《函数最值的应用》

2.2（一）函数最大值、最小值问题的应用2.2（一）1．函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值如图，函数f(x)在闭区间[a，b]上的图像是一条连续不断的曲线，则该函数在[a，b]上一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在处或处取得．2．求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的，(2)将函数y＝f(x)的各极值与的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是，最小的一个是．填一填·知识要点、记下疑难点端点极值点极值端点处最大值最小值2.2（一）探究点一面积、体积的最值问题例1如图所示，一边长为48cm的正方形铁皮，四角各截去一个大小相同的正方形，然后折起，可以做成一个无盖长方体容器．所得容器的容积V(单位：cm3)是关于截去的小正方形的边长x(单位：cm)的函数．(1)随着x的变化，容积V是如何变化的？(2)截去的小正方形的边长为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？解(1)首先写出V关于x的函根据题意可得V＝f(x)＝x(48－2x)2.由实际情况可知函数的定义域为0x24.2.2（一）研一研·问题探究、课堂更高效f′(x)＝－4x(48－2x)＋(48－2x)2＝(48－2x)(－6x＋48)＝12(x－24)(x－8)．解方程V′(x)＝0，得x1＝8，x2＝24.根据x1＝8，x2＝24列出下表，分析导函数的符号得到函数的单调性与极值点.x(0,8)8(8,24)f′(x)＋0－V＝f(x)极大值x＝8是函数的极大值点，相应极大值为V＝f(8)＝(48－16)2×8＝8192(cm2)．V＝(48－2x)2x的图像如图所示．当0x≤8时，函数V＝f(x)是增加的；2.2（一）研一研·问题探究、课堂更高效当8≤x24时，函数V＝f(x)是减少的．(2)区间(0,24)上任意点的函数值都不超过f(8)，因此x＝8是函数的最大值点．此时V＝f(8)＝8192(cm3)．即当截去的小正方形的边长为8cm时，得到的容器容积最大，最大容积为8192cm3.小结(1)在求最值时，往往建立函数关系式，若问题中给出的量较多时，一定要通过建立各个量之间的关系，通过消元法达到建立函数关系式的目的．(2)在列函数关系式时，要注意实际问题中变量的取值范围，即函数的定义域．2.2（一）研一研·问题探究、课堂更高效跟踪训练1学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传．现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm2，上、下两边各空2dm，左、右两边各空1dm.如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？解设版心的高为xdm，则版心的宽为128xdm，此时四周空白面积为S(x)＝(x＋4)128x＋2－128＝2x＋512x＋8，x0.求导数，得S′(x)＝2－512x2.令S′(x)＝2－512x2＝0，解得x＝16(x＝－16舍去)．于是宽为128x＝12816＝8.2.2（一）研一研·问题探究、课堂更高效当x∈(0,16)时，S′(x)0；当x∈(16，＋∞)时，S′(x)0.因此，x＝16是函数S(x)的极小值点，也是最小值点．所以，当版心高为16dm，宽为8dm时，能使四周空白面积最小．答当版心高为16dm，宽为8dm时，海报四周空白面积最小．2.2（一）研一研·问题探究、课堂更高效探究点二利润最大问题例2某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是0.8πr2分，其中r(单位：cm)是瓶子的半径，已知每出售1mL的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6cm.(1)瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？(2)瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？解由于瓶子的半径为r，所以每瓶饮料的利润是y＝f(r)＝0.2×43πr3－0.8πr2＝0.8πr33－r2，0r≤6.令f′(r)＝0.8π(r2－2r)＝0.当r＝2时，f′(r)＝0.当r∈(0,2)时，f′(r)0；2.2（一）研一研·问题探究、课堂更高效当r∈(2,6)时，f′(r)0.因此，当半径r2时，f′(r)0，它表示f(r)单调递增，即半径越大，利润越高；半径r2时，f′(r)0，它表示f(r)单调递减，即半径越大，利润越低．∴半径为2cm时，利润最小，这时f(2)0，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值．半径为6cm时，利润最大．小结解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立利润的函数关系，常见的基本等量关系有①利润＝收入－成本；②利润＝每件产品的利润×销售件数．2.2（一）研一研·问题探究、课堂更高效跟踪训练2某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝ax－3＋10(x－6)2，其中3x6，a为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．解(1)因为x＝5时，y＝11，所以a2＋10＝11，所以a＝2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量y＝2x－3＋10(x－6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)＝(x－3)[2x－3＋10(x－6)2]＝2＋10(x－3)(x－6)2，3x6.2.2（一）研一研·问题探究、课堂更高效从而，f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]＝30(x－4)(x－6)．于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(3,4)4(4,6)f′(x)＋0－f(x)单调递增极大值42单调递减由上表可得，x＝4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点．所以，当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.答当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．2.2（一）探究点三费用(用材)最省问题例3已知A、B两地相距200km，一只船从A地逆水行驶到B地，水速为8km/h，船在静水中的速度为vkm/h(8v≤v0)．若船每小时的燃料费与其在静水中的速度的平方成正比，当v＝12km/h，每小时的燃料费为720元，为了使全程燃料费最省，船的实际速度为多少？解设每小时的燃料费为y1，比例系数为k(k0)，则y1＝kv2，当v＝12时，y1＝720，∴720＝k·122，得k＝5.设全程燃料费为y，由题意y＝y1·200v－8＝1000v2v－8，∴y′＝2000vv－8－1000v2v－82＝1000v2－16000vv－82.2.2（一）研一研·问题探究、课堂更高效令y′＝0，得v＝16，∴当v0≥16，即v＝16km/h时全程燃料费最省，ymin＝32000(元)；当v016，即v∈(8，v0]时，y′0，即y在(8，v0]上为减函数，∴当v＝v0时，ymin＝1000v20v0－8(元)．综上，当v0≥16时，v＝16km/h全程燃料费最省，为32000元；当v016时，即v＝v0时全程燃料费最省，为1000v20v0－8元．小结本题在解题过程中容易忽视定义域，误以为v＝16时取得最小值．本题的关键是弄清极值点是否在定义域范围内．2.2（一）研一研·问题探究、课堂更高效跟踪训练3现有一批货物由海上从A地运往B地，已知轮船的最大航行速度为35海里/时，A地至B地之间的航行距离约为500海里，每小时的运输成本由燃料费和其余费用组成，轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比(比例系数为0.6)，其余费用为每小时960元．(1)把全程运输成本y(元)表示为速度x(海里/时)的函数；(2)为了使全程运输成本最小，轮船应以多大速度行驶？解(1)依题意得y＝500x(960＋0.6x2)＝480000x＋300x，且由题意知，函数的定义域为(0,35]，即y＝480000x＋300x(0x≤35)．2.2（一）研一研·问题探究、课堂更高效(2)由(1)知，y′＝－480000x2＋300，令y′＝0，解得x＝40或x＝－40(舍去)．因为函数的定义域为(0,35]，所以函数在定义域内没有极值点．又当0x≤35时，y′0，所以y＝480000x＋300x在(0,35]上单调递减，故当x＝35时，函数y＝480000x＋300x取得最小值．故为了使全程运输成本最小，轮船应以35海里/时的速度行驶.2.2（一）研一研·问题探究、课堂更高效探究点四含参数的函数的最值问题例4已知a是实数，函数f(x)＝x2(x－a)．(1)若f′(1)＝3，求a的值及曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程．(2)求f(x)在区间[0,2]上的最大值．解(1)f′(x)＝3x2－2ax.因为f′(1)＝3－2a＝3，所以a＝0.又当a＝0时，f(1)＝1，f′(1)＝3，所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为3x－y－2＝0.(2)令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝2a3.2.2（一）研一研·问题探究、课堂更高效当2a3≤0，即a≤0时，f(x)在[0,2]上单调递增，从而f(x)max＝f(2)＝8－4a.当2a3≥2，即a≥3时，f(x)在[0,2]上单调递减，从而f(x)max＝f(0)＝0.当02a32，即0a3时，f(x)在0，2a3上单调递减，在2a3，2上单调递增，从而f(x)max＝8－4a0a≤202a3，综上所述，f(x)max＝8－4aa≤20a2.2.2（一）研一研·问题探究、课堂更高效跟踪训练2已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2]的最大值为3，最小值为－29，求a，b的值．解f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4(舍去)．(1)当a0时，列表如下：x－1(－1,0)0(0,2)2f′(x)＋0－f(x)－7a＋bb－16a＋b由表可知，当x＝0时，f(x)取极大值，也就是函数在[－1,2]上的最大值，∴f(0)＝3，即b＝3.又f(－1)＝－7a＋3，f(2)＝－16a＋3f(－1)，∴f(2)＝－16a＋3＝－29，∴a＝2.2.2（一）研一研·问题探究、课堂更高效(2)当a0时，同理可得，当x＝0时，f(x)取极小值，也就是函数在[－1,2]上的最小值，∴f(0)＝－29，即b＝－29.又f(－1)＝－7a－29，f(2)＝－16a－29f(－1)，∴f(2)＝－16a－29＝3，∴a＝－2.综上可得，a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29.2.2（一）研一研·问题探究、课堂更高效探究点五恒成立与最值问题例5已知函数f(x)＝(x＋1)lnx－x＋1.若xf′(x)≤x2＋ax＋1恒成立，求a的取值范围．解f′(x)＝x＋1x＋lnx－1＝lnx＋1x，xf′(x)＝xlnx＋1，而xf′(x)≤x2＋ax＋1(x＞0)等价于lnx－x≤a.令g(x)＝lnx－x，则g′(x)＝1x－1.当0＜x＜1时，g′(x)＞0；当x≥1时，g′(x)≤0，x＝1是g(x)的最大值点，∴g(x)≤g(1)＝－1.综上可知，a的取值范围是－1，＋∞.2.2（一）研一研·问题探究、课堂更高效小结“恒成立”问题向最值问题转化是一种常见的题型，对于不能分离参数的恒成立问题，直接求含参函数的最值即可．一般地，可采用分离参数法．λ≥f(x)恒成立⇔λ≥[f(x)]max；λ≤f(x)恒成立⇔λ≤[f(x)]min.2.2（一）研一研·问题探究、课堂更高效跟踪训练3设函数f(x)＝2x3－9x2＋12x＋8c，若对任意的x∈[0,3]，都有f(x)c2成立，求c的取值范围．解∵f′(x)＝6x2－18x＋12＝6(x－1)(x－2)．∴当x∈(0,1)时，f′(x)0；当x∈(1,2)时，