范德蒙行列式的相关应用外文翻译

分类号：__________学校代码：11059学号：0907021021毕业论文外文翻译材料学生姓名：学号：0907021021专业班级：数学一班指导教师：正文：外文资料译文附件：外文资料原文指导教师评语：签名：年月日范德蒙行列式的相关应用（一）范德蒙行列式在行列式计算中的应用范德蒙行列式的标准规范形式是：1222212111112111()nnnijnijnnnnxxxDxxxxxxxx根据范德蒙行列式的特点，将所给行列式包括一些非范德蒙行列式利用各种方法将其化为范德蒙行列式，然后利用范德蒙行列式的结果，把它计算出来。常见的化法有以下几种：1.所给行列式各列（或各行）都是某元素的不同次幂，但其幂次数排列与范德蒙行列式不完全相同，需利用行列式的性质（如提取公因式，调换各行（或各列）的次序，拆项等）将行列式化为范德蒙行列式。例1计算222111222333nnnnDnnn解nD中各行元素都分别是一个数自左至右按递升顺序排列，但不是从0变到nr。而是由1递升至n。如提取各行的公因数，则方幂次数便从0变到1n.21212111111222!!(21)(31)(1)(32)(2)(1)13331nnnnDnnnnnnnnn!(1)!(2)!2!1!nnn例2计算1111(1)()(1)()1111nnnnnnaaanaaanDaaan解本项中行列式的排列规律与范德蒙行列式的排列规律正好相反，为使1nD中各列元素的方幂次数自上而下递升排列，将第1n列依次与上行交换直至第1行，第n行依次与上行交换直至第2行第2行依次与上行交换直至第n行，于是共经过(1)(1)(2)212nnnnn次行的交换得到1n阶范德蒙行列式：(1)21111(1)211111(1)(1)()(1)()(1)(1)(2)()2(1)((1))!nnnnnnnnnnnkaaanDaaanaaanaaaaanaaaanank若nD的第i行（列）由两个分行（列）所组成，其中任意相邻两行（列）均含相同分行（列）；且nD中含有由n个分行（列）组成的范德蒙行列式，那么将nD的第i行（列）乘以-1加到第1i行（列），消除一些分行（列）即可化成范德蒙行列式：例3计算1234222211223344232323231122334411111sin1sin1sin1sinsinsinsinsinsinsinsinsinsinsinsinsinsinsinsinsinD解将D的第一行乘以-1加到第二行得：123422221122334423232323112233441111sinsinsinsinsinsinsinsinsinsinsinsinsinsinsinsinsinsinsinsin再将上述行列式的第2行乘以-1加到第3行，再在新行列式中的第3行乘以-1加到第4行得：12342222141234333412341111sinsinsinsin(sinsin)sinsinsinsinsinsinsinsinijjiD例4计算211122222111111111nnnnnnxxxxxxDxxx（1）解先加边，那么22111111222222222210001111111111111111111nnnnnnnnnnnnxxxxxxDxxxxxxxxxxxx再把第1行拆成两项之和，2211111122111120001111nnnnnnnnnnxxxxxxDxxxxxx11111112()(1)()()[2(1)]nnkjikjjknijknnnkjiijkniixxxxxxxxxxx2.加行加列法各行（或列）元素均为某一元素的不同方幂，但都缺少同一方幂的行列式，可用此方法：例5计算2221233312121113nnnnnnxxxDxxxxxx解作1n阶行列式：122222121333312121111nnnnnnnnnzxxxzxxxDzxxxzxxx=1()()nijkilkjnxzxx由所作行列式可知z的系数为D，而由上式可知z的系数为：211211(1)()()nnnjkinjklixxxxxx通过比较系数得：1211()()nnjkinjkliDxxxxxx3.拉普拉斯展开法运用公式D=1122nnMAMAMA来计算行列式的值：例6计算11111112212211100001001000010010000100nnnnnnnnnnxxyyxxDyyxxyy解取第1，3，21n行，第1，3，21n列展开得：11111111222211111111nnnnnnnnnnxxyyxxyyDxxyy=()()jijinjilxxyy4.乘积变换法例7设121(0,1,22)nkkkkkniisxxxxkn，计算行列式01112122nnnnnssssssDsss解11121111222111nnniiiinnnniiiiiinnnnnniiiiinxxxxxDxxx211111221222222122111122111111()nnnnnnnnnnnnjilijnxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx例8计算行列式000101011101()()()()()()()()()nnnnnnnnnnnnnnnababababababDababab解在此行列式中，每一个元素都可以利用二项式定理展开，从而变成乘积的和。根据行列式的乘法规则，12DDD，其中01000111101nnnnnnnnnnnnnnnnnCCaCaCCaCaDCCaCa01111012111nnnnnnnnbbbbbbD对2D进行例2中的行的变换，就得到范德蒙行列式，于是00121112111nnnnnnnnnaaaaDDDCCCaa(1)2(1)nn0101111nnnnnbbbbbb=(1)12200()(1)()nnnnnnijijjinjinCCCaabb=120()()nnnnijijjinCCCaabb5.升阶法例9计算行列式221111222222221111221111nnnnnnnnnnnnnnnnxxxxxxxxDxxxxxxxx解将D升阶为下面的1n阶行列式221111112212222212211111122122111111nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx即插入一行与一列，使1n是关于12,,,nxxxx的1n阶范德蒙行列式，此处x是变数，于是1121()()()()nnijjinxxxxxxxx故1n是一个关于x的n次多项式，它可以写成11121()(1)()nnnijnjinxxxxxxx另一方面，将1n按其第1n行展开，即得21111()(1)nnnnijjinxxxDx比较1n中关于1nx的系数，即得121()()nijjinDxxxxx(二)范德蒙行列式在多项式理论中的应用例1设01(),nnfxccxcx若()fx至少有1n个不同的根，则()0fx。证明取121,,nxxx为()fx的1n个不同的根，则有齐次线形方程组2011211201222220112110,0,0,nnnnnnnnnccxcxcxccxcxcxccxcxcx(2)其中01,,nccc看作未知量因为方程组（2）的系数行列式D是Vandermonde行列式，且1()0,jiijnDxx所以方程组（2）只有零解，从而有010,nccc即()fx是零多项式。例2设12,naaa是数域F中互不相同的数，12,,nbbb是数域F中任一组给定的不全为零的数，则存在唯一的数域F上次数小于n的多项式()fx，使()ifa=ib，1,2,in证明设1011(),nnfxccxcx由条件()iifab，1,2,in知101111110121221011,,,nnnnnnnnnccacabccacabccacab（3）因为12,,naaa互不相同，所以方程组（3）的系数行列式21112122212111()01nnnjiijnnnnnaaaaaaDaaaaa则方程组（3）有唯一解，即唯一的次数小于n的多项式1011(),nnfxccxcx使得()iifab，1,2,in例3设多项式1212(),npppnfxaxaxax0,1,2,iain，,ijpp,,1,2,ijijn，则()fx不可能有非零且重数大于1n的根。证明反设0是()fx的重数大于1n的根，则()f=0，()0,f(1)()0,nf进而1(1)()0,()0,()0.nnfff即121212121122111122220,0,(1)(2)(1)(2)(1)(2)0nnnpppnpppnnpppnnnnaaapapapapppnapppnapppna（4）把（4）看成关于1212,,,npppnaaa为未知量的齐次线形方程组则（4）的系数行列式121122111222111(1)(1)(1)(1)(2)(1)(2)(1)(2)nnnnnnpppDpppppppppnpppnpppn=1222212111112111()0nnjiijnnnnnppppppppppp所以方程组（4）只有零解，从而0,1,2,ipiain，所以必有0,这与0矛盾，故()fx没有非零且重数大于1n的根。附件：(外文资料原文)NewproofoftheVandermondedeterminantandsomeapplications(A):anewmethodofproof:mathematicalinductionWeonthenforthattheinductivemethod.（1）When2n，211211xxxxWhentheresultisright.（2）TheVandermondedeterminantconclusionassumptionsfortheclass,nowlookatthelevelof.in1232222123-1-1-1-11231111nnnnnnnnxxxxDxxxxxxxx，Subtractingthe1nrows1xtimes,thefirst1nrowsbysubtracting2n1xtimes,thatis,abottom-upsequentiallysubtractedfromeachrowonrow1xtimeshare有2131122212313112121221231311111000nnnnnnnnnnnxxxxxxdxxxxxxxxxxxxxxxxxx