信号与系统实验五-连续线性时不变系统分析

1信号与系统实验报告课程名称：信号与系统实验实验项目名称：连续线性时不变系统分析专业班级：姓名：学号：完成时间：年月日2一、实验目的1．掌握连续LTI系统的单位冲激响应、单位阶跃响应和任意激励对应响应的求解方法。2．掌握连续LTI系统的频域分析方法。3．掌握连续LTI系统的复频域分析方法。4．掌握连续LTI系统的时域、频域和复频域分析方法的相互转换。二、实验原理1．连续LTI系统的时域分析(1)连续线性时不变系统的描述设连续线性时不变系统的激励为)(te，响应为)(tr，则描述系统的微分方程可表示为()()00()()nmijijijartbet为了在Matlab编程中调用有关函数，我们可以用向量a和b来表示该系统，即],,,,011aaaann[a],,,,011bbbbmm[b这里要注意，向量a和b的元素排列是按微分方程的微分阶次降幂排列，缺项要用0补齐。(2)单位冲激响应单位冲激响应)(th是指连续LTI系统在单位冲激信号)(t激励下的零状态响应，因此)(th满足线性常系数微分方程(5.1)及零初始状态，即()()00()()nmijijijahtbt，()(0)0,[011]khk,,,n-按照定义，它也可表示为)()()(tthth对于连续LTI系统，若其输入信号为)(te，冲激响应为)(th，则其零状态响应()zsyt为()()()zsytetht3可见，)(th能够刻画和表征系统的固有特性，与何种激励无关。一旦知道了系统的冲激响应)(th，就可求得系统对任何输入信号)(te所产生的零状态响应()zsyt。Matlab提供了专门用于求连续系统冲激响应的函数impulse()，该函数还能绘制其时域波形。(3)单位阶跃响应单位阶跃响应()st是指连续LTI系统在单位阶跃信号)(tu激励下的零状态响应，它可以表示为()()()()tstuththdMatlab提供了专门用于求连续系统单位阶跃响应的函数step()，该函数还能绘制其时域波形。(4)任意激励下的零状态响应已经知道，连续LTI系统可用常系数线性微分方程(5.1)式来描述，Matlab提供的函数lsim()能对上述微分方程描述的连续LTI系统的响应进行仿真，该函数不仅能绘制指定时间范围内的系统响应波形图，而且还能求出系统响应的数值解。其调用格式有lsim(b,a,x,t)y=lsim(b,a,x,t)：只求出系统的零状态响应的数值解，而不绘制响应曲线需要特别强调的是，Matlab总是把由分子和分母多项式表示任何系统都当作是因果系统。所以，利用impulse(b,a)，step(b,a)，lsim(b,a,x,t)函数求得的响应总是因果信号。（5）任意激励下的全响应线性系统的全响应()yt可以分解为自由响应（齐次解）和强迫响应（特解），也可以分解为零输入响应和零状态响应，即()()()()()hpzizsytytytytytMatlab提供了专门用于求连续系统全响应的函数dsolve()，其调用格式有dsolve(‘eqn1’,’eqn2’,…):解符号形式的微分方程，输入参数可以是n个微分方程，也可以是初始条件。值得注意的是，无论是输入参数还是输出参数都是符号形式的变量。例5-1描述某线性时不变系统的微分方程为)(2)(')(2)('3)(''tftftytyty且2(),(0)1,'(0)1fttyy；试求系统的全响应，并指出其零输入响应、零状态响应自由响应与强迫响应。通过解微分方程得到的全响应为2连续LTI系统的频域分析（1）系统的频率响应所谓频率响应（Frequencyresponse），是指系统在正弦信号激励下的稳态响应随频率变化的情况，包括响应的幅度随频率的变化情况和响应的相位随频率的变化情况两个方面。)(瞬态响应自由响应零输入响应零状态响应2222()22232222tttttyttteeeeett，（稳态响应）强迫响应0t4连续LTI系统的时域及频域分析对应关系如图5-5所示。图5-5连续LTI系统的时域及频域分析对应关系上图中e(t)、r(t)分别为系统的时域激励信号和响应信号，h(t)是系统的单位冲激响应，它们三者之间的关系为：()()*()rtxtht，由傅里叶变换的时域卷积定理可得到：()()()RjEjHj（5.9）或者：()()()RjHjEj（5.10）()Hj为系统的频域数学模型，它实际上就是系统的单位冲激响应h(t)的傅里叶变换。即()()jtHjhtedt（5.11）由于()Hj实际上是系统单位冲激响应h(t)的傅里叶变换，如果h(t)是收敛的，那么()Hj一定存在，而且()Hj通常是复数，因此，也可以表示成复数的不同表达形式。在研究系统的频率响应时，更多的是把它表示成极坐标形式：()()()jHjHje（5.12）（2）系统响应的频域求解方法对于一个系统，其频率响应为()Hj，其幅频响应和相频响应分别为(j)H和()，如果作用于系统的信号为0()jtete，则其响应信号为00000()(())000()()()()jtjjtjtrtHjeHjeeHje若输入信号为正弦信号，即0()sin()ett，则系统响应为00000sin(()()|()|sin(()))rtHjHjtt可见，系统对某一频率分量的影响表现为两个方面，一是信号的幅度要被()Hj加权，二是信号的相位要被()移相。若输入为周期信号，周期信号总可以展开成一系列的正弦信号的和的形式或者是一系列的虚指数信号的和的形式，周期信号展开式中的每次谐波所产生的响应都可由式（5.13）、系统LTI)(th()Hj()rt()Ej()Rj()et5（5.14）求出，总响应是基波和谐波产生的响应的和。若输入为非周期信号，可以先求得输入信号的频谱()Fj和系统的频率响应()Hj，由输入信号所产生的响应的频谱为()()()YjFjHj，再求傅里叶反变换即得响应()yt。（3）信号的无失真传输输入信号是门函数，输出信号与输入信号并不相同，即信号在传输的过程中发生了失真。线性系统引起的失真有两种：一种是幅度失真，信号通过系统时各频率分量产生不成比例的衰减或增大；一种是相位失真，即系统对各频率分量的相移不与频率成正比。所谓无失真是指响应信号与激励信号相比，只有幅度大小和出现时间先后的不同，而没有波形上的变化。由于通过系统的信号不可避免的会发生时延，无失真传输要求时延是常数。设输入信号为)(tf，那么经过无失真传输，输出信号应为：()()dytKftt(5.15)即输出信号的幅度是输入信号幅度的K倍，而且比输入信号延时了dt秒。从时域角度出发，信号无失真传输的条件为：()()dhtKtt(5.16)从频域的角度出发，信号无失真传输的条件为：dtKjH)()((5.17)(5.17)式表明为了做到无失真传输，频响函数必须具备以下两个条件：1）要求系统在全部频率范围(,)内为常数，即系统的通带应为无穷大；2）要求系统的相频特性应为通过原点的直线，即)(在整个频率范围内与成正比。三、实验内容1．实验图所示为一RLC串联电路，已知R=5欧，L=1H，C=1/6F。()itLRC()sVt()cVt1）请用MATLAB绘制出该系统的单位冲激响应和单位阶跃响应的6波形；２）当输入信号ｕｔ=0.5e^-2t时，请画出该系统的零状态响应波形；３）当电阻R分别为4欧、2欧、0.8欧、0.4欧时，观察他们的波形，并对波形的变化作出解释。78随着R的减小，信号幅频特性、相频特性逐渐不稳定。波形出现波动，2.绘出实验图所示系统的幅频响应和相频响应特性曲线，并讨论随着R的变化，幅频响应的变化规律。3.给出实验图所示系统的零极点分布图，并讨论随着R的变化，系统稳定性的变化。9随着R的增大，零极点出现在左半平面，系统逐渐稳定。四、思考题1．如何根据系统的幅频特性计算出系统的截止频率？低通信号的幅频特性图中，最高频率一般就是截止频率，也有用半功率点作为截止频率的。2．如何根据系统对单位阶跃信号的时间响应特性确定系统的上升时间？上升时间指响应从终值10%上升到终值90%所需的时间。10五、实验结论1.MATLAB可以对连续时不变系统进行时域分析，频域分析，复频域分析。2.随着R的增大，零极点出现在左半平面，系统逐渐稳定。六、实验体会MATLAB可以进行连续时不变系统进行时域分析，频域分析，复频域分析，绘制函数。我们通过在MATLAB上的实验操作，可以更深地理解连续时不变系统的特性，更加熟练掌握其应用。