数理统计之参数估计(习题库)

1第六章习题1.指出下列分布中的参数,并写出它的参数空间:(i)二点分布;(ii)普哇松分布;(iii)在,0上的均匀分布;(iv)正态分布2,N.解:iP1,0；ii,0；iii,0；（iv）.,0,,2.设n,,1是来自二点分布的一个子样,试求成功概率p的矩法估计量.解:pEpˆ3.已知母体均匀分布于,之间,试求,的矩法估计量.解:2E，122D。令22122nS得nS3ˆ，.3ˆnS4.对容量为n的子样,求密度函数其它,00,2;2axxaaaxf中参数a的矩法估计量.解:3220adxxaaxEa令3a得3ˆa.5.在密度函数10,1xxaxfa中参数a的极大似然估计量是什么?矩法估计量是什么?解:(1)niininnixxL111iix10.ln1lnln1niixnL令0ln1ln1inixnL，得niiLxn1ln1ˆ。由于01ln222nL故niiLxn1ln1ˆ是极大似然估计.(2)由211E令211得.112ˆ6.用极大似然法估计几何分布,2,1,11kppkPk中的未知参数p.解:nxnipppL1，令01lnpnxpnppLi得xp1ˆ而01ln2ˆ2xxnpLpp1ˆp是P的极大似然估计.27.设随机变量的密度函数为0,,21xexfx，n,,1是的容量为n的子样,试求的极大似然值.解:ixneL12，01ln2ixnL。得ixn1ˆ，又0ln22nL故.1ˆiLn8.设n,,1是取自均匀分布1,R的母体的一个子样,其中.试证:的极大似然估计量不止一个,例如2121,1,13211nn都是的极大似然估计量.解:证:1,R的密度函数为01xf其它1x，故01L其它11nxx即凡满足1ˆˆ1nxx的ˆ均为的极大似然估计.从而(1)11ˆ满足此条件，故1ˆ是的极大似然估计.(2)由于11n故1ˆ1212nn，所以2ˆ也是的极大似然估计.(3)由于11n，故1121n，nn211，从而1ˆ21212121ˆ31113nnn，故3ˆ也是的LM.9.设n,,1是取自对数正态分布母体的一个子样,即,.,~12Nn0,，试求:的期望值E和方差D的极大似然估计.解:的密度函数为22221xnexxf，所以2221221,imxiniexL，0ix两边对数并分别对和2求寻,并令其为0,得似然方程组，解得22ln1ˆln1ˆiixnxn经验知和2的LM为:ixnln1ˆ，22ln1ˆixn又222212ln0121edxexxEx，12221222eeEED0ln2120ln12422iixnx3从而,21ˆexp2E.112eED10.一个罐子里装有黑球和白球,有放回地抽取一个容量为n的子样;其中有k个白球,求罐子里黑球数和白球数之比R的极大似然估计量.解:设罐子里有白球x个,则有黑球Rx个,从而共有xR1个球,从罐中有放回地抽一个球为白球的概率为:RxRx111，黑球的概率为.1RR从而抽球为二点分布.1111nknknkRRRRRRL似然方程为01RnRkn。从而解得1ˆknR.可验证这是R的极大似然估计.11.为检验某种自来水消毒设备的效果,现从消毒后的水中随机抽取50升,化验每升水中大肠杆菌的个数(一升水中大肠杆菌的个数服从普哇松分布),化验结果如下:大肠杆菌个数/升0123456升数1720102100试问平均每升水中大肠杆菌个数为多少时,才能使出现上述情况时的概率为最大.解:由，设一升水中大肠杆菌个数k~P=ekk!，,2,1,0k又E.故问题为求的极大似然估计.由nixexLi!，可得Lˆ.由观测值代入求设1.故每升水中大肠杆菌的个数平均为1时,出现上述情况的概率最大.12．设11,,nn,,是取自二维正态母体,,,0,02221N的一个子样,求2221,和的极大似然估计.解:由L22221212222222122212121exp12,,iiiinnyxx可得似然方程为302121111111212222122221222222122122iiiiiiiiiiiiiyxyyxxnnyxynyxx将(1),(2)代入(3)得:.02121nxyxnnniiii(4)由(4)代入(1),(2)得似然估计:2211in2221in211ˆiin.413．从四个正态母体(它们都有同样的方差2)中,各抽一个容量为n的子样,第i个子样的观测值为,4,3,2,1,,,2,1,injxij若四个母体的平均数分别为,,,,cbacbacbacba试求cba,,和2的极大似然估计.解:211242{21exp21,,,cbaxcbaLjnjn242322cbaxcbaxcbaxjjj两边取对数后对cba,,分别求导,令其均为0，即得432141ˆxxxxa，432141ˆxxxxb，432141ˆxxxxc。对2求导代入cbaˆ,ˆ,ˆ得2211ˆˆˆ41cbaxnjnj242322ˆˆˆˆˆˆˆˆˆcbaxcbaxcbaxjjj.14.考虑某种离散分布,2,1,0,xfaxPxx，其中对某些x可能有fax,0有连续导数,设n,,1是取自具有这种分布的母体的一个子样.i证明的极大似然估计是方程Eff的一个根,这里的极大似然方程与矩法方程相同.ii试求为了估计下列分布而需要的极大似然方程的显式,这些分布是普哇松分布、二项分布.解:(1)证nxxxxfafaLiiiifnxaLixilnlnln对求导得01ffnxi.ff又由11faxxni知xxniaf1从而.111fffaxaffxaExxxxnixxni所以似然方程可写为E这与矩法方程一致.(2)对faexxPxxx!其中!1xaxef从而fef，故似然方程的显式为.5对二项分布:fappxnxPxxxnx1pp1.111nnxpfxna又.1111nfnf故似然方程的显式为.1npnff15.设1n是取自双参数指数分布的一个子样,密度函数其它,0,1,122121xex；fx，其中.0,21试求参数1和2的极大似然估计和矩法估计.解:(1)LM估计121211exp1,nxLin，.11x121211ln,lnnxnLi11x0ln21nL故Lln是1的递增函数,1取到最大可能值时可使lnL达到最大,故1的极大似然估计为11ˆ由0ln2L可解得2的LM这12ˆ.(2)矩法估计由于212221dxexEx，2222EED故由2122221innS解得nS2ˆ.ˆ1nS16.设n,,1为取自参数为的普哇松分布的一个子样.试证子样平均和niinnS122)(11都是的无偏估计.并且对任一值10,2*1nS也是的无偏估计.证:对普哇松分布有DE,从而.E.11212*DEnESinin故与2nS都是的无偏估计.又112*nSE故2*1nS也是的无偏估计.617.设,,,1n为取自正态母体2,N的一个子样,试适当选择c,使21112niiicS为2的无偏估计.解:由iE，2iD且n,,1相互独立可知,2jijiEEEji从而212112211212122EnEncEEEEcESiiiini12122ncDnci.取121nc时,nS为2的无偏估计.18设母体的数学期望为,方差.2D又设1111,,n和2212,,n为取自此母体的两个子样.试证:211222211121221niiniinnnS是2的无偏估计量.其中.2,1,11jnjijijjn证:222121112122121iniiniEEnnES22221211121nnnn,故2S是2的无偏估计.19.设随机变量服从二项分布,1,0,1xxnxPxnx,n试求2无偏估计量.解:由于nE222211nnnnnEDE故.122