正弦稳态电路分析

第九章正弦稳态电路分析概述：用相量法处理正弦交流电路的各种问题。§9-1阻抗和导纳•一个无源正弦稳态电路的端口电压、电流相量之比定义为该端口的阻抗，也称为复阻抗，用Z表示。N0+－IUIUIUZui－＝ＺZdefＺ→阻抗的模；•图形符号:Z•单位:Ω一、阻抗1.定义ｚ→阻抗角。关于阻抗的说明:①阻抗Z是复数,不是相量;②阻抗Z的代数式:Z=R+jX,实部R=Ｚcosｚ称为电阻,虚部X=Ｚsinｚ称为电抗;③电抗X可正可负,当X0时,即ｚ0,称Z是感性的;当X0,即ｚ0,称Z是容性的;当X=0时,即ｚ=0,称Z是阻性的;④电阻R的阻抗ZR=R;电感L的阻抗ZL=jωL,其电抗XL=ωL,称之为感抗;电容C的阻抗ZC=－j／(ωＣ),其电抗XC=-1/（ωC）,称之为容抗;⑤阻抗Z也称为输入阻抗,等效阻抗或驱动点阻抗。由Z=R+jX=Ｚｚ可得22XRZRXarctgZ2.阻抗三角形Ｚ、R、X之间关系可用直角三角形表示，称为阻抗三角形。ZZRX另:Z通常为ω的函数Z(jω)=R(ω)+jX(ω),R(ω)称为电阻分量,X(ω)称为电抗分量。二、导纳1.定义•阻抗Z的倒数定义为导纳,用Y表示UIUIZY1ui－＝YY单位S①导纳Y的代数式:Y=G+jB,实部G=YcosY称为电导,虚部B=YsinY称为电纳;②电导G的导纳YG=G;电感L的导纳YL=－j/(ωL),其电纳BL=-1/ωL,称之为感纳;电容C的导纳YC=jωＣ,其电纳BC=ωC,称之为容纳;③导纳Y也称为输入导纳,等效导纳或驱动点导纳。由Y=G+jB=YY可得22BGYGBarctgY2.导纳三角形Y、G、B之间关系可用直角三角形表示，称为导纳三角形。YYGB另:Y通常为ω的函数Y(jω)=G(ω)+jB(ω),G(ω)称为电导分量,B(ω)称为电纳分量。三、阻抗和导纳的关系•对同一电路而言，其阻抗和导纳为倒数关系，因此有222211BGBjBGGjBGYjXRZ222211XRXjXRRjXRZjBGY★一般情况下GR1BX1例1：已知Z1=10+j6.28,Z2=20-j31.9,Z3=15+j15.7。ZZZZZZZZ321213abZ1Z2Z3ab求Zab。9.312028.610)9.3120)(28.610(2121jjjjZZZZZooo5.4045.3961.5765.3713.3281.1186.289.10jΩjjjoab6.359.3156.1889.2586.289.107.15153ZZZ四、阻抗串联ZZ1Z2+++---U1U2UIn个阻抗串联，其等效阻抗为Zeq=Z1+Z2…+Zn•各个阻抗的电压分配为UZZUeqKK,K=1,2,…n五、导纳并联•n个导纳并联，其等效导纳为Yeq=Y1+Y2…+Yn各个导纳的电流分配为IYYIeqKK,K=1,2,…nIY+-UY1Y21I2I例2：已知RLC串联,R=50,L=200mH,C=100F,电源电压为:Vtu)30314cos(2220试求感抗,容抗,电抗,阻抗及各元件上的电压。解:感抗:XL=L=62.8容抗:XC=－(C)-1=－31.8电抗:X=XL+XC=31阻抗:Z=R+jX=50+j318.318.58ZU欧姆定律ZU8.318.58302208.174.3RUR:电阻508.1187LjUL:电感8.62j2.88235CjUC:电容8.31j8.91119LRuC例3:已知:,/314,100,10,500,10,100021sradVUFCmHLRR求:各支路电流。Z1Z2R2+_Li1i2i3R1CuUR2+_R11I2I3ICj1Lj解：画出电路的相量模型13.28911.923.7245.3037.175.1049901047.31847.3181000)47.318(10001)1(3111jjjCjRCjRZ1571022jLjRZZ1Z2UR2+_R11I2I3ICj1Lj3.5299.16613.13211.1021571013.28911.9221jjjZZZAZUI3.526.03.5299.16601001AjICjRCjI20181.03.526.07.175.104947.31811112AICjRRI7057.03.526.07.175.104910001111310.62cos(31452.3)itAAZUI3.526.03.5299.16601001AjICjRCjI20181.03.526.07.175.104947.31811112AICjRRI7057.03.526.07.175.104910001111320.1812cos(31420)itA30.572cos(31470)itA瞬时值表达式为：解毕！已知平衡电桥Z1=R1,Z2=R2,Z3=R3+jL3。求：Zx=Rx+jLx。由平衡条件：Z1Z3=Z2Zx得R1(R3+jL3)=R2(Rx+jLx)∴Rx=R1R3/R2,Lx=L3R1/R2例4：解：Z1Z2ZxZ3*|Z1|1•|Z3|3=|Z2|2•|Zx|x|Z1||Z3|=|Z2||Zx|1+3=2+x☻§9-2电路的相量图一、相量图的定义•利用电压、电流相量在复平面上所作图形。•相量图直观反映各相量的的相位关系。二、画图的基本原则•以并联电路的电压相量、串联电路的电流相量为参考相量；•再根据VCR、KCL、KVL等作出其他相量。三、画相量图步骤:1.选取参考相量:串联选电流并联选电压2.写出电压、电流相量关系式：3.元件和支路的电压、电流相量关系：元件：R：电压与电流同相L：电压超前电流90ºC：电流超前电压90º支路：RL支路：电压超前电流角RC支路：电流超前电压角090例：+.U_jL.UL.IR-j/C.UR.UCabcd.U.I.UR.UL.UCa.IbcdG+.U－.ILjBC-jBL.IC.IG.I.U.I.IG.IC.IL.U.I.IG.IC.IL例：IR=3A，IL=5A，Us=6V，=103rad/s。相位差为90，确定R、L、C。.UL+.US－.IC.IR.IL.UCSUCU和解:画相量图:以为参考相量CURCUU可画出、、RIRICICI可画出CRLIIILI可画出LULUSUSU应满足SCLUUU设角θθ2222534CLRIIIA113coscos53.15RLII6cos,10cos0.6SLSLUUUUVsin100.88,CLUUV83CRURI812,5004CCCCUXCFIX102,25LLLLUXXLmHI例.2I正弦稳态电路如图示，已知电压表V读数为220V，V1读数为100V，电流表A2读数30A，A3的读数20A，功率表读数1000W。求各元件参数R、X1、X2和X3。2解：用相量法，设：V022UU则：A10j,A20j,A30j32132IIIIIΩ1010/1000/,22121IPRRIP*VWV1A2A3*R2jX1jX3jXSU+–2U+–1U+–3I1IΩ1010)210(222211RZX设：1111jφZXRZΩ210102100111IUZ则45arctg11RXφV452100A901010j11UI100j100100j1002221SUUUUUV96100100220,100)100(2222222SUUUΩ8.420/96/,Ω2.330/96/323222IUXIUX2I*VWV1A1A2*R2jX1jX3jXSU+–2U+–1U+–3I1I2I*VWV1A1A2*R2jX1jX3jXSU+–2U+–1U+–3I1I2U1URULUSU1I2I3ILRSUUUUUU121321III135°135cos22121222UUUUUS0220)2100()22(2100222222UU,028400200222UU（负值舍去）VU962VUVUXRS2202100451010111此题亦可用相量图分析。补充：三角函数及定理Abccbacos2222余弦定理：csinbsinasinCBA正弦定理：CBAabc。；；；；；；；2)(sin2)(sin2coscos2)(cos2)(cos2coscos2)(cos2)(sin2sinsin)sin()sin(cossin2)cos()cos(coscos2)cos()cos(sinsin2sin)90cos(;cos)90sin(sin212cos;cossin22sin2§9-3正弦稳态电路分析•正弦电路分析与电阻电路基本相同，只是各个电量用相量表示而已；•电阻电路中的各种定理、解题方法同样适用，只是以相量形式出现；•复数运算应仔细。电阻电路与正弦电流电路相量法分析比较：GuiRiuui:0:KVL0:KCL:或元件约束关系电阻电路:0:KVL0:KCL:UYIIZUUI或元件约束关系正弦电路相量分析可见，二者依据的电路定律是相似的。只要作出正弦电流电路的相量模型，便可将电阻电路的分析方法推广应用于正弦稳态的相量分析中。例1.如图:Z1=j20,Z2=j10,Z=40+-Z2Z1Zu1u2+-i1i2iaibi3tu314cos22201)20314cos(22202tu解:用网孔法22040)2040(baj(4010)4022020baj75.0125.0255.333.01jj4.151.1354.315.30jA20.80.941.23130.40IjA求i1、i2、i3。3124.952.085.3722.79IIIjA例2.用叠加定理计算电流2IZ2SIZ1Z32ISU+-.Ω,ΩA,V,oooSoS305030500445100:331ZZZIU已知Z2SIZ1Z3'2IZ2Z1Z3''2ISU+-:)()1(SS短路单独作用UI解：323S2'ZZZIIA3031.235030200oo:)()2(SS开路单独作用IU32S2''ZZUIA135155.135045100oo'''222IIIA9.1523.1o列写电路的回路电流方程和节点