初中数学竞赛辅导讲义

初中数学竞赛辅导讲义（初三）第一讲分式的运算[知识点击]1、分部分式：真分式化为另几个真分式的和，一般先将分母分解因式，后用待定系数法进行。2、综合除法：多项式除以多项式可类似于是有理数的除法运算，可列竖式来进行。3、分式运算：实质就是分式的通分与约分。[例题选讲]例1．化简2312xx+6512xx+12712xx解：原式=)2)(1(1xx+)3)(2(1xx+)4)(3(1xx=11x-21x+21x-31x+31x-41x=)4)(1(3xx例2．已知zzyx=yzyx=xzyx，且xyz0，求分式xyzxzzyyx))()((的值。解：易知：zyx=yzx=xzy=ｋ则)3()2()1(kxzykyzxkzyx（1）+（2）+（3）得：(ｋ-2)(x+y+z)=0ｋ=2或x+y+z=0若ｋ=2则原式=k3=8若ｘ+ｙ+ｚ=0，则原式=k3=-1例3．设12mxxx=1，求12242xmxx的值。解：显然X0，由已知xmxx12=1，则x+x1=ｍ+1∴22241xxmx=ｘ2+21x-ｍ2=(x+x1)2-2–ｍ2=(ｍ+1)2-2-ｍ2=2ｍ-1∴原式=121m例4．已知多项式3x3+ax2+3x+1能被x2+1整除，求ａ的值。解：1-ａ=0∴ａ=1例5：设ｎ为正整数，求证311+511+……+)12)(12(1nn＜21证：左边=21（1-31+31-51+……+121n-121n）=21（1-121n）∵n为正整数，∴121n＜1∴1-121n＜1故左边＜21[小结归纳]1、部分分式的通用公式：)(1kxx=k1（x1-kx1）2、参数法是解决比例问题特别是连比问题时非常有效的方法，其优点在于设连比值为K，将连等式化为若干个等式，把各字母用同一字母的解析式表示，从而给解题带来方便。3、整体代换及倒数法是分式的的求值中常用的方法，应熟练掌握。[巩固练习]1、若分式1222mm的值是正整数，则整数m=。2、若1432aaaa=2431aaaa=3421aaaa=4321aaaa=ｋ则k=。3、已知a2-3b2=2ab.(a＞0，b＞0),则baba2=.4、已知a、b、c是有理数，且baab=31，cbbc=41，acca=51，则cabcababc=。5、若x1-y1=2006，则yxyxyxyx260192=。6、实数a、b满足ab=1，设A=a11+b11，B=a1a+b1b+1，则A、B的关系为。7、当ａ、ｂ、ｃ为何值时，多项式baxxxx23433能被除数232xx整除？8、计算20072007200720072007752115=。9、已知)3)(23(322xxxxx=1AX+2BX+3CX，求A、B、C的值。10、若对于3以外的一切实数X，等式3xm-3xn=982xx均成立，则mn=11、已知ba=cb=ac，则cbacba=。第二讲分式方程及应用[知识点击]1、解分式方程的基本思路是去分母化分式方程为整式方程；2、解分式的方程的常用方法有：换元法、整体法、通分法等；3、分式方程广泛应用于生活实际中，要注意未知数的值既要是原方程的根，又要与实际意义相符。[例题选讲]例1．解方程组661091852xyyxyxyx分析：令yx1=m,yx1=n,则661091852nmnm可得：566nm易求：3121yx例2．解方程730468157264xxxxxxxx解：原方程可化为61711121xxxx两边分别通分：)6)(7(1)1)(2(1xxxx，易求：ｘ=4例3．当ｍ为何值时，关于x的方程21122xxxxxxm的解为正数？解：解方程可得：x=21m，需210xxx可得ｍ＜1且m≠-3。例4．设库池中有待处理的污水a吨，从城区流入库池的污水按每小时b吨的固定流量增加，若同时开动2台机组需30小时处理完污水，同时启动4台机组需10小时处理完污水，若要求在5小时内将污水处理完毕，那么至少要同时开动多少台机组？解：设1台机组每小时处理污水y吨，要在5小时内处理完污水，至少同时开动x台机组，则：xybaybayba551041030230可得ybya30X≥755yba例5．求证对任意自然数n，有222131211n＜2证明：当n=1时，1＜2显然成立。当ｎ＞1时，ｎ（ｎ-1）＜ｎ2所以21n＜nnnn111)1(1故：222131211n＜)111()3121()211(1nnn12＜2[点评归纳]1、当某个代数式在一个问题中多次反复出现时，我们可以把这个代数式当作一个整体去替换，使问题简化；2、假分式构成的分式方程一般先分离整数，然后等式两边分别通分可解。3、解分式方程要注意验根，在求分式方程中待定字母的值时往入容易忽略这一点。[巩固练习]1、某同学用一架不等臂天平称药品，第一次将左盘放入50g砝码，右盘放药品使天平平衡，第二次将右盘放入50g砝码，左盘放药品使天平平衡，则两次称得药品总质量（）A、等于100gB、大于100gC、小于100gD、都有可能2、用大小两部抽水机给麦田浇水，先用两部抽水机一起抽水2小时，再用小抽水机单独抽水1小时即可浇完，已知单独用小抽水机所用时间是大抽水机单独抽水所需时间的211倍，求两部抽水机单独浇完这块麦田各需多少小时？3、解方程13307223xxxxx=20724536112223xxxxx4、解方程52)10)(9(1)32(1)2)(1(1101xxxxxxx）（5、某工厂将总价2000元的甲种原料与总价4800元的乙种原料混合后，其平均价格比原甲种原煤料每斤少3元，比原乙种原料每斤多1元，问混合后的单价。6、自然数m、n是两个不同质数，且m+n+mn的最小值为P，则222pnm=7、已知mxxxf2372)(有因式32x，则ｍ=8、求112xxy的最大值。第三讲一元二次方程的解法[知识点击]1、一元二次方程的常规解法有：直接开平方、配方法、因式分解及求根公式法。2、对于复杂的一元二次方程往往要借助换元法、和差构造法等。3、含有字母系数的一元二次方程一般要分类型讨论。4、设而不求是研究一元二次方程公共解的基本方法。[例题选讲]例1．解方程161311112222xxxxxx解：令yxxx1122，则yy1=1613,解得321y，232y即321122xxx或231122xxx，解得2153,,1321xx例2．解方程8532xx-1532xx=1解：∵（8532xx+1532xx）（8532xx-1532xx）=7∴8532xx+1532xx=7①又8532xx-1532xx=1②①+②：8532xx=4易知：X2=1X2=38例3：已知m是方程X2-2007X+1=0的一个不为O的根求ｍ2-2006m+120072m的值解：∵ｍ为方程的非零根，∴ｍ2-2007ｍ+1=0可得ｍ2=2007ｍ-1，ｍ+m1=2007，ｍ2+1=2007ｍ原式=2007ｍ-1-2006ｍ+m20072007=ｍ+m1-1=2007-1=2006例4、设ａ、ｂ为实数，那么a2+ab+b2-ａ-2b的最小值为多少？解：原式：=a2+（b-1）a+（b2-2b）=(a+21b）2+43(b-1）2-1当a=ob=1时，最小值为-1例5：解方程ｍ2（x2-x+1）-ｍ（x2-1）=（ｍ2-1）ｘ解：原方程整理为：ｍ（ｍ-1）ｘ2-（2ｍ2-1）ｘ+ｍ（ｍ+1）=0[ｍｘ-（m+1）[（ｍ-1）ｘ-ｍ]=0ｍx=ｍ+1或（ｍ-1）ｘ=ｍ1）当ｍ≠0，ｍ≠1时，x1=mm1，x2=1mm2）ｍ=0，ｘ=03）ｍ=1时ｘ=2例6：方程（2007ｘ）2-2006×2008X-1=0的较大根为ｍ，方程2006x2-2007X+1=0的较小根为ｎ,求ｎ-ｍ的值解:方程①可化为(20072X+1)(X-1)=0X=-220071X2=1∵X2＞X1∴m=1方程②可化为(2006X-1`)(X-1)=0X1=-20061X2=1∵X1＜X2∴ｎ=20061n-m=20061-1=-20062005[点评归纳]1、有的方程某部分重复出现，或经过变形后产生重复出现的式子，可通过换元使方程简化而便于求解。2、含有两个无理根式且可化为一元二次方程的方程，若两个无理式的有理化因式与它的乘积等于一个常数，这时通常可用平方差公式构造两个无理式的和与它们的差，从而加减消去一个根式，可使方程简化并求解。3、一元一次方程的根是满足方程的未知数的值，由此得到的等式是许多代数式求值的依据，要灵活运用。[巩固练习]1、解方程：2x2+22x-3X-x3=2、解方程：237XX+145XX=3、解方程：x2-|2X-1|-4=4、三个二次方程ax2+bx+c=0，bx2+ｃｘ+ａ=0，cx2+ａｘ+ｂ=0有公共根，求证ａ+ｂ+ｃ=05、已知a、b、c均为实数，且满足122aa+|ｂ+1|+(ｃ+2)2=0试求方程ax2+ｃｘ-ｂ=0的解6、求证方程（ａ-ｂ）x2+（ｂ-ｃ）x+ｃ-ａ=0（a≠b）有一个根为1。7、设方程x2+px+q=的两根为X1、X2，且I1=x1+X2I2=x21+x22……In=xn1+xn2则当n≥3时，求In+PIn-1+qIn-2+的值。8、证明：不论X为何实数，多项式2x4-4x2-1的值总大于x4-2x2-4的值。9、已知a2-4a+b2-2b+1665=0，则a2-4b=10、已知m、n为有理数，方程x2+mx+n=0有一个根为5-2，求m+n的值。11、已知ｍ2=ｍ+5，ｎ2=ｎ+5，ｍ≠ｎ，求ｍ5+ｎ5的值.12、二次方程a（x+1）（x+2）+b（x+2）（x+3）+c（x+3）（x+1）=13、解关于x的方程（ｍ-1）x2+2ｍx+ｍ+3=0第四讲根的判别式及根与系数的关系[知识点击]１、设一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为X1、X2，则ax2+bx+c=a（X-X1）（X-X2）=ax2-ａ（X1+X2）X+ａX1X2∴X1+X2=-abX1X2=ac这两个式子即为一元二次方程根与系数的关系。要注意，方程有两个实数根是两根关系式存在的前提，即通常要考虑ａ≠0、△≥0这两个前提条件。2、一元二次方程根的判别式源自求根公式，常记作△=b2-4ac，使用的前提是方程为一元二次方程，即二次项系数a≠0，它是解决一元二次方程整数解的工具。3、使用根的判别式及根与系数的关系时，常常涉及到完全平方数、整数性质、因式分解、因数分解等重要知识与方法。[例题选讲]例1：已知一直角三角形三边分别为a、b、c，∠B=90°，那么关于X的方程a（X2-1）-2CX+b（X2+1）=0的根的情况如何？解：方程整理为：（a+b）X2-2CX+b-a=0△=4（C2+a2-b2）∵∠B=90°∴C2+a2=b2∵△=0，原方程有两个相等实根例2：求所有正实数a，使得方程X2-aX+4a=0仅有正整数根。解：设方程的两个正整数根为X，y（X≤y）则axyayx4Xｙ-4（ｘ+ｙ）=0（ｘ-4）（ｙ-4）=164444yx这时x=y=8a=ｘ+ｙ=168424yx这时126yxa=ｘ+ｙ=1816414yx这时205yxa=ｘ+ｙ=25例3：已知12＜ｍ