二次函数与面积问题答案

学习好资料欢迎下载一、应用题1.解:（1）方法一：设二次函数的解析式为2yaxbxc=++则3304301643430423acabcbcabcìïïì=ïïïïïïïï=ïïïï-镲=++?眄镲镲镲镲=-=++镲镲ïïîïïî∴23433(4)333yxxxx=-=-……3分方法二：∵图像过点O(0,0),A（4，0），∴设(4yaxx=-）,又B(432,3-)在曲线上,∴432(243a-=-）,∴33a=∴3(4)3yxx=-……………………………………3分（2）∵M是OA的中点,OA=4,∴MA=2,若四边形PQAM是菱形,则PQ=2,又根据抛物线关于对称轴2x对称,即P、Q关于直线2x=对称,∴P的横坐标为1,Q的横坐标为3.……………………………………5分∴P的坐标为(1,3)-,Q的横坐标为(3,3)-.OAMPQCDB/BxyD1C1图12学习好资料欢迎下载而计算PM=22132+=,故所求的P(1,3)满足四边形PQAM是菱形………6分（3）设存在这样的C点.设C、D的坐标分别为1122(,),(,)xyxy∵二次函数在x轴下方的部分向上翻折,得曲线OB′A,∴曲线OB′A的解析式为3(4)3yxx=--……………………………………7分若△CDA的面积是△MDA面积的2倍,∴△CMA的面积是△MDA面积的3倍,∴1212312MAyMAy=，∴123yy=,即11223(4)333(4)3xxxx-=--,∴1122(4)3(4)xxxx-=--……………①…………………………8分过D,C分别作DD1,CC1垂直于x轴,∴△MD1D∽△MC1C,∴11113MCCCMDDD==,∴1223,2xx-=-即1243xx+=………………②…………………………9分将②代入①得:211480xx--=2223x=?,代入二次函数的解析式得2833y=故C的坐标为8(223,3)3+,或8(223,3)3-.………………………10分2.解：(1)设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0)，过点A(1，0)、B(5，0)、C(0，310)，∴,310,0525,0ccbacba解得a=32，b=－4，c=310，∴y=32x2－4x+310；(2)S=2S△EOB=2×21OB·Ey=5×(－32x2+4x－310)=－310x2+20x－350，S=－310(x－3)2+340，∴当x=3，面积S的最大值为340；学习好资料欢迎下载(3)要使平行四边形OEBF为正方形，则OB与EF相等且互相垂直平分，∴当x=2.5，y=32×425－10+310=－2.5，∴E(2.5，－2.5)、F(2.5，2.5)．3.解：（1）∵该抛物线经过点A（5，0），O（0，0），∴该抛物线的解析式可设为y=a（x﹣0）（x﹣5）=ax（x﹣5）．∵点B（4，4）在该抛物线上，∴a×4×（4﹣5）=4．∴a=﹣1．∴该抛物线的解析式为y=﹣x（x﹣5）=﹣x2+5x．（2）以O、A、B、M为顶点的四边形中，△OAB的面积固定，因此只要另外一个三角形面积最大，则四边形面积即最大．①当0＜x≤4时，点M在抛物线OB段上时，如答图1所示．∵B（4，4），∴易知直线OB的解析式为：y=x．设M（x，﹣x2+5x），过点M作ME∥y轴，交OB于点E，则E（x，x），∴ME=（﹣x2+5x）﹣x=﹣x2+4x．S△OBM=S△MEO+S△MEB=ME（xE﹣0）+ME（xB﹣xE）=ME•xB=ME×4=2ME，∴S△OBM=﹣2x2+8x=﹣2（x﹣2）2+8∴当x=2时，S△OBM最大值为8，即四边形的面积最大．②当4＜x≤5时，点M在抛物线AB段上时，图略．可求得直线AB解析式为：y=﹣4x+20．设M（x，﹣x2+5x），学习好资料欢迎下载过点M作ME∥y轴，交AB于点E，则E（x，﹣4x+20），∴ME=（﹣x2+5x）﹣（﹣4x+20）=﹣x2+9x﹣20．S△ABM=S△MEB+S△MEA=ME（xE﹣xB）+ME（xA﹣xE）=ME•（xA﹣xB）=ME×1=ME，∴S△ABM=﹣x2+x﹣10=﹣（x﹣）2+∴当x=时，S△ABM最大值为，即四边形的面积最大．比较①②可知，当x=2时，四边形面积最大．当x=2时，y=﹣x2+5x=6，∴M（2，6）．（3）由题意可知，点P在线段OB上方的抛物线上．设P（m，﹣m2+5m），则Q（m，m）当△PQB为等腰三角形时，①若点B为顶点，即BP=BQ，如答图2﹣1所示．过点B作BE⊥PQ于点E，则点E为线段PQ中点，∴E（m，）．∵BE∥x轴，B（4，4），∴=4，解得：m=2或m=4（与点B重合，舍去）∴m=2；②若点P为顶点，即PQ=PB，如答图2﹣2所示．易知∠BOA=45°，∴∠PQB=45°，则△PQB为等腰直角三角形．学习好资料欢迎下载∴PB∥x轴，∴﹣m2+5m=4，解得：m=1或m=4（与点B重合，舍去）∴m=1；③若点P为顶点，即PQ=QB，如答图2﹣3所示．∵P（m，﹣m2+5m），Q（m，m），∴PQ=﹣m2+4m．又∵QB=（xB﹣xQ）=（4﹣m），∴﹣m2+4m=（4﹣m），解得：m=或m=4（与点B重合，舍去），∴m=．综上所述，当△PQB为等腰三角形时，m的值为1，2或．4.解：(1）由已知得，(3,4)A，(0,1)B，∴9341bcc，解得41bc，∴241yxx.（2）∵2(,41)Pmmm，(,1)Dmm，(,0)Cm∴1CDm.∵2BPDOBDCSS四边形V，即11()222OBCDOCPDOC，∴12CDPD.当点P运动至A处，此时P、D重合.①当PD在点A左侧时，23PDmm，则222(3)mmm，解得，121,22mm.学习好资料欢迎下载②当PD在点A右侧时，23PDmm，则222(3)mmm，解得，17654m，27654m不合题意，舍去.综上，12m，2或7654.（3）∵4590PDA，∴当90APD或90PAD时，△PAD是直角三角形.①若90APD，则AP∥x轴，∴PAyy，即2414mm，解得，121,3mm，∴(1,4)P；②若90PAD，AP⊥AB.又直线AP：7yx，由2741yxyxx，解得1125xy，2234xy，∴(2,5)P.综上，(1,4)P或(2,5).5.解：(1)由题意得4322abba解得，13ab所以二次函数的解析式为：23yxx(2)设直线AC为y=mx＋n∵A(1，4)，C（0，2）∴42mnn∴22mn∴直线AC为：22yx2223yxyxx解得，21,24xxyy学习好资料欢迎下载所以点B的坐标为（－2，－2）（2）xyE2E1A2A1B′ABDO由题可知，点D的坐标是（－4，－4），直线AC的函数解析式是22yx当2223xxx时，122,1xx（不合题意，舍去），∴点B的坐标是（－2，－2）．∴∠BOD=90°，22OB，42OD，17OA,若△EOD∽△AOB时，则∠EOD=∠AOB,2ODOEOBOA,∴∠BOD=∠AOE=90°，即把△AOB绕着O点顺时针旋转90°，OB落在OD上，OA落在OE上，所以点E的坐标是（8，－2）．作△AOB关于x轴的对称图形，所得点E的坐标是（2，－8）．∴当点E的坐标是（8，－2）或（2，－8）时，△EOD∽△AOB．(3)由（2）可知，22OB，42OD，210BD，∠BOD=90°．若翻折后，点B落在FD的左下方（侧），如图，11114222HFPBDPBPFDPFBPFSSSSS△△△△△′整理得，DH=HF，B′H=PH，∴在□B′FPD中，1102PDBFBFBD′；学习好资料欢迎下载若翻折后，点B，D重合，12HFPBDPSS△△，不合题意，舍去．若翻折后，点B落在OD的右上方（侧），如图，则11114222HFPBDPBPFDPFBPFSSSSS△△△△△′同理可得，四边形B′FPD是菱形，即1102FDBPBPBD′,根据勾股定理，得222OPOBBP,即222422210PD,解得，32PD，5242PD（舍去），综上可知，当10PD或32PD时，将△BPF沿边PF翻折，使△BPF与△DPF重叠部分的面积是△BDP的面积的14．xyHB'PFBDOxyHB'PFBDO学习好资料欢迎下载6.解：（1）∵点A在二次函数y=x2的图象上，AE⊥y轴于点E且AE=m，∴点A的坐标为（m，m2），当m=时，点A的坐标为（，1），∵点B的坐标为（0，2），∴BE=OE=1．∵AE⊥y轴，∴AE∥x轴，∴△ABE∽△CBO，∴==，∴CO=2，∵点D和点C关于y轴对称，∴DO=CO=2，∴S=BE•DO=×1×2=；（2）（I）当0＜m＜2时（如图1），∵点D和点C关于y轴对称，∴△BOD≌△BOC，∵△BEA∽△BOC，∴△BEA∽△BOD，∴=，即BE•DO=AE•BO=2m．∴S=BE•DO=×2m=m；（II）当m＞2时（如图2），学习好资料欢迎下载同（I）解法得：S=BE•DO=AE•OB=m，由（I）（II）得，S关于m的函数解析式为S=m（m＞0且m≠2）．（3）①如图3，连接AD，∵△BED的面积为，∴S=m=，∴点A的坐标为（，），∵===k，∴S△ADF=k•S△BDF•S△AEF=k•S△BEF，∴===k，∴k===；②k与m之间的数量关系为k=m2，如图4，连接AD，学习好资料欢迎下载∵===k，∴S△ADF=k•S△BDF•S△AEF=k•S△BEF，∴===k，∵点A的坐标为（m，m2），S=m，∴k===m2（m＞2）．7.解：(1)对223yxx令x=0得，y=3，则C(0，3)令y=0，得2230xx，解得，123,1xx∴A（－3，0），B（1，0）(2)由2121x得抛物线的对称轴为直线1x设点M（x，0），22,23Pxxx，其中－3＜x＜－1∵P、Q关于直线1x对称，设Q的横坐标为a，则11ax，∴22,23Qxxx∴223MPxx，222PQxxx∴周长2222223282dxxxxx学习好资料欢迎下载当8222x时，d取最大值，此时，M（－2，0），∴231AM设直线AB解析式为ykxb（k≠0），则303bkb解得，31bk∴直线AB解析式为3yx将2x代入3yx得1y，∴2,1E，∴EM=1∴11111222AEMSAMME△(3)由（2）知，当矩形PMNQ的周长最大时，2x，此时点0,3Q,与点C重合，∴OQ=3．将1x代入223yxx，得4y，∴1,4D如图，过D作DK⊥y轴于K，则DK=1，OK=4∴QK=OK－OQ=4－3=1∴△DKQ是等腰直角三角形，2DQ∴222224FGDQ设2,23,,3FmmmGmm则223233FGmmmmm∵4,FG∴234mm，解得124,1mm当4m时，222342435mm当1m时，222312130mm∴4,5F或1,0学习好资料欢迎下载xyFKDBAQOG8.解：（1）令x=0，解得y=3