电影院座位的选择

影院座位选择李祖苑北京师范大学数学科学学院(100875）Emai:[e-mail]摘要:本文针对如何在影院选择一个好位子看电影，建立模型进行分析。由于座位的满意程度主要取决于视角和仰角，视角越大，仰角越小越合适，因此是一个多目标规划问题。本文先建立了模型1，采用主目标法找出了影院最优的一个位子。而后建立模型2，进行了巧妙的假设，提出了“基本视效”的概念将目标化为单一的一个，运用几何的方法，给出了各个座位的基本视效值，从而基本视效值大的座位满意度高。模型2的优点在于避免了其他方法，如权重法的主观性。因此模型也更加可信。此后，文章初步讨论了影院地板倾斜角度的问题。关键词：多目标规划视角仰角几何基本视效一、引言有效视角是指人的有效视觉范围，一般，双眼正常有效视角大约为水平90°，垂直70°，考虑双眼余光时的视角大约为水平180°，垂直90°。观影时的视角是观众眼睛到屏幕上、下边缘视线的夹角。经医学实验得知：10°以内是视力敏锐区，即中心视野，对图像的颜色及细节部分的分辨能力最强。20°以内能正确识别图形等信息，称为有效视野。20°～30°，虽然视力及色辨别能力开始降低，但对活动信息比较敏感，30°之外视力就下降很低了。但是人们又发现，若观看一幅宽大的画面时，视角大到一定值后，观看者会感到和画面同处一个空间，给人带来一种身临其境的艺术效果。即虽然图像内容是二维平面的，但结合在一起后，平面的图像能呈现出立体感，这种效果在观察大画面图像时，会令人感觉出画面有自然感和动人逼真的临场感。也就是说观影时，视角越大，越能达到一种身临其境的满足感。但是观影时若只考虑视角的大小而忽略了仰角、斜角也是不行的，其中仰角指观众眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的夹角。例如，坐在第一排看电影，虽然视角很大，但观影者须在这个观影过程中仰头，整个过程也不一定享受，一般仰角越小，观影过程越舒适。同样，定义斜角为观众眼睛到屏幕左、右边缘视线与水平线的夹角中大的角度值，那么坐的越偏，斜角越大，座位过偏时，也会导致颈部向一侧扭曲，甚是难受，无疑坐的越靠近影院中轴线，斜角越小，越舒适。由上面的分析，在影院看电影时，座位过偏、过前，整个过程要么扭颈斜视，要么“曲项向天”，着实难受，座位太后，又视觉不够震撼，不够享受。怎样选择一个好座位呢，下面我们就进行建模，找出其尽量的实际的答案。具体考察某大学的影院，其中中央部分约200个座位。--1下图为影院剖面简图，只画出中央部分的座位，且台阶型座位只简化为3级。屏幕座位二、模型的建立模型1：寻找最优位置显然，最优的位置一定位于影院最中央的一列座位，所以这个模型所选择的范围就缩小了。1)模型的假设A.假设影院的座位面为与水平面夹角为θ的倾斜面（如下图所示）屏幕座位θ观众ηδB.不考虑人们视力的影响，即坐在后排的人与坐在前排的人的观影清晰度相同。--2不考虑中间座位与旁边座位进出方便程度的影响。D.只从中间部分的座位选择。E.忽略观众头顶到眼睛的距离。F.忽略观众两眼间的距离。G.将每个座位所在区域视为一个矩形，观众的眼睛位于矩形的上面一条边的垂直地面的中线上。下图为影院侧面简图屏幕HhH-hθαβdDLlλ线影院侧视图s1H1a2)参量变量H：屏幕上边缘到地面的高度h：屏幕的高度H1:最后一排距地面的高度α：观众眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的有向夹角β：观众眼睛到屏幕下边缘视线与水平线的有向夹角θ：近似座位面与水平面所夹的二面角d：第一排座位与屏幕的水平距离D：最后一排座位与屏幕的水平距离s1：观众眼睛到屏幕的水平距离l：观众所处的座位面上的点到水平面的距离L：观众眼睛到水平面的距离a：观众平均坐高λ线：观众眼睛所在位置构成的直线经过实地测量，影院中央部分的座位有14排×13列，座位与座位之间左右间隔0.54--3米，前后间隔1米。并测量、计算得到了下列参数的具体数值（长度单位均为米）：H4h3D18d4a1.1H13θ12.1°tanθ3/143)模型的求解因为经过如上假设，最佳的位置一定位于影院最中央的一列座位，所以问题便转化成一个平面几何问题。为达到“视角尽可能大，仰角尽可能小”的目的，就是在λ线上选择合适的点使得角（α+β）尽量大，但角α尽量小。由于α和β的变化范围都在-90°-90°之间，所以可以用函数arctan来衡量角的大小。如图所示，tan=αH-Ls1,L-(H-h)L+h-Htan=s1s1β=。所以α=H-Larctans1，L+h-H=arctans1β（注意，L+hH时为正），那么，问题进一步转化为H-Larctans1+L+h-Harctans1尽量大，而H-Larctans1尽量小。而后一目标可简化为H-Ls1尽量小，即s1H-L尽量大。用数学语言写为：f1(s)=s1H-Lf2(s)=H-Larctans1+L+h-Harctans1F（s）=[f1(s1),f2(s1)]T在解的可行域R内,求多目标的极值问题可记为：1max(1)sRFs∈这是一个典型的多目标优化问题，一般，在解决这类问题时，要用“化多为单”的方法。下面就用“主目标优化法”对模型进行求解。所谓“主目标法”[2]就是分清目标的主要与次要，主要的目标必须达到，所以这种方法就是使主目标优化，而使其他的目标降为约束条件。进一步分析，人们在观影时，视角大能达到更好的震撼效果，这也是人们进电影院看电影的原因，而通过调整颈部的扭转角度，只要角度不是很大，是不会给人的身体带来太大的不适感的，特别是当电影内容比较精彩时，人们更会忽略颈部的不适感，而更追求观影的视觉效果。查资料知，当仰角不大于20°时，短时间的观影不会给人体带来太大的不适感。也就是说，视角大给人们带来的满足感比仰角小给人们带来的舒适感更重要。所以f2(s1)为主要目标，f1(s1)降为约束条件f2(s1)tan(20°)。那么问题转化为一个非线性规划：--4(s1)d≤s1D≤f1(s1)tan(20°)在求f2(s1)极值时，利用f2’(s1)=0,即：H-LL+h-H(arctan)'(arctan)'s1s1+=0222201()1()LHHLhsHLsLhH−−−+=+−++−将L=（s1-d）*tanθ+a=(s1-4)*3/14+1.1,H=4,h=3,代入整理得2223(14)3(14)2.90.1141403(14)3(14)1(2.9)1(0.1)1414ssssss−−−+−=−−+−++2用matlab解得s1=1.62234画出f=H-LL+h-H(arctan)'(arctan)'s1s1+的图像（见下图）由图像看出f2(s)=H-Larctans1+L+h-Harctans1的导数值恒负46810121416-0.11-0.1-0.09-0.08-0.07-0.06-0.05-0.04-0.03-0.02-0.01进一步，算出各排的视角值排数1234567视角35.81631.02326.98823.721.031846.817.042排数891011121314视角15.53314.25713.16712.22511.40510.68610.05s1以及各排的仰角值--5视角是依排数递减的，再由约束条件f2(s1)tan(20°)，所以应该坐在第5排中央的位子。这是一个有效解。即在所有可行解中找不到比它更好的解。模型2：寻找好位置最优位置只有一个，去抢座位看电影的同学能竞争到那个位子可谓十分不易，那么下面我们就来进一步分析，在抢不到最优位置的情况下，再选择哪里的位子可以达到一个也算不错的观影效果。下图为影院俯视图：s2wξδW座位区中轴面屏幕影院俯视图这样，问题就不能只考虑垂直的情况，还要考虑水平的情况，具体的说，就是如果最佳位置已有人坐了，而它旁边和后面的位置都还空着，那么是坐在最佳位置的后面还是坐在最佳位置的旁边，可以更好的享受这次观影呢？同样，在考虑水平的情况时，根据人的视觉感受，坐的太偏离屏幕中心，需扭转颈部才能达到更好的观影效果，因此，和水平情况的讨论结果相同，水平视角δ越大越好，斜角ξ越小越好。于是，问题就变成一个空间立体几何问题，考虑到对称性，我们只讨论最中间一列位置和它左边区域的位置。而同时讨论水平视角δ、水平斜角ξ、垂直视角η、垂直--6仰角α，就是说有四个目标要优化，无疑使问题得讨论非常复杂，在衡量目标的主次上也会比两两比较困难。所以，为化简问题，我们将四个目标化简为1个------“基本视效”。定义为：人直视屏幕时，屏幕在人的视野中所占比例。1模型的假设A.人的观影感受只与视觉感受与颈部舒适度有关。B.忽略人头顶到眼镜的距离，忽略人两眼之间的距离。C.人的有效视野为椎定为20°的正4棱锥，人只能看见以其眼睛为锥定，锥角为20°的4棱锥范围内的事物。且忽略围墙和屋顶的阻挡作用（如下图所示）屏幕座位θ观众L2D.将每个座位所在区域视为一个矩形，观众的眼睛位于矩形的上面一条边的垂直地面的中垂线上。2比模型1增加的参量、变量w：屏幕宽W：一排座位的总宽度s2：观众眼睛到影院中轴面的距离σ：屏幕所在的区域--7ϕ：屏幕所在的平面ψ：观众眼睛所在的平面Sσ：视线4棱锥在平面的投影与σ区域重合部分的面积SP：视线锥在屏幕所在平面的投影面积L2：观众眼睛距屏幕中截面的高度k:基本视效值Sσ/SP测量得w=3米W=7米3模型的解释此模型将人的视线看成光线，于是眼睛被看成一个特殊的光源，只能射出一个正4棱锥形的光束，锥角固定为20°。那么，看电影的问题就转化成投影问题。即光源垂直地向屏幕所在的平面ϕ发射光线，最终在ϕ平面上得到一个正方形光区，那么屏幕与光区重合部分在光区中所占比例越大，基本视效越好。依据此思想，建立3维直角坐标系，分析此问题。如图，以屏幕的中心为坐标原点O,建立{O；}单位右手标架。使向量张成平面s1s2L2oPσϕijkj,,ijk,ijϕ，空间中任一点A（s2，s1，L2）关于单位右手正交基{}的分量就为三元有序,,ijk实数组（s2，s1，L2）。其中s2的几何意义为观众眼睛到影院中轴面的距离，s1的几何意义为观众眼睛到屏幕的水平距离，L2的几何意义为观众眼睛距屏幕中截面的有向高度。观众的眼睛P在平面ψ上移动，由模型1的假设ψ面可以参数化：r=r(s2,s1)=(s2,s1,H-h/2-1-d)tan(sθ)，那么当观众眼睛在ψ面上移动时，以P为定点的4棱锥在空间内做平移运动，图中阴影部分为4棱锥在ϕ平面的投影与σ区域的重合部分，则随点P的运动，阴影与投影部分的面积及其二者的比例比值k也会发生变化。--8模型的求解为使基本视觉效果达到最好，则只需在ψ面上找一点P，最大。左图为一列使得其对应的k值s2oL2平面图：空间内一点P（s2,s1,L2）在该平面的投影点为（s2,L2），由于只考虑影院最中间位置和它左边区域的位置，所以0≤s2≤3.5,4≤s1≤17,-1.4≤L2≤1.5。且投影点只在Ⅰ、Ⅳ象上述4锥在此平面截出一个、右边的距离为：1.5-L2，L2+1.5，|1.5-s2|,s2+1.5L2s2(s2,L2)屏幕-1.51.5-1.51.5oⅠⅣx1x2y1y2Ⅴ限运动。以P点为顶点的棱正方形，其边长为2*s1*tan(10°)=1.4*s1,其到屏幕上、