高中数学竞赛模拟题(十六套)

模拟试题一2010年全国高中数学联赛模拟试题武钢三中岑爱国一试一、填空题（每小题８分，共６４分）1．方程2．如图，在=，则m+2n的值为３．4．单位正方体这八个面截这个单位正方体，则含正方体中心的那一部分的体积为.５．设数列6．已知实数x，y，z满足xyz=32，x+y+z=4，则|x|+|y|+|z|的最小值为7．若NDCAMB8．空间有100个点，任4点不共面，用若干条线段连结这些点，如果不存在三角形，最多可连条线段．二、解答题（共５６分）9．（16分）设之和为21，第2项、第3项、第4项之和为33．（1）求数列的通项公式；（2）设集合，求证：．10．（20分）过抛物线的距离均不为整数．11．（20分）已知二次函数有两个非整数实根，且两根不在相邻两整数之间．试求a，b满足的条件，使得一定存在整数k，有成立．二试一．（40分）如图，已知求证：二．（40分）设．三.（50分）已知n个四元集合，试求n的最大值．这里四．（50分）设为正整数的二进制表示数的各位数字之和，为数列的前n项和.若存在无穷多个正整数n，满足，且m，则称是“好数”.试问：（1）2，3，5是否都是好数？（2）是否都是好数？模拟试题二全国高中数学联赛模拟试题江苏省盐城中学陈健第一试一、填空题：（每小题7分，共计56分）PDEFABC1.若函数)(xfy图象经过点（2，4），则)22(xfy的反函数必过点__________2.a、b、c是从集合54321，，，，中任意选取的3个不重复的数，则cab为奇数的概率为___________3.已知数列na的通项公式是1)1(1)1(2244nnnnan，则数列na的前n项和nS=_____4.抛物线281xy的准线与y轴交于点A，过A作直线交抛物线于点M、N，点B在抛物线对称轴上，且MNMNBM)2(，则OB的取值范围是____________5.已知,R，直线1sinsinsincosxy与1cossincoscosxy的交点在直线yx上，则cossincinsso6.如图，四面体ABCD中，ADB为等腰直角三角形，090ADB，1AD，且060ADCBDC，则异面直线AB与CD的距离为______________7.已知点)2,2(A、),(yxP，且yx,满足21122,0yxyxyx，则PA长的取值范围是________8.将一个44棋盘中的8个小方格染成黑色，使得每行、每列都恰有两个黑色方格，则有_不同的染法.（用数字作答）二、解答题：（三题共计44分）ABCD9.（本题14分）已知二次函数210,fxaxbxabR，设方程fxx有两个实数根12,xx．①如果1224xx，设函数fx的对称轴为0xx，求证：01x；②如果102x，且fxx的两实根的差为2，求实数b的取值范围.10．（本题15分）数列}{na满足：.,236457,1210Nnaaaannn证明：（1）对任意naNn,为正整数；(2)对任意1,1nnaaNn为完全平方数11.（本题15分）用纸板裁剪出两个半径不同的圆，每个圆再分成200个相等的扇形，且将每个圆的100个扇形涂成白色，另100个扇形涂成黑色.将小圆叠放在大圆的上面，使得它们的圆心重合.求证：总可以旋转小圆，使得这两个圆的扇形上下对齐，且小圆至少有100个扇形位于大圆的同色扇形上.第二试1.（本题50分）凸四边形ABCD中，AB是最长边，点NM,分别在边BCAB,上，且线段CMAN,平分四边形ABCD的面积，求证：线段MN平分对角线BD.2.（本题50分）定义))()(())((),,(xzzyyxzyxzxyzxyzyxf，其中zyx,,为正实数，求),,(zyxf的值域.3.（本题50分）已知一个给定的平面点集中，任意三点都可被一个半径为1的圆覆盖，求证：这个点集能被一个半径为1的圆覆盖.4.（本题50分）设n是一个固定的正整数，证明：对任何非负整数k，下述不定方程2333231...knyxxx有无穷多个正整数解);,...,,(21yxxxn.模拟试题三全国高中数学联赛模拟试卷福州一中危志刚第一试一，填空题（每小题7分，共56分）1、设()fx适合等式1()2(),fxfxx则()fx的值域是2、若对所有正数,,xy不等式xyaxy都成立，则a的最小值是3、等差数列3，10，17，…，2005与3，8，13，…，2003中，值相同的项有个.4、在平面直角坐标系中，定义点11,yxP、22,yxQ之间的“直角距离”为.),(2121yyxxQPd若yxC,到点3,1A、9,6B的“直角距离”相等，其中实数x、y满足100x、100y，则所有满足条件的点C的轨迹的长度之和为．5、将一个44棋盘中的8个小方格染成黑色，使得每行、每列都恰有两个黑色方格，则有种不同的染法.（用数字作答）6、若69222n为一个平方数，则正整数n7、甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为23，乙在每局中获胜的概率为13，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数的期望E为8、设函数1463)(23xxxxf，且1)(af，19)(bf，则ba二、解答题（第9题14分，第10，11题各15分）9．已知抛物线22(0)ypxp，其焦点为F，一条过焦点F，倾斜角为(0)的直线交抛物线于A，B两点，连接AO（O为坐标原点），交准线于点B，连接BO，交准线于点A，求四边形ABBA的面积．10．数列na定义如下：11a，且当2n时，211,1,nnnanana当为偶数时，当为奇数时．已知3019na，求正整数n．11．对一个边长互不相等的凸(3)nn边形的边染色，每条边可以染红、黄、蓝三种颜色中的一种，但是不允许相邻的边有相同的颜色．问：共有多少种不同的染色方法？第二试（每题50分，共200分）1、已知，A、B、C、D是圆上顺次四点，且ABAD，BCCD，BAD的平分线交圆于X，BCD的平分线交圆于Y，在由这六个点构成的六边形中，如果有四条边的长度相等，那么BD必为圆的直径．2、设]1,0[,ba，求)1)(1(11baabbaS的最大值和最小值．yxOF3、求所有满足方程组xyzxyxzyxzyzxyz的三元实数组(,,)xyz．4、将8个车放到如图的9×9棋盘中，使得这8个车互不攻击且所在小方格颜色相同，问共有多少种不同的方法．（两车互不攻击是指这两个车不同在任何一行或任何一列）模拟试题四全国高中数学联赛模拟试题东北育才学校张雷一试一、填空题（共56分，每题7分）1、函数xxfsinlog)(21的单调递增区间是_______________________．2、将数字3，4，5，6，7排成一行，使得相邻两个数都互质，则可能的排列方法共有______种.3、过正方体外接球球心的截面截正方体所得图形可能为______________.○1三角形○2正方形○3梯形○4五边形○5六边形4、已知ba（其中ba,是大于1的正整数，且ba,互质）化为最简二次根式后是pnm形式，其中pnm,,是大于1的正整数，且pm,互质，如果9pnm，则ba的最小可能值是________.5、若关于x的方程0142)6(22222babaxbbax的两个实数根21,xx满足,1021xx则4422aba的最小值与最大值的积是_________.6、我们定义运算42242bbaaba，如1653525354224，2532522162553254224，用整数1，2，3，4和三个号组成一个算式，则这个算式的最大值是_________.7、平面上满足约束条件01002yxyxx的点),(yx形成的区域为D，区域D关于直线xy2对称的区域为E，则区域D和区域E中距离最近的两点的距离为___________.8、令)(np表示正整数n的所有数字的和，如6)123(,5)50(,4)4(ppp，则)2009()2008()3()2()1(ppppp的值是_____________.二、解答题（共44分）9、（14分）已知圆1C和圆2C的两条外公切线为x轴及直线)0(:mmxyl，若两个圆的一个交点为)6,9(，且两圆半径长度之积为68，求圆心1C和2C所在直线的方程和m.10、（15分）已知函数()2121fxxxxx，求()1fxax的解集中元素的个数。11、（15分）如果ba,都是正实数，请给出一个你认为的最小正数t，使得满足tba的任意实数ba,，不等式21bbaa成立，并证明你的结论.模拟试题五联赛模拟题一试一、填空题1.不等式)1()1(yyxx的解集中yx,能使kyx22成立时的k的最小值为．2.一个三位自然数)(321aaa如果同时有21aa及23aa称为凹数，（例如104、525、849都是凹数，而123、684、200都不是凹数），则所有凹数的个数是．3.若x是一个十进制四位整数，记x的各位数码之积为)(xT，各位数码之和为)(xS，p为素数，且kpxT)(，5)(ppxS，则x中的最小者是．4.已知复数列}{na的通项公式为)1()31)(21)(1(niiiian，则1nnaa等于5.一个圆锥和一个圆柱，下底面在同一平面上，它们有公共的内切球，记圆锥的体积为1V，圆柱的体积为2V，且21kVV，则mink．6.Ryx,且yyxx2313，则yx的最大值是___________．7.已知x和y是实数，yixz)4(1，yixz)4(2，21zz10，令34yxu，则u的最大值为．8.平行六面体的8个顶点中的任意三个顶点为顶点的所有三角形中，锐角三角形的最多可能个数是．二、解答题9.已知函数)(xf的定义域是),0(，并且满足0)1()(xfxf．如果函数)11()(xmxfxg是奇函数，试求实数m的值．10.已知数列}{na中，11a,211nnnaaa)(*Nn求证：182005a11.已知圆1:22yxO和抛物线22xy上有三个不同的点RQP,,．如果直线PQ和PR都与圆O相切．求证：直线QR也与圆O相切．二试一、ABC内接于半径为R的圆O，令I为ABC内心，r为内切圆半径，且I和O不重合，G为重心．证明:cbBCIG或acb3，其中cba,,分别为ABC三个内角A、B、C所对应的三边长．二、已知：cba,,为正实数，且3444cba，证明：1414141cabcab三、设ba,是正整数，满足1),(,122ababbabafab，求),(baf所有可能取到的整数值．四、某班共30名学生，每一名学生在班内均有同样多的朋友（朋友是相互的）．在一次考试中，任意两名学生的成绩互不相同．如果一个学生的所有朋友中，有超过一半朋友的成绩低于该学生，则称该学生为“好学生”．试问：“好学生”最多可能有多少个？证明你的结论模拟试题六全国高中数学联赛模拟试题哈师大附中刘利益朱逢迁第一试一、填空题（每小题8分，共64分）1．从1,2,,100中任取5个数（可以相同），则取到合数的个数的数学期望是.2．双曲线的中心为原点O，焦点在x轴上，两条渐近线分别为12ll，，经过右焦点F垂直于1l的直线分别交12ll，于A