电像法

电像法--静态场边值型问题的解法作者：姚晓龙（0710278）一、什么是电像法?基本原理:用放置在所求场域之外的假想电荷（即像电荷）等效的替代导体表面（或介质分界面）上的感应电荷（或极化电荷）对场分布的影响，从而将求解实际的边值问题转换为求解无界空间的问题。理论依据:唯一性定理——给定各带电体的几何形状、相互位置和下列条件之一：（1）每个导体的电势；（2）每个导体上的总电量；空间里电场的恒定分布被唯一确定。电像法的发明者——开尔文英国著名物理学家、发明家，原名W.汤姆孙。他是本世纪的最伟大的人物之一，是一个伟大的数学物理学家兼电学家。1848年他发明了电像法，这是计算一定形状导体电荷分布所产生的静电场问题的有效方法。他被看作英帝国的第一位物理学家，同时受到世界其他国家的赞赏。他的一生获得了一切可能给予的荣誉。而他也无愧于这一切，这是他在漫长的一生中所作的实际努力而获得的。这些努力使他不仅有了名望和财富，而且赢得了广泛的声誉。LordKelvin（1824-1907）二、点电荷对平面的电像题目:在无限大地接导体平面（YOZ平面）上方有一点电荷q，距离导体平面的高度为h。分析:用位于导体平面下方h处的镜像电荷-q代替导体平面上的感应电荷，边界条件维持不变，即YOZ平面为零电势等势面。解题：去掉导体平面，用原电荷和镜像电荷求解导体上方区域场（注意不能用原电荷和镜像电荷求解导体下方区域场）。电势：电场强度：其中，感应电荷：电场力：三、无限长单导线对平面的电像题目：与地面平行的无限长的直导线，半径为a，离地高度为h。分析：用位于地面下方h处的镜像直导线代替地面上的感应电荷，边界条件维持不变。解题：将地面取消而代之以镜像直导线（所带电荷的电荷密度为）电势：对地电容：四、点电荷对接地导体球的电像题目：半径为a的接地导体球，在与球心相据的一点电荷。分析：在导体球内，距离球心处的点处置一镜像电荷来代替导体球上的感应电荷，边界条件维持不变，即导体球面为零等势面。解题：去掉导体球，用原电荷和镜像电荷求解导体球外区域场（注意不能用原电荷和镜像电荷求解导体球内区域场）。求解镜像电荷的大小和位置：将原导体球移去，及像电荷在原球面上任一点P处产生的电势应为零，即我们在球面上取通过的直径的两端点，对于这两点的电势为以上两方程解得求解电势、电场强度、感应电荷：的表达式表示对于球面上任一点P，与是相似三角形，即，于是球外任意一点的电势为采用球坐标，取原点为球心O点，z轴与轴重合，则球外任一点处有这样可求得电场的分量为r=a时球面上的感应电荷密度为五、线电荷对导体圆柱的镜像题目：半径为a的接地导体圆柱外有一条和它平行的线电荷，密度为，与圆柱轴相距为。分析：用位于导体圆柱内，距离圆柱轴线处的镜像线电荷代替导体圆柱上的感应电荷，边界条件维持不变，即导体圆柱面为零等势面。解题：去掉导体圆柱，用原线电荷和镜像线电荷求解导体圆柱外区域场（注意不能用原电荷和镜像电荷求解导体圆柱内区域场）。求解镜像电荷的大小和位置：在圆周上取两点（通过镜像电荷的直径的两端点），因为圆柱接地，它们的电势必须为零，即代入的关系后，上面两方程解得求解电势：圆柱外任一点的电势为其中、分别是、到场点的距离。六、问题总结电像法是就等效替代吗？计算“像电荷”通常只取导体表面几个点计算使其电势相等，研究了一番后，我发现电像在导体内是不成立的，也就是不等效，这样像电荷就不能完全代替感应电荷，即电像只在导体外和感应电荷是等效的。镜像电荷就是镜像对称的电荷吗？与实物电荷量相等但符号相反并呈镜像对称,只适用于无限大平面的问题,其实电像法的目的就是要凑出若干个点电荷代替在分界面的感应电荷描述所在空间的电势或电场分布，这符合唯一性定理。给定几何形状的导体，就是要凑出若干个点电荷使得分界面等势。