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11.11.6.6.18.18.3.3.OO17.17.OOOO7.7.OOOOOOOO16.16.8.8.14.14.12.12.OO5.5.OOOO4.4.1.1.2.2.OO9.9.OO15.15.OO10.10.13.13.广义坐标和正则坐标求解牛顿动力学时，有时需要用非直角空间坐标。又称“广义坐标”：qa最常见的是：球坐标，圆柱坐标。如果知道了一个广义坐标与直角坐标的函数关系：qa=qarr=rqaa=1,2,3(写出一个质点就可以明白。多个质点只是记号会复杂些)其运动方程是(对a自动求和):drdt=vrvqa$dqadtd2rdt2=vrvqa$d2qadt2Cddtvrvqa$dqadt=vrvqa$d2qadt2Cv2rvqavqb$dqadt$dqbdtm$vrvqa$d2qadt2Cv2rvqavqb$dqadt$dqbdt=F(对b也自动求和)显然我们不能简单地把牛顿方程里的r换成qa了事：m$d2rdt2=FPm$d2qadt2=F用科技“术语”来表述，就是：牛顿方程的形式，关于广义坐标变换，不保持协变。（但对直角坐标之间的变换，是协变的）。------------------------------------------------但是对变分法，只要拉格朗日函数也是用广义坐标表达的：L=Lqa,q.a,t拉格朗日运动方程仍然是：vLvqKddtvLvq.=0这个“协变”性质，是变分法的一个主要方便之处。注意：将拉格朗日函数应广义坐标表达的步骤是：将r=rqadrdt=vrvqa$dqadt代入原来的拉格朗日函数即可：Lr,drdt,tOOOOOOOOOOOOOOOOOO20.20.OOOOOOOOOO25.25.23.23.19.19.22.22.OO26.26.OO21.21.24.24.OOOOOO=Lrqa,vrvqa$dqadt,t=Lqa,q.a,t---------------------------------------------直角坐标的哈密顿运动方程是：H=Hr,pdrdt=vHvpdpdt=KvHvr注意这里的自变量是：相空间坐标通常习惯写成：r5qap5paa=1,2,3H=Hqa,padqadt=vHvpadpadt=KvHvqa如果考虑相空间坐标的“坐标变换”Qa=Qaqa,paPa=Paqa,paqa=qaQa,Papa=paQa,Pa用新坐标表示的哈密顿是：HQa,Pa=HqaQa,Pa,paQa,Pa(这里涉及的数学词是：复合函数)新的相空间坐标的运动方程是：dQadt=vQavqb$dqbdtCvQavpb$dpbdt=vQavqb$vHvpbKvQavpb$vHvqb=vQavqb$vHvQc$vQcvpbCvHvPc$vPcvpbKvQavpb$vHvQc$vQcvqbCvHvPc$vPcvqb41.41.32.32.OO30.30.OO33.33.OO36.36.34.34.31.31.37.37.29.29.38.38.28.28.35.35.40.40.42.42.39.39.27.27.OOOOOOOO=vQavqb$vQcvpbKvQavpb$vQcvqb$vHvQcCvQavqb$vPcvpbKvQavpb$vPcvqb$vHvPc(复合函数的微分)（对a,b,c自动求和）一般不是正则形式。即：哈密顿正则方程对相空间坐标变换一般不协变。但是，如果变换函数满足：Qa,Qc=0Pa,Pc=0Qa,Pc=δab（这里用了泊松括号）则新坐标的运动方程也是哈密顿形式的：dQadt=vHvPadPadt=KvHvQa这样的，遵循哈密顿运动方程的相空间坐标，又称正则坐标。也就是：正则坐标，或正则变换：就是让“哈密顿运动方程”保持协变的那些坐标和变换。-----------------------------------------------数学关心坐标变换，的一个目的，是期望通过它求解牛顿方程。例如。哈密顿-雅克比曾考虑，如果求得一个正则变换，新坐标的哈密顿恰好是0方程的解是：Qa=常数Pa=常数