理论力学@8动力学基础

167第8章动力学基础8.1主要内容动力学是论述物体的机械运动与该物体上的作用力之间的关系的科学。１、牛顿定律第一定律不受力作用的任何质点，将永远保持其静止或匀速直线运动状态。该定律通常亦称作惯性定律。第二定律质点受力作用时将产生加速度，加速度的方向与作用力方向相同，其大小则与力的大小成正比，与质点的质量成反比。第三定律任何两个质点间的相互作用力总是大小相等，方向相反，沿着同一直线，且分别作用在这两个质点上。该定律也称为作用与反作用定律。第一定律表明：任何物体都具有惯性，而力是改变物体运动状态的原因。第二定律表明：质量是质点惯性大小的度量；物体机械运动状态的改变，不仅决定于作用于物体上的力，同时也与物体的惯性有关。第二定律定量地描述了质点运动状态的改变（通过加速度表示出来）与作用力之间的关系。第一定律可视为第二定律的特殊情况。第三定律表明：两物体间相互作用力的关系；由于作用与反作用，引起了机械运动在相互作用的两物体间发生传递。第三定律不仅对物体处于平衡状态时适用，对物体作任何运动也适用；该定律是研究解决质点系动力学问题的依据。２、惯性参考系牛顿定律仅适用于惯性参考系，一般在天文计算中，选择以太阳为原点，三个坐标轴指向三颗恒星的日心参考系作为惯性参考系。在仅考虑地球自转影响时，选择以地心为原点，三个坐标轴指向三颗恒星的地心参考系作为惯性参考系。在大多数工程问题中，选择与地球固连的坐标系（称为地球参考系）作为惯性参考系。地球参考系有时也称为地面参考系。综上所述，在应用牛顿定律时，可以选择日心参考系、地心参考系和地球参考系为惯性参考系，具体选用哪一种，需要根据研究对象、问题的特点、实际要求的精度来确定。３、单位制国际单位制(SI)。长度(L)、质量(M)、时间(T)为基本量，对应的基本单位是168米(m)、千克(kg)、秒(s)，力(F)是导出量，力的导出单位是牛顿(N)。1N=1kg·1m/s2=1kg·m/s2工程单位制(EU)。在工程单位制中，长度(L)、力(F)、时间(T)为基本量，对应的基本单位是米(m)、公斤力(kgf)、秒(s)。质量(M)是导出量，质量的单位是kgf·s2/m，1工程质量单位＝1kgf/(1m/s2)=1kgfs2/m在我国，重力加速度一般选取g=9.80m/s2。在工程单位制和国际单位制中，力的换算关系为1kgf＝1kg×9.80m/s2=9.80kg·m/s2即1kgf=9.80N４、量纲在国际单位制中，长度、质量、时间是基本量，它们的量纲分别用[L]、[M]、[T]表示，加速度、力是导出量，它们的量纲分别是[a]＝[L][T]-2、[F]＝[M][L][T]—2。任何一个力学方程，它的等号两侧的量纲应该是相同的。这一结论，常用来校核力学方程正确与否。５、质点的运动微分方程设一质量为m的质点受到力F1，F2，…，Fn的作用，根据牛顿第二定律，将加速度写成矢径对时间的二阶导数，则矢径形式的质点的运动微分方程为：Fr22tmdd若在直角坐标系Ｏxyz轴上投影，则直角坐标形式的质点运动微分方程为：mxtXmytYmztZdddddd222222若在自然坐标系的各轴上投影，则自然轴系形式的质点的运动微分方程为：bnFFmFtm0dd2169根据问题的需要，还可以有其它坐标形式的质点运动微分方程，如极坐标形式、柱坐标形式、球坐标形式等。６、质点动力学的两类基本问题应用质点的运动微分方程，可以解决质点动力学的两类基本问题。（１）、质点动力学的第一类基本问题。已知质点的运动，求解此质点所受的力。（２）、质点动力学的第二类基本问题。已知作用在质点上的力，求解此质点的运动。求解第一类问题，一般只需进行微分运算；而求解第二类问题，一般要进行积分运算，属于微分方程的积分问题，应由运动的初始条件确定积分常数。７、质点的相对运动微分方程质点的相对运动方程：mar＝F＋eIF＋FIC其中IeemaF为牵连惯性力，CICaFm为科氏惯性力，它描述了质点在相对运动中的基本规律，是质点在非惯性坐标系的运动方程。８、质点系的基本惯性特征（１）、质点系的质量中心若质点系的质量用M表示，则Mmini1若质点系的质量中心（简称质心）的矢径用rC表示，则Mmiinirr1C若在直角坐标Oxyz轴上投影，则质心C的坐标公式为：MzmzMymyMxmxiiiiiiCCC（２）、刚体的转动惯量根据转动惯量的定义，刚体对转轴z的转动惯量Iz为Imrzinii12其中ir表示质点到z轴的距离。170若刚体的质量是连续分布的，则刚体转动惯量可表示为IrmzM2d同理，刚体在直角坐标系Oxyz中对各轴的转动惯量可表示为：Imxyziii22Imyzxiii22Imzxyiii22或IxymIyzmIzxmzMxMyM222222ddd若将刚体对于O点的转动惯量表示为ImRmxyzOiiiiii2222或IRmxyzmOMM2222dd则刚体对于O点的转动惯量亦称为极转动惯量，并且有以下关系IIIIOxyz12刚体对于z轴的转动惯量也可用另一形式来表示。设刚体的总质量为M，2zzMI其中z称为刚体对于z轴的回转半径或惯性半径。它的大小为zzIM/由此可知，z的物理意义可理解为，如果把刚体的质量集中于某一点上，仍保持原有的转动惯量，那么，z就是这个点到z轴的距离。９、转动惯量的平行轴定理转动惯量的平行轴定理：刚体对于任一轴的转动惯量，等于刚体对于通过质心、并与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量与此两轴间距离平方的乘积。即171IIMlzzC2由此可知，在刚体对众多平行轴的转动惯量之中，通过质心的轴的转动惯量最小。8.2基本要求１、对质点动力学的基本概念（如惯性、质量等）和动力学基本定律要进一步理解其实质。２、深刻理解力和加速度的关系，能正确地建立质点的运动微分方程，掌握第一类基本问题的解法。３、掌握动力学第二类基本问题的解法，特别是当作用力分别为恒力、时间函数、位置函数和速度函数时，质点直线运动微分方程的积分求解法。４、对初始条件的力学意义及其在确定质点运动中的作用要有清晰的认识。５、掌握并求解质点的相对运动微分方程，理解产生牵连惯性力、惯性力的原因。６、牢记质心坐标公式，对转动惯量、惯性积的概念有清晰的理解，利用平行轴定理能熟练地计算刚体对任意轴的转动惯量、惯性积。8.3重点讨论在动力学问题中，约束力的分析与静力学一样，但约束力不仅与主动力有关，而且与质心的加速度有关。在一般情况下，力是时间、位置、速度等参变量的函数，当应用第二牛顿定律求解质点的运动时，必须知道质点运动的初始条件。在任意位置建立点的运动微分方程时，力的投影和加速度的投影要写在等式的两边，正负号以坐标轴方向为准。若加速度、速度位移是未知数，方向以坐标轴的方向为正方向。若所求结果为负，说明与假设方向相反。质点系的基本惯性特征，在动力学中有重要的位置，除灵活运用质心坐标公式及计算转动惯量外，但应注意所应用的坐标系是与刚体相固连的坐标系，在讨论两个平行轴之间的惯量关系时，运用平行轴定理时必须通过质心的转动惯量进行推导，才能得出正确的答案。1728.4例题分析例8－1质点M的质量为m，运动方程是x=bcosωt，y=dsinωt,其中b、d、为常量，求作用在此质点上的力。解：这是典型的动力学第一类基本问题。从运动方程中消去时间，得此质点的轨迹方程：12222dybx如图8－1所示。该质点的加速度在坐标轴上的投影分别为：xtbtxax2222cosddytdtyay2222sindd代入运动微分方程式（8-5），解得作用在此质点上的力在x、y轴上的投影为ymmaFxmmaFyyxx22或rjijiF22mFFmFFyxyx由此可知，力F与矢径r共线、反向，这表明，此质点按给定的运动方程作椭圆运动时，其特点是：①力的方向永远指向椭圆中心，为有心力；②力的大小与此质点至椭圆中心的距离成正比。图8-1FxFFy173例8-2在均匀的静止液体中，质量为m的物体M从液面处无初速下沉。设液体阻力FR=－-μv，其中μ为阻尼系数。试分析该物体的运动规律及其特征。(a)(b)(c)图8-2解：为建立质点M的运动微分方程,将参考坐标系的原点固结在该点的起始位置上，x轴铅直向下。该质点的受力图如图，则质点M的位移、速度、加速度均设为沿x轴的正方向。则运动微分方程为vmgdtxdm22或bvgdtdv(a)式中，mb/。分离变量，并注意到运动的起始条件为：t=0时，v0=0，积分一次tvdtbvgdv00解得btebgv1(b)再分离变量，运动起始条件为t=0时，x0=0，则有dtebgdxtbtx001积分得FRFRRF174btebtbgx11(c)这就是该物体下沉的运动规律。由式（b）知，当t时，0bte，该物体下沉速度将趋近一极限值mgbgv极限这个速度称为物体在液体中自由下沉的极限速度。由此可以看出，在阻尼系数基本相同的情况下（即物体的大小、形状基本相同时），物体的质量越大，它趋近于极限速度所需的时间越长。工程中的选矿、选种工作，就是应用了这个道理。若选坐标如图c示。则运动微分方程为：vmgdtxdm22或bvgdtdv此时的运动起始条件为t=0时，x0=H，v0=0。通过两次分离变量和积分，可得btebgv1btebtbgHx11例8－3图8-3（a）所示圆盘在水平面内绕其中心铅垂轴O匀速转动，角速度为。在距O轴为e的圆盘弦上开有一直槽，质量为m的质点M沿此槽运动。假设运动开始时，M处于图示位置且相对于圆盘静止，试求其相对运动方程和槽壁对它的约束力。FR175（a）（b）图8-3解：设静坐标系Oxy如图所示，而动坐标系Oxyz固结于圆盘并绕轴Oz转动，Ox轴和Oy轴分别于直槽平行和垂直，如图8-3b所示。圆盘角速度为=k=常矢量。图示时刻质点的矢径为r=r=xi+ej。速度、加速度分析如下)(jirωvxee(a))(jivωaex2ee(b)iaiv22rrtxtxdd,ddjvatxCdd22rω(c)则得到附加在质点M上的牵连惯性力和科氏惯性力为jFjiFtxmexmdd2)(2ICIe(d)质点M在直槽平面内真正受到的力只有槽壁的水平约束力FNFN=FNj(e)将式（b）、式（d）和式（c）代入式相应方程，可得到以矢量形式表示的质点相对运动微分方程jii))dd2((ddN222txemFxmtxm（f）投影到x'轴y'轴上176222ddxtx（g）)dd2(0NtxemF（h）根据微分方程理论，令方程（g）的解为ttCCxee21（i）运动初始条件：t=0时,0ddtxbx，，解得bCC2121质点M在直槽内的运动方程是tbbxttch)ee(21'（j）将式（j）代入式（h），解得槽壁对质点M的水平约束力)'2()ch2(2222NebxmetbmF（k）例8－4图8-4中，等截面的均质细长杆AB长为l，质量为m，试求该杆对于：（1）通过质心O且与杆垂直的y轴的转动惯量；（2）与y轴相平行的y轴的转动惯量。图8-4解：设坐标系Oxy的x轴沿着杆的轴线。该杆线密度（单位长度的质量）=m/l，则单元体dx的质量dm=dx，于是21212212122121ddmlxlmxxxIy