第二章、模糊控制理论基础

第二章模糊控制理论基础第一节引言一、模糊控制的发展二、模糊控制的特点1、无需知道被控对象的数学模型2、是一种反映人类智慧思维的智能控制。3、易于被人们所接受（核心：控制规则）4、构造容易5、鲁棒性好。模糊控制采用人类思维中的模糊量，如“高”、“中”、“低”等，且控制量由模糊推理导出。三、模糊控制器构造技术1、硬件：采用传统的单片机软件：实现模糊推理和控制2、模糊单片机或集成电路芯片3、可编程门阵列第二节模糊集合论基础一、模糊集的概念二、模糊集合的运算三、隶属函数的建立四、模糊关系一、模糊集的概念集合：具有某种特定属性的对象的全体。集合中的个体通常用小写英文字母如：u表示；集合的全体又称为论域通常用大写英文字母如：U表示。uU表示元素（个体）u在集合论域（全体）U内。集合表示法(经典集合)：(1)列举法：将集合的元素全部列出的方法。(2)定义法：用集合中元素的共性来描述集合的方法。(3)归纳法：通过一个递推公式来描述一个集合的方法。(4)特征函数表示法：利用经典集合论非此即彼的明晰性来表示集合。因为某一集合中的元素要么属于这个集合，要么就不属于这个集合。例2-1设集合U由1到5的五个自然数组成，用上述前三种方法写出该集合的表达式。解：(1)列举法U={1,2,3,4,5}(2)定义法U={u|u为自然数且1u5}(3)归纳法U={ui+1=ui+1,i=1,2,3,4,u1=1}1()0UuUTuuU特征函数表示法：集合U通过特征函数来TU(u)表示经典集合论中任意一个元素与任意一个集合之间的关系，只是“属于”或“不属于”两种，两者必居其一而且只居其一。它描述的是有明确分界线的元素的组合。用经典集合来处理模糊性概念时，就不行。对于诸如“速度的快慢”、“年龄的大小”、“温度的高低”等模糊概念没有明确的界限。经典集合对事物只用1、0简单地表示“属于”或“不属于”的分类；而模糊集合则用“隶属度(Degreeofmembership)”来描述元素的隶属程度，隶属度是0到1之间连续变化的值。模糊集合特征函数隶属度函数（0～1连续变化值）例：人对温度的感觉(0C~40C的感觉)：“舒适”的温度：15C~25C“热”：25C以上“冷”：15C以下经典集合对温度的定义0152540冷热(T)1.0舒适温度C0152540(T)1.0冷热舒适温度C模糊集合对温度的定义经典集合：14.99C属于“冷”；15.01C属于舒适。与人的感觉一致吗？设U为一可能是离散或连续的集合，用{u}表示，论域（UniverseofDiscourse）：U所有元素组成的全集元素：u定义2-1模糊集合：论域U中的模糊集合F用一个在区间[0,1]上的取值的隶属函数F来表示，即：F：U[0,1]F(u)=1：u完全属于U；F(u)=0：u完全不属于U；0F(u)1：u部分属于U。uF（映射）（隶属函数F：u隶属于F的程度）U中的模糊集F可以用元素u和它的隶属度来表示：F={(u,F(u))|uU}例2-2设F是远大于0的实数集合（显然F是模糊集合，而论域U表示全部实数集合），U中任一元素u隶属模糊集合F的隶属度F(u)可有下式来定义：可算出F(5)=0.2,F(10)=0.5,F(20)=0.8可见F(u)是U到闭区间[0,1]的映射。510200.20.50.8U[0,1]F(u)F(u)=0x0x0211001u1、论域U为离散域（即论域U是有限集合）(1)查德表示法(2)序偶表示法F={(u1,(u1)),(u2,(u2)),…,(un,(un))}(3)向量表示法F={(u1),(u2),…,(un)}（元素u按次序排列）F=1()/niiFiuu1.00.90.750.50.20.1012345F例：F={(0,1.0),(1,0.9),(2,0.75),(3,0.5),(4,0.2),(5,0.1)}例：F={1.0,0.9,0.75,0.5,0.2,0.1}模糊集合的表示方法：例：集合F表示接近于0的整数（已知论域U={0,1,2,3,4,5}）2、论域为连续域/FFu例以年龄为论域，取。Zadeh给出了“年轻”的模糊集F，其隶属函数为0,100U121025()251251005Fuuuu02040608010012000.10.20.30.40.50.60.70.80.91XYearsDegreeofmembership“年轻”的隶属函数曲线2102525100251/[1()]/5uuuFuu模糊集合表示为：模糊集合的表示方法：()0()AAuuU二、模糊集合的运算（1）空集模糊集合的空集的隶属度为0，即（2）全集模糊集合的全集的隶属度为1，即()1()AAUuuU（4）等集两个模糊集A和B，若对所有元素u，它们的隶属函数相等，则A和B也相等。即)()(uuBABA（3）子集（包含于）若B为A的子集，则()()()BABAuuuU(,())ABFU定义：设A、B为U中的两个模糊子集，隶属函数分别为A和B，则模糊集合中的并、交、补等运算按如下定义：A∪B=A(u)B(u)式中，符号“”为取大值运算。A∩B=A(u)B(u)式中，符号“”为取小值运算。定义2-6补：模糊集合A的补隶属函数Ā对所有的uU被逐点定义为：定义2-4并：并(A∪B)的隶属函数A∪B对所有的uU被逐点定义为取大运算，即：定义2-5交：交(A∩B)的隶属函数A∩B对所有的uU被逐点定义为取小运算，即：Ā=1-A(u)则A、B的并运算：则A、B的交运算：123450.60.510.40.3Auuuuu123450.50.60.30.40.7Buuuuu123450.60.50.50.610.30.40.40.30.7ABuuuuu123450.60.610.40.7uuuuu123450.60.50.50.610.30.40.40.30.7ABuuuuu123450.50.50.30.40.3uuuuu例2-3设论域U={u1,u2,u3,u4,u5}中的两个模糊子集为：A的补运算：1234510.61-0.51-11-0.41-0.3Auuuuu123450.40.500.60.7uuuuu()()ABCABC()()()ABCABACAUAA定理2－1模糊集运算的基本定律：设U为论域，A，B，C为U中的任意模糊子集,则下列等式成立：（2）分配律（1）结合律()()ABCABC()()()ABCABAC（3）同一律（4）零一律、上面定义的模糊集合运算是采用Zadeh算子来进行的。AUUAA引入概率算子和有界算子：定义2-7称、+为概率算子，对a,b[0,1],有：^ab=aba+b=a+b-ab^由定义可知，如a,b[0,1],则ab[0,1],a+b[0,1]。^定义2-8设A,BF(U),则定义代数运算：(1)A与B的代数积记作AB，运算规则由下式确定：AB(u)=A(u)B(u)uUA+B(u)=A(u)+B(u)-A(u)B(u)uU^(2)A与B的代数和记作A+B，运算规则由下式确定：^定义2-9称、为有界算子，对a,b[0,1],有：ab=max(0,a+b-1)ab=min(1,a+b)可以证明：a,b[0,1],0max(0,a+b-1)1、0min(1,a+b)1定义2-10设A,BF(U),则定义有界运算：(1)A与B的有界积记作AB，运算规则由下式确定：AB(u)=max(0,A(u)+B(u)-1)uU(2)A与B的有界和记作AB，运算规则由下式确定：AB(u)=min(1,A(u)+B(u))uU模糊集合是用隶属函数描述的。三、隶属度函数的建立隶属度函数：模糊集合的特征函数（取值范围在[0,1]区间）确定隶属度函数的方法具有主观性，但主观的反映和客观的存在有一定的联系，是受客观制约的。由于模糊集理论的研究对象具有”模糊性”和经验性,因此找到一种统一的隶属度计算方法是不现实的。确定隶属函数应遵守的一些基本原则：1、表示隶属度函数的模糊集合必须是凸模糊集合例:适中速度的集合是模糊集合。可表示为:“适中速度”=0/30+0.5/40+1/50+0.5/60+0/70从最大隶属度函数点向两边延伸时,其隶属函数的值是必须是单调递减的,而不允许有波浪形。凸模糊集合：隶属函数呈单峰馒头形。0x凸模糊集合非凸模糊集合203050709500.20.40.60.81速度（语言变量）Degreeofmembership适中低高51002、变量所取隶属度函数通常是对称和平衡的。很低很高标称名：语言值(个数适中：3～9个（奇数）)语言值的个数和规则数成正比。00.1适中高很高32)/(1hkm速度3、隶属度函数要符合人们的语言顺序，避免不恰当的重叠注意：间隔的两个模糊集合隶属度函数尽量不相交。围附近模糊隶属函数的范重叠范围重叠率＝12()2()UAALdxUL重叠鲁棒性＝重叠指数：衡量隶属度函数与模糊控制器性能关系的一个重要指标。重叠指数：重叠率、重叠鲁棒性重叠指数的定义附近隶属函数的范围LUA1A2x00.51.0重叠范围L‘U’5.01A2A2030405010)/(1hkm速度30例：333.030/10重叠率＝40301100.52(4030)20dx重叠鲁棒性＝(0.2~0.6为宜)(0.3~0.7为宜)重叠率和重叠鲁棒性越大，模糊控制模块模糊性越强，规则越多，越复杂，精度越高。解：求重叠率和重叠鲁棒性1、模糊统计法通常的方法是，初步确立粗略的隶属函数，然后在通过“学习”和不断的实践来修整、完善。隶属度函数确立的方法：四种方法：基本思想：论域U上的一个确定的元素v0是否属于一个可变动的清晰集合A*作出清晰的判断。对于不同的实验者，清晰集合A*可以有不同的边界。但它们都对应于同一个模糊集A。年轻人17-30岁20-35岁模糊集A清晰集A1*清晰集A2*所有人论域Uv0A(1.56)＝?隶属度函数确立的方法：00AvAvn的次数对的隶属频率＝试验总次数计算步骤：在每次统计中，v0是固定的（如某一年龄），A*的值是可变的，作n次试验,则模糊统计公式：例：求中等身材的集合A及μA(1.64)选10人，每人确定A*的元素，假设10个人所确定的A*分别是：1.60~1.691.63~1.701.65~1.751.56~1.701.62~1.731.65~1.721.64~1.731.60~1.691.69~1.751.69~1.77110A(1.56)=＝0.1310A(1.60)=＝0.3……610A(1.64)=＝0.6110A(1.77)=＝0.10.11.56AF0.30.610.50.1=+++++1.601.641.691.731.77610A(1.64)=＝0.6∴①随着n的增大，隶属频率会趋向稳定，这个稳定值就是v0对A的隶属度。②计算量大。模糊统计法的特点：2、例证法：从有限个隶属度值，来估计U上的模糊集A的隶属度函数。3、专家经验法：根据专家的经验对每一现象产生的各种结果的可能性程度，来决定其隶属度函数。4、二元对比排序法通过对多个事物之间的两两对比，来确定某种特征下的顺序，由此来决定这些事物对该特征的隶属函数的大体形状。二元对比排序法分为：相对比较法、对比平均法、优先关系定序法、相似优先对比法。相对比较法：论域U中元素v1,v2,…vn，要对论域中的元素按某种特征进行排序，