第一章-函数、极限与连续

总成绩期末考成绩（60%）平时成绩（40%）出勤（25）作业（10）课堂表现（5）1、旷课1次，扣5分；本学期旷课累计达3次及以上者，总成绩按不及格处理。2、本学期每人交6-8次作业。第一章函数、极限与连续第一节函数第二节初等函数第三节常用经济函数第四节极限的概念第五节极限的运算第六节无穷小与无穷大第七节函数的连续性第一节函数１.数的扩展自然数—整数—有理数—实数（1）自然数N0、1、2、3、4……（2）整数Z-2、-1、0、1、2……（3）实数R①有理数Q：整数和分数的统称，包括有限小数和无限循环小数。②无理数：无限不循环小数，如圆周率π、自然对数的底e。（4）虚数I：平方是负数的数。如x2+1=0，x=i.（5）复数：由实数和虚数组成的数。如a+bi一、实数与区间定义介于某两个实数之间的全体实数称为有限区间，这两个实数叫做区间的端点.（1）有限区间①开区间（a,b）={x|axb}②闭区间[a,b]={x|a≤x≤b}③半开半闭区间(a,b]={x|ax≤b}（2）无限区间：含有-∞或+∞的区间。2、区间（1）定义设a与δ是两个实数，且δ0，数集{x|a-δxa+δ}称为点a的δ邻域，记为U（a,δ）={x|a-δxa+δ}={x||x-a|δ}其中，点a叫做该邻域的中心，δ叫做该邻域的半径。（2）a的去心的δ邻域，记为U（a,δ）={x|0|x-a|δ}3、邻域１.函数的定义1,.00DDxfyyDxy=f(x)xDxDMxyx定义设是一个数集,如果对属于的每一个数,按照某个对应关系,都有确定的数值与之对应,则称是定义在数集上的的函数,记作,叫作自变量,数集叫作函数的定义域,当取遍中的一切数时,与它对应的函数值的集合叫作函数的值域.当自变量取某一数值时函数具有确定的对应值,则称函数在有定义二、函数的概念xDyM如果对每一个,都有惟一的与之对应,那么称这种函数为单值函数.否则为多值函数.通过函数定义,可以发现,构成函数的两个重要因素为对应关系与定义域.显然,两个函数只有当它们的定义域和对应关系完全相同时,这两个函数才认为是相同的.2()lg()2lgfxxgxx例与是否为同一函数？2.函数的定义域s=vtt定义域是构成函数的重要因素之一,因此研究函数,就必须注意函数的定义域.例如,匀速直线运动的位移,是时间,故只能在考虑实际问题时,应根据问题的实际意义确定定义域.对于用数学表示的函数,其定义域由函数表达式本身来确取非负数.即使运算定,有意义.1.函数中有分式,要求分母不能为零；2.函数中根式,要求负数不能开偶次方；3.函数中有对数式,要求真数必须大于零；4.函数中有三角函数和反三角函数式,要求符合它们定义域；5.若函数式是上述各式的混合式,则应取各部分定义域的交集。例1求下列函数的定义域21(1)2;4yxx1(2)lg;2xyx1(3)arcsin1.3xyx0,2.20,2,).xxxx2(1)因为4-所以又因为所以因此函数定义域为(-2,2)(2,+解x-10x2x1x-2(2)因为,所以或,所以函数定义域为(-,1)(2,+)2.xxx+1(3)因为-11,所以-3+13,即-430,1,1,2xx又因为+1所以因此函数的定义域为.3.函数与函数值的记号y=f(x)F(x)xy(x)通常,y是x的函数,记为,但若同一问题中,需要讨论几个不同的函数,就要使用不同的函数记号,例如,,(),,......000y=f(x)x=xDy=f(x)函数,当时,对应的函数值可以记为.4,2,,.affff(a)aa+bf(ab)a+b|-4||-2||-2|解(2)=0,(-2)=(0)==-11+1|-2|+=+1,|x-2|f(x)=f(2),f(-2),f(0),f(a),f(a+b).x1例2若求4.函数的表示方法表示函数的方法,最常用的有以下三种:(1)表格法如对数表,三角函数等;(2)图像法用图像表示函数;ay=xyx(3)公式法(解析法)用数学表达式表示自变量与因变量之间的关系，如,=sin等;①显函数y=x+1②隐函数lny=sin(x+y)③分段函数在不同的区间内用不同的式子来表示的函数称为分段函数，即用几个式子合在一起表示一个函数.求分段函数的函数值时，应将自变量的值代入相应范围的函数表达式进行计算.f(x)图1-1分段函数图形34yx(4,2)yx(3,3)2O,0,00();xxxxf(x)xfxxxf(x)=-x例如,函数=是定义在区间(-,+)内的一个函数.当时当0时,.它的图形如图所示.1-1(4)42;(3)ff-(-3)=3.1.函数的奇偶性三、函数的几种特性,f(x)xf(-x)=-f(x)f(x)(1)如果函数的定义域关于原点对称,且对任意都有则称为奇函数;f(x)(3)如果函数既非奇函数,也非偶函数,则称为非奇非偶函数.f(x)xf(-x)=f(x)f(x)(2)如果的定义域关于原点对称,且对任意,都有,则称为偶函数.,y奇函数的图形关于原点对称偶函数的图形关于轴对称,如图1-2所示.(,())xfx()a奇函数()fxA(.())xfx()yfxOxx'Axy()yfx()b偶函数xxO'A(,())xfx()fx()yfxA(.())xfxxy图1-2奇函数与偶函数的图形2f(x)(x+x+1)例3判断函数=ln的奇偶性.21ln(1)f(-x)(-x)(-x)xx2解因为=ln+2222(1)(1)1ln11xxxxxxxx=ln2121)ln(1)()xxxxfx=ln(21)f(x)xx所以=ln(为奇函数.2.函数的单调性2121212(),,()()(()()),()yfxa,bxa,bxxxxfxfxfxfxfxa,ba,bf(x)1如果函数在区间()内随着的增大而增大(或减少),即对于()内任意两及当时有或则称函数在区间()内单调增加(或单调减少).在定义域内单调增加或单调减少的函数,统称单调函数,其中()叫作函数的单调增加(或单调减少)区间,也称单调区间.单调增加(或单调减少)函数的图形沿轴的正向上升(或下降).x12211211021xxf(x)f(x)xxxx12f(x)f(x)所以1,()(0,1)fxx根据函数单调减少的定义可知在区间内是单调减少的函数.1f(x)x例4证明=在区间(0,1)内是单调减少的函数.证21212(0,1),,1,0.xxxxxx1在区间内任取两点设0则因为3.函数的周期性,()()(),.(),,2,3,,lfxlfxfxf(x)lfxlllnl如果有不为零的实数存在使得在的定义域内恒成立则称函数为周期函数称是的周期显然也是它的周期通常所说的函数的周期是指最小正周期.,ll一个以为周期的函数它的图形在定义域内每隔长度相邻区间上,都有相同的形状,如图1-5所示.l图1-5以为周期的函数图形Oxyl()yfx()fxl()fx()fxl(2)fxlxlxxl4.函数的有界性上述定义也适用于闭区间和无穷区间.,()(,);f(x)a,bMa,bxf(x)f(x)MfxabMf(x)a,b设函数在区间()内有定义,如果存在一个正数,使得对于区间()内的一切值,对应的函数值都有成立则称在区间内有界如果不存在这样的正数,则称在区间()内无界.,()(,),(,)(7).yfxababyM显然如果函数在区间内是有界的则它的图形在内必介于两平行线之间见图1yyf(x)图1-7函数=图形aMOMbx()yfx四、函数关系的建立实际问题数学模型假设简化预测/解释数学结论分析翻译计算指导检验研究例5某地出租车收费的标准为：3公里以内8元；超过3公里后，超过部分每公里1.5元；超过5公里后，超过部分每公里2.25元。（1）请写出乘坐出租车路程x公里与收费y元之间的函数关系式。（2）当路程为12公里时，收费为多少？例6用铁皮做一容积为V的圆柱形罐头筒，试将它的表面积表示为底半径的函数，并求定义域.解2,22.rShVhSrrh2设罐头筒的底半径为,表面积为,且其高为,根据体积公式和面积公式有:=r2222,VVhhSrrhr2由=r得=代入可得2VSrr2=2Sr这就是罐头筒的表面积与底半径的函数关系,其定义域为(0,+).图1-8例7示意图hr从上面的例子可以看出，建立函数关系时，首先要弄清题意，分析问题中哪些是变量，哪些是常量；其次，分清变量中哪个应作为自变量，哪个作为函数，并用习惯的字母区分它们；最后，把变量暂固定，利用几何关系、物理定律或其他知识，列出变量间的等量关系式，并进行化简，便能得到所需要的函数关系。找出函关系式后，一般还要根据题意写出函数的定义域。第二节初等函数一、反函数二、基本初等函数幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数三、复合函数四、初等函数1()()yfxyfxy=x函数的图形与其反函数的图形关于直线对称.一、反函数1.()()(),y=f(x)DyDxyf(x)=yyxxyxfyyfxWD定义设函数,其定义域为,值域为W,对于值域W中的任一数值，在定义域上至少可以确定一个数值与对应,且满足关系式如果把作为自变量，作为函数，则由上述关系式可确定一个新的函数=或，这个新函数称为函数的反函数它的定义域为,值域为.1,,().xyyfx习惯上自变量用表示因变量用表示，所以反函数常表示为解2xxeey例6求函数=的反函数,并写出它的定义域.2,210,2xxxxeeyeye因为=所以2224412yyyyx则e20,1,xxeeyy由于故取(1)2xy+y+于是=ln12()ln(1),.fxxxR所以所求反函数定义域为二、基本初等函数1、幂函数(1=1,2,3-12yx是任意实数），其定义域要依据的取值而定。通常，，是比较常用的。2、指数函数(0,1-+xyaaaa为常数，且），其定义域为（，）。11xxayaaya当时，指数函数单调增加；当0时，指数函数单调减少。-xxyayay与的图形关于轴对称。3、对数函数log(0,10+xayayxaaa指数函数的反函数称为对数函数，记为为常数，且），其定义域为（，）。1log1logaaayxayx当时，对数函数单调增加；当0时，对数函数单调减少。ln.eyx以为底的对数函数叫做自然对数函数，记为4、三角函数（1）正弦函数（2）余弦函数sin,-+.yxl定义域（，），值域[-1,1].奇函数,=2cos,-+.yxl定义域（，），值域[-1,1].偶函数,=2（3）正切函数（4）余切函数tan,-|./2,+ xxkkZyxl，值域（，）.奇函数,域=定义cot,- |,+.xxkkZyxl，值域（，）.奇函数,定=义域（5）正割函数（6）余割函数 |,-[1+1sec,s2coyxxxkkZx定义域，值域（，-1],.偶函数,T=2）. |,1csc,sin-+xxkkxxZy定义域，.值域（，-奇函数,T1[1,）=2].余割函数sin-];22cos0];tan-);22cot0).yxyxyxyx通常正弦函数取单调区间[，余弦函数取单调区间[，正切函数取单调区间(，余切函数取单调区间(，5、反三角函数由于三角函数都不是单调函数，为了得到它们的反函数，通常将三角函数限定在某个单调区间内讨论。（1）反正弦函数（2）反余弦函数（3）