则II单调有界数列必有极限准则II的几何解释：单调增加数列的点只可能向右一个方向移动，或者无限向右移动，或者无限趋近于某一定点A，而对有界数列只可能后者情况发生．4）两个重要极限0sinlim1xxx，1lim1xxex（或ennn11lim，10lim(1)xxxe），第二个重要极限的三种形式也可统一为模型1()()0lim(1())xxxe，成立的条件是在给定趋势下，两个()x是一模一样的无穷小量．例1求极限1lim(1)xxx．解令tx则x时t．于是1lim(1)xxx1lim(1)ttt11lim1(1)ttet．例2求0tanlimxxx．解0tanlimxxx0sin1limcosxxxx00sin1limlim1cosxxxxx．连续函数的概念1）增量的概念设变量t从一个初值1t变到终值2t，增量21ttt．函数()yfx自变量x从0x变到0xx时，函数y相应地从0()fx变到0()fxx，函数y的对应增量为00()()yfxxfx．三、函数的连续性2）连续的定义定义1设函数()yfx在点0x的某一邻域内有定义，如果0lim0xy，称函数()yfx在点0x连续．等价定义如下.定义1′设函数()yfx在点0x的某一邻域内有定义，如果函数()fx当0xx时的极限存在，且等于它在点0x处的函数值0()fx，即00lim()()xxfxfx，那么就称函数()yfx在点0x连续．3）左连续、右连续的定义如果000lim()(0)xxfxfx存在且等于0()fx，即00(0)()fxfx，则称函数()fx在点0x左连续．如果000lim()(0)xxfxfx存在且等于0()fx，即00(0)()fxfx，则称函数()fx在点0x右连续．函数()yfx在点0x处连续的函数()yfx在点0x处左连续且右连续．;)()1(0处有定义在点xxf;)(lim)2(0存在xfxx).()(lim)3(00xfxfxx).()(),()(,00或间断点的不连续点为并称点或间断处不连续在点函数则称要有一个不满足如果上述三个条件中只xfxxxf函数的间断点如果函数()fx在点0x处不连续，则称点0x为()fx的间断点.函数()fx在点0x处连续必须满足的三个条件：1.可去间断点.)()(),()(lim,)(00000的可去间断点为函数义则称点处无定在点或但处的极限存在在点如果xfxxxfxfAxfxxfxx例.1,1,11,10,1,2)(处的连续性在讨论函数xxxxxxxfoxy112xy1xy22.跳跃间断点.)(),0()0(,,)(0000的跳跃间断点为函数则称点但存在右极限都处左在点如果xfxxfxfxxf例.0,0,1,0,)(处的连续性在讨论函数xxxxxxf解,0)00(f,1)00(f),00()00(ff.0为函数的跳跃间断点xoxy解,1)1(f,2)01(f,2)01(f2)(lim1xfx),1(f.0为函数的可去间断点x注意可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义,则可使其变为连续点.跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.特点.0处的左、右极限都存在函数在点x3.第二类间断点.)(,)(00的第二类间断点为函数则称点在右极限至少有一个不存处的左、在点如果xfxxxf例.0,0,,0,1)(处的连续性在讨论函数xxxxxxf解oxy,0)00(f,)00(f.1为函数的第二类间断点x.断点这种情况称为无穷间例.01sin)(处的连续性在讨论函数xxxf解xy1sin,0处没有定义在x.1sinlim0不存在且xx.0为第二类间断点x.断点这种情况称为的振荡间注意不要以为函数的间断点只是个别的几个点.连续函数的运算定理1设函数()fx和()gx在点0x连续，则函数()()fxgx，()()fxgx，)()(xgxf(当0()0gx时)在点0x也连续．定理2单调连续函数的反函数是单调连续的．定理3设函数()ux当0xx时的极限存在且等于a，即0lim()xxxa，而函数()yfu在点au连续，那么复合函数()yfx当0xx时的极限也存在且等于()fa，即00lim()lim()()xxxxfxfxfa．定理3表明，求复合函数()yfx的极限时，函数符号f与极限符号可以交换次序．定理4设函数()ux在点0xx连续，且00()xu，而函数()yfu在点0uu连续，那么复合函数()yfx在点0xx也是连续的．初等函数的连续性一切初等函数在其定义区间内都是连续的()fx是初等函数，且0x是()fx的定义区间内的点，则00lim()()xxfxfx．例求2lim21xxex．解初等函数()21xefxx在点02x是有定义的，所以22lim.215xxeex定