弹性力学基础

弹性力学基础主要内容1.弹性力学的基本假设2.应力的概念、主应力及应力主向3.位移及形变．几何方程．刚体位移4.物理方程．弹性矩阵5.虚功及虚功方程6.两种平面问题7.轴对称问题8.薄板的弯曲问题1弹性力学的基本假设假设物体是连续的，不留任何空隙。故物体内的一些物理量，例如应力、应变、位移等，才可用坐标的连续函数来表示。假设物体是完全弹性的，不留任何残余变形。故温度不变时，物体在任一瞬时的形状就完全取决于它在这一瞬时所受的外力，它与过去受力情况无关。材料服从虎克定律，应力与应变成正比关系。假设物体是均匀的。假设物体是各向同性的。即物体内每一点各个不同方向的物理性质和机械性质都是相同的。假设物体的变形是微小的。2.应力的概念弹性体受外力以后，其内部将发生应力。为了描述弹性体内某一点P的应力，在这一点从弹性体内割取一个微小的平行六面体PABC，它的六面分别垂直于相应的坐标轴，如图1。应力分析图从图中看出：将每一面上的应力分解为一个正应力和两个剪应力，分别与三个坐标轴平行。正应力用字母σ表示。为了表明这个正应力的作用面和作用方向，加上一个下标，例如：正应力σx是作用在垂直于x轴的面上同时也沿着x轴方向作用的。剪应力用字母τ表示，并加上两个下标，前一个下标表明作用面垂直于哪一个坐标轴，后一个下标表明作用方向沿着哪一个坐标轴。例如：剪应力τxy是作用在垂直于x轴的面上而沿着y轴方向作用的。应力的正负方向如果某一个面上的外法线是沿着坐标轴的正方向，这个面上的应力就以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为负。相反，如果某一个面上的外法线是沿坐标轴的负方向，这个面上的应力就以沿坐标轴负方向为正，沿坐标轴正方向为负。剪应力互等定律根据微小平行六面体的平衡条件，作用在两个互相垂直的面上并且垂直于该两面交线的剪应力是互等的(大小相等，正负号也相同)。即：考虑到通过弹性体中的一点总可做出三个相互垂直的坐标平面，所以总共可得九个应力分量。即σx，τxy，τxz，σy，τyx，τyz，σz，τzx，τzy。由于剪应力互等，只有σx，σy，σz，τxy，τyz，τzx六个应力分量是独立的。由材料力学可知，如果这六个量在P点是已知的，就可以求得经过该点的任何面上的应力，以及该点的最大与最小的正应力和剪应力。因此，这六个量可以完全确定该点的应力状态，它们就成为在该点的应力分量。一般说来，弹性体内各点的应力状态都不相同，因此，描述弹性体内应力状态的上述六个应力分量并不是常量，而是坐标x，y，z的函数。6个应力分量的总体，可用如下应力矢量（或列阵）来表示：主应力及应力主向假定弹性体内任意一点P的6个应力分量为已知，试求经过P点的任一斜面上的应力。为此，在P点附近取一个平面QRS，如图2，它平行于这一斜面，与经过P点而垂直于坐标轴的三个平面形成一个微小的四面体PQRS。当平面QRS趋近于P点时，平面QRS上的应力就趋近于该斜面上的应力。定义经过P点的某一斜面上的剪应力等于零，则该斜面上的正应力称为P点的一个主应力，该斜面称为P点的一个应力主面，而该斜面的法线方向(即该主应力的方向)称为P点的一个应力主向。求取主应力的方程为：求解这个方程，可得出三个实根：σ1，σ2，σ3。这就是在P点的三个主应力。这三个主应力相对应的三个应力主向总是互相垂直的。可以证明，在弹性体的任意一点，三个主应力中最大的一个就是该点的最大正应力，三个主应力中最小的一个就是该点的最小正应力。3位移及形变．几何方程．刚体位移弹性体在受外力以后，还将发生位移和形变，也就是位置的移动和形状的改变。弹性体内任一点的位移，用它在坐标轴x，y、z上的投影u，v，w来表明，以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为负。这三个投影称为该点的位移分量。当然，一般说来，位移分量也是坐标x，y、z的函数。正应变与剪应变为了描述弹性体内任一点P的形变，在这一点沿着坐标轴的正方向取三个微小线段PA=Δx，PB=Δy，PC=Δz。如图1。弹性体变形以后，这三个线段的长度以及它们之间的直角都将有所改变。线段的每单位长度的伸缩称为正应变，线段之间的直角的改变称为剪应变。正应变正应变用字母ε表示：εx表示x方向的线段（即PA）的正应变，其余类推。正应变以伸长时为正，缩短时为负，与正应力的正负号规定相对应。剪应变剪应变用字母γ表示：γxy表示x与y两方向的线段（即PA与PB）之间的直角的改变，其余类推。剪应变以直角变小时为正，变大时为负，与剪应力的正负号规定相对应（正的τxy引起正的γxy，等等）。应变分量如果εx，εy，εz，γxy，γyz，γzx这6个应变量在P点是巳知的，就可求得经过该点的任一微小线段的正应变，以及经过该点的任意两个微小线段之间的夹角改变，并且可求得该点的最大与最小的正应变。因此，这6个量可以完全确定该点的形变状态，它们就称为在该点的应变分量。当然，一般说来，应变分量也是坐标x，y、z的函数。6个应变分量的总体，可用应变矢量表示：几何方程应变分量与位移分量之间有一定的几何关系。这就是所谓几何方程。6个几何方程的总体可以用一个矩阵方程来表示刚体位移由几何方程可见，当弹性体的位移分量完全确定时，应变分量是完全确定的。反过来，当应变分量是完全确定，位移分量却不完全确定。这是因为，具有确定形状的物体，可能发生不同的刚体位移。如令积分以后，得式中u0、v0、w0、wx、wy、wz是积分常数。其物理意义可参见下图。上式所示的位移分量是当应变分量为零时的位移，即与变形无关的位移，显然此种位移必然是物体的刚体位移。由几何关系不难证明：u0、v0、w0代表弹性体沿坐标轴的刚体平动，wx、wy、wz代表弹性体绕坐标轴的刚体转动。为了完全确定弹性体的位移，必须有6个适当的约束条件来确定这6个刚体位移。4物理方程．弹性矩阵假定弹性体是连续的，均匀的，完全弹性的，而且是各向同性的。这样，应力分量与应变分量之间的关系式就是：物理方程.其第一种形式为：式中的：E是拉压弹性模量(或简称为弹性模量)，G是剪切弹性模量，μ是泊松比，三者之间有如下的关系：物理方程另一种形式为：简写成为：其中的[D]称为弹性矩阵。5虚功及虚功方程设有受外力作用的弹性体，如图4。它在i点所受的外力沿坐标轴分解为分量Ui、Vi、Wi，在j点所受的外力沿坐标轴分解为分量Uj、Vj、Wj，等等，总起来用列阵{F}表示，而这些外力引起的应力用列阵{σ}表示。现在，假设弹性体发生了某种虚位移，与各个外力分量相应的虚位移分量为ui*、vi*，wi*，uj*，vj*，wj*，等等，总起采用列阵{δ*}表示，而引起的虚应变用列阵{ε*}表示这个虚位移和虚应变一般并不是上述实际外力引起的，而是另外的外力或其他原因引起的。更多的是我们为了分析问题而假想在弹性体中发生的。虚位移原理把虚位移原理应用于连续弹性体，可以导出这样的引理：如果在虚位移发生之前，弹性体是处于平衡状态，那末，在虚位移发生时，外力在虚位移上的虚功就等于(整个弹性体内)应力在虚应变上的虚功。在虚位移发生时，外力在虚位移上的虚功是：在弹性体的单位体积内，应力在应变上的虚功是：因此，在整个弹性体内，应力在虚应变上的虚功是：于是由上述推理得到这就是弹性体的虚功方程，它通过虚位移和虚应变表明外力与应力之间的关系。6两种平面问题任何实际问题都是空间问题，都必须考虑所有的位移分量、应变分量和应力分量。但是，如果所考虑的弹性体具有特殊的形状，并且承受的是特殊外力，就有可能把空间问题简化为近似的平面问题，不考虑某些位移分量、应变分量或应力分量。这样处理，分析和计算的工作量将大大地减少平面应力问题设有很薄的均匀薄板，如图5，只在板边上受有平行于板面并且不沿厚度变化的面力，同时，体力也平行于板面并且不沿厚度变化。例如平板坝的甲板支墩，以及图中所示的深梁，都属于此类。设薄板的厚度为t。以薄板的中面为xy面，以垂直于中面的任一直线为z轴。由于板面上不受力，所以有:因为板很薄，外力又不沿厚度变化，所以，可以认为在整个薄板的所有各点都有:这样就只剩下平行于xy面的三个应力分量，即σx，σy，τxy，所以这种问题就称为平面应力问题。应力的矩阵表示简化为xyyx由物理方程中的后二式可见，这时的剪应变由物理方程中的第三式可见εz一般不等于零,可由σx及σy求得，在分析问题时不必考虑。于是只需考虑三个形变分量εx、εy、γxy。物理方程简化为:它仍然可以简写成为平面应变问题设有无限长的柱形体，它的横截面如图6所示，在柱面上受有平行于横截面而且不沿长度变化的面力，同时，体力也平行于横截面而且不沿长度变化。以任一横截面为xy面，任一纵线为z轴，则所有一切应力分量、应变分量和位移分量都不沿z方向变化，它们都只是x和y的函数。此外，在这一情况下，由于对称(任一横截面都可以看做对称面)，所有各点都只会有x和y方向的位移而不会有z方向的位移．即w=0。因此，这种问题称为平面位移问题，但在习惯上常常称为平面应变问题。既然w=0，而且u及v又只是x和y的函数，由几何方程可见εz=γyz=γzx=0。于是只剩下三个应变分量εx、εy、γxy。由物理方程中的后两式可见τyz=0，τzx=0（因为γyz=0，γzx=0）又由物理方程中的第三式可见（因为εz=0））（yxz虽然σz一般并不等于零，但它可以由σx及σy求得，在分析问题时不必考虑。于是也就只有三个应力分量σx，σy，τxy需要考虑。这样，物理方程就简化为:注意对于两种平面问题，物理方程的形式都是一样的。但是，对于平面应力情况下的弹性矩阵[D]却不同于对于平面应变情况下的弹性矩阵[D]。7轴对称问题弹性体的几何形状、约束情况、以及所受的外力，都是绕某一轴对称的(通过这个轴的任一平面都是对称面)，则所有的应力、形变和位移也就对称于这一轴。这种问题称为轴对称问题。在描述轴对称问题中的应力和形变时，用圆柱坐标r,θ,z比用直角坐标x,y,z方便。如果以弹性体的对称轴为z轴，则所有的应力分量、形变分量和位移分量都将只是r和z的函数，不随θ而变。用相距Δr的两个圆柱面，互成Δθ角的两个铅垂面和相距Δz的两个水平面，从弹性体割取一个微小六面体，图5。沿r方向的正应力，称为径向正应力，用σr代表；沿θ方向的正应力，称为环向正应力，用σθ代表；沿z方向的正应力，称为轴向正应力，用σz代表；在垂直于z轴的面上而沿r方向作用的剪应力用τzr代表；在圆柱面上而沿z方向作用的剪应力用τrz代表；根据剪应力互等定律，τzr=τrz，以后统一用τzr代表。根据对称条件，其余的剪应力分量τrθ=τθr及τθz=τzθ都不存在。这样，总共只有四个应力分量σr,σθ,σz,τzr需要考虑。相应的形变分量也只有四个：εr,εθ,εz,γzr。轴对称问题中的应力及应变定义为:弹性体内任意一点的位移，可以分解为两个分量：沿r方向的位移分量，称为径向位移，用u代表；沿z方向的位移分量，称为轴向位移，用w代表；由于对称，不会有θ方向的位移（环向位移）。根据几何关系，可以导出形变分量和位移分量之间的关系式，即几何方程为：物理方程可以根据虎克定律直接写出它仍然可以写成如下简单形式：[D]为弹性矩阵。8薄板的弯曲问题分析薄板弯曲问题时，和材料力学中分析直梁的弯曲问题时相似，也采用一些由实践经验得来的假定，把问题大大地简化，但同时却又能在一定的程度上反映实际情况。这些假定是：(1)薄板的法线没有伸缩。(2)薄板的法线，在薄板弯扭以后，保持为薄板弹性曲面的法线。(3)薄板中面内的各点，没有平行于中面的位移。(4)挤压应力引起的应变可以不计。第(1)个假定可以表示成为εz=0。于是由几何方程可见从而得到w=w(x，y)。这就是说，中面每一法线上的所有各点具有相同的位移w，也就等于弹性曲面的挠度。0zw第(2)个假定表示：薄板的法线(z方向的线段)与x方向或者y方向的线段都保持互相垂直，没有剪应变，也就是γyz=0,γzx=0。于是由几何方程可见有：从而有第(3)个假定表示(u)z=0=0,(v)z=0=0。由上式