流体力学连续性方程的证明

连续性方程的证明.如图所示，在流场中任取一点M，其在直角坐标系中的位置为（x,y,z)，以M点为中心取一微元六面体，六面体的边长dx,dy,dz分别平行于坐标轴。在x轴方向，dt时间内，通过表面EFGH流入的质量是：dydzdtdxxdxx22由表面ABCD流出的质量是dydzdtdxxdxx22在dt时间内沿X轴方向净流入的质量为：dxdydzdtxu)(同理，在y方向和z方向上，时间内通过表面净流入的质量分别为：dxdydzdty)(dxdydzdtzw)(dxdydzdtzwyxu)()()(则在dt内通过该微元六面体的净流入的质量为：该六面微元体原来的总质量为dxdydz经过时间dt后，平均密度变为dxdydzdttdt时间内，六面体因密度变化引起的总质量变化为dxdydzdtt根据质量守恒定理有：dxdydzdttdxdydzdtzwyxu)()()(两边同时除以dxdydzdt后得到0)()()(zwyxut0zwyvxudtd对于不可压缩流体，0dtd于是，上式变为：0zwyvxu上式为微分形式的做定常流动的流体连续性方程，其简单形式如下：如图，沿流道任取两个过流断面，1为流入断面，2为流出断面，根据质量守恒定理，则断面1上流入的流体质量，应等于断面2上流出的流体质量，即是：CuAuA21若是不可压缩的均质流体，则其做定常流动的连续性方程为:C2211AuAu