2016届新课标一轮复习理科数学课件第7讲函数的奇偶性、周期性和对称性

第7讲函数的奇偶性、周期性和对称性【学习目标】1．理解函数奇偶性的概念，了解函数周期性的定义，判断函数的奇偶性．2．利用函数奇偶性、周期性求函数值及参数值．3．掌握函数的单调性与奇偶性的综合应用．【基础检测】1．若奇函数f(x)＝3sinx＋c的定义域是[a，b]，则a＋b＋c等于()A．3B．－3C．0D．1【解析】由于函数f(x)是奇函数，且定义域为[a，b]，所以a＋b＝0，又因为f(0)＝0，得c＝0，于是a＋b＋c＝0.故选C.C2．设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是()A．|f(x)|－g(x)是奇函数B．|f(x)|＋g(x)是偶函数C．f(x)－|g(x)|是奇函数D．f(x)＋|g(x)|是偶函数【解析】设F(x)＝f(x)＋|g(x)|，由f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，得F(－x)＝f(－x)＋|g(－x)|＝f(x)＋|g(x)|＝F(x)，∴f(x)＋|g(x)|是偶函数．故选D.D3．已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递减，则满足不等式f(2x－1)f53成立的x的取值范围是()A.－13，43B.－13，43C.13，43D.13，43【解析】因为偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递减，所以f(x)在区间(－∞，0]上单调递增，若f(2x－1)f53，则－532x－153，解得－13x43.故选B.B4．设函数f(x)与函数y＝g(x)的图象关于直线x＝3对称，则()A．g(x)＝f32－xB．g(x)＝f(3－x)C．g(x)＝f(－3－x)D．g(x)＝f(6－x)【解析】设点P(x，g(x))为函数y＝g(x)图象上任意一点，又点P(x，g(x))关于直线x＝3的对称点为P′(6－x，g(x))，因为函数f(x)与函数y＝g(x)的图象关于直线x＝3对称，所以点P′(6－x，g(x))在函数f(x)的图象上，因此f(6－x)＝g(x)，故选D.D5．若函数f(x)满足f(x)·f(x＋2)＝2，且f(3)＝2，则f(2015)＝____．【解析】由f(x＋2)＝2f（x）得f(x＋4)＝2f（x＋2）＝f(x)，∴4是函数f(x)的周期，∴f(2015)＝f(503×4＋3)＝f(3)＝2.2【知识要点】1．函数奇偶性的定义一般地，如果_______________________________：(1)都有________________，那么函数f(x)就叫做奇函数；(2)都有________________，那么函数f(x)就叫做偶函数．2．奇函数的图象是关于________成________对称图形，若奇函数的定义域含有数0，则必有__________；偶函数的图象是关于________成________对称图形，对定义域内的任意x的值，则必有__________________．对于函数f(x)的定义域内任意一个xf(－x)＝－f(x)f(－x)＝f(x)原点中心f(0)＝0y轴轴f(－x)＝f(x)＝f(|x|)3．奇、偶函数的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性．(2)在公共定义域内①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数；②两个偶函数的和积都是偶函数；③一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数．4．周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中有最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．5．三个重要结论(1)若对于R上的任意的x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)，且f(2b－x)＝f(x)(其中ab)，则y＝f(x)是以2(b－a)为周期的周期函数．(3)若f(x＋a)＝f(x＋b)(a≠b)，那么函数f(x)是周期函数，其中一个周期为T＝|a－b|.一、判定函数的奇偶性例1判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝1－cosx＋sinx1＋cosx＋sinx；(2)f(x)＝x12x－1＋12；(3)f(x)＝log2x＋x2＋1；(4)f(x)＝1－x2（x≥0），x2－1（x0）.【解析】(1)为非奇非偶函数．∵x＝－π2时，f(x)无意义，但x＝π2时，f(x)有意义，故f(x)的定义域关于原点不对称．(2)函数的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，且f(x)＝x2·2x＋12x－1.∵f(－x)＝－x2·2－x＋12－x－1＝x2·2x＋12x－1＝f(x)，∴f(x)为偶函数．【分析】定义域关于原点对称是函数具备奇偶性的必要条件，故判断奇偶性首先考虑定义域，再判断f(－x)＝±f(x)是否成立．(3)函数的定义域为R，∵f(－x)＝log2(－x＋（－x）2＋1)＝log2(x2＋1－x)＝log21x2＋1＋x＝log2(x＋x2＋1)－1＝－log2(x＋x2＋1)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．(4)∵f(x)的定义域为R，当x＞0时，－x＜0，f(－x)＝(－x)2－1＝x2－1＝－f(x)；当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝1－(－x)2＝1－x2＝－f(x)；但当x＝0时，f(－x)＝1＝f(x)，故f(x)是非奇非偶函数．(本题也可画出草图观察)【点评】1.判断函数的奇偶性首先必须检验函数的定义域是否关于原点对称，然后检验对任意的x，是否有f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)成立，必要时，可对上式作变形处理：f(－x)±f(x)＝0.2．应记住函数奇偶性一些常见的结论．一般地，奇函数与奇函数的和为奇函数；奇函数与奇函数的积为偶函数；偶函数与偶函数的和为偶函数；偶函数与偶函数的积为偶函数；偶函数与奇函数的积为奇函数．任一定义在关于原点对称区间上的函数，都可以表示为一个奇函数与一个偶函数的和．二、函数的奇偶性的应用例2(1)若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ex，则g(x)＝()A．ex－e－xB.12(ex＋e－x)C.12(e－x－ex)D.12(ex－e－x)(2)已知函数f(x)＝－x2－4x，x≥0x2－4x，x0，若f(a－2)＋f(a)＞0，则实数a的取值范围是______．Da1【解析】(1)∵f(x)＋g(x)＝ex①∴f(－x)＋g(－x)＝e－x即f(x)－g(x)＝e－x②由①②得：g(x)＝12(ex－e－x)，选D.(3)已知函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且当x∈－∞，0时，f(x)＋xf′(x)0(其中f′(x)是f(x)的导函数)，若a＝30.3·f30.3，b＝logπ3·flogπ3，c＝log319·flog319，则a，b，c的大小关系是()A．abcB．cbaC．cabD．acbC(2)∵x＞0时，－x＜0，∴f(－x)＝x2＋4x＝－f(x)；x＜0时，－x＞0，∴f(－x)＝－x2＋4x＝－f(x)，又f(0)＝0，∴函数f(x)是奇函数∵f(a－2)＋f(a)＞0，∴f(a－2)＞f(－a)，∵函数f(x)＝－x2－4x，x≥0x2－4x，x0，∴h(x)＝－x2－4x在[0，＋∞)单调递减，h(x)max＝h(0)＝0g(x)＝x2－4x在(－∞，0)上单调递减，g(x)min＝g(0)＝0由分段函数的性质可知，函数f(x)在R上单调递减∵f(a－2)＞f(－a)，∴a－2＜－a，∴a＜1.(3)令F(x)＝xf(x)，则F′(x)＝f(x)＋xf′(x)，当x∈－∞，0时，fx＋xf′x0，所以F′(x)0，所以函数F(x)＝xf(x)在x∈－∞，0上为减函数．因为函数F(x)＝xf(x)为定义在实数上的偶函数．所以函数F(x)＝xf(x)在x∈0，＋∞上为增函数．则a＝30.3·f30.3＝F(30.3)，b＝logπ3·flogπ3＝F(logπ3)，【点评】应用函数奇偶性可转化函数的解析式，单调性和函数值．c＝log319·flog319＝Flog319，因为30.31，logπ31，log319＝－2，所以c＝Flog319＝F(－2)＝F(2)．因为函数F(x)＝xf(x)在x∈0，＋∞上为增函数，所以F(2)F(30.3)F(logπ3)，即cab，故选C.三、函数的周期性与对称性的应用例3(1)设函数f(x)定义在实数集R上，f(2－x)＝f(x)，且当x≥1时f(x)＝lnx，则有()A．f13f(2)f12B．f12f(2)f13C．f12f13f(2)D．f(2)f12f13C【解析】由f(2－x)＝f(x)可知函数关于直线x＝1对称，所以f12＝f32，f13＝f53，且当x≥1时，函数单调递增，所以f32f53f(2)，即f12f13f(2)，故选C.(2)已知函数y＝f(x)是R上的奇函数且满足f(x＋5)≥f(x)，f(x＋1)≤f(x)，则f(2015)的值为()A．0B．1C．2D．4【解析】∵f(x)≥f(x＋1)≥f(x＋2)≥…≥f(x＋5)≥f(x)，∴f(x＋5)＝f(x)∴5为函数f(x)的一个周期，∴f(x)≥f(x＋1)≥f(x＋5)＝f(x)∴f(x＋1)＝f(x)，1为函数f(x)的一个周期，∴f(2015)＝f(0)＝0.A(3)定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝log3（1－x），x≤0，f（x－1）－f（x－2），x0，则f(2015)＝_______．【解析】因为当x0时，f(x)＝f(x-1)－f(x-2)，所以f(x+1)＝f(x)－f(x-1)，所以f(x+1)＝－f(x-2)，即f(x+3)＝－f(x)，∴f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)所以函数的周期为6，故f(2015)＝f(5)＝f(4)－f(3)＝f(3)－f(2)－f(3)＝－f(2)＝－[f(1)-f(0)]＝f(-1)＝log32.Log32【点评】周期函数的一般规律：①若f(x＋a)·f(x)＝b(常数)，则f(x)的周期为2a(a＞0)；同理，②f(x＋a)＝－f(x)或f(x＋a)＝1f（x）或f(x＋a)＝－1f（x），均可推得f(x)的周期T＝2a(a＞0)．【解析】(1)证明：由题意知f(x)≠0，则f(x＋2)＝13f（x）.用x＋2代替x得f(x＋4)＝13f（x＋2）＝f(x)，故y＝f(x)为周期函数，且周期为4.(2)若f(1)＝2，则f(99)＝f(24×4＋3)＝f(3)＝13f（1）＝132.四、函数性质综合应用例4已知函数f(x)满足f(x)·f(x＋2)＝13.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)若f(1)＝2，求f(99)的值；(3)若当x∈[0，2]时，f(x)＝x，试求x∈[4，8]时函数f(x)的解析式．(3)当x∈[4，6]时，x－4∈[0，2]，则f(x－4)＝x－4，又周期为4，所以f(x)＝f(x－4)＝x－4.当x∈(6，8]时，x－6∈(0，2