3.4函数的最值及其应用

3.4函数的最值及其应用一、最值的求法二、应用举例返回1.求驻点和不可导点;2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较出最大值及最小值。.],[)(],[)(与最小值存在上的最大值在上连续，则在若函数baxfbaxf一最值的求法oxyoxybaoxyabab步骤)()b(f)()a(f),(]b,a[)x(f1.值。小为最大值，大为最小则减上单增在若返回的最值点。必是的驻点区间内部取得，则唯一义确有最值，且一定在定可以判定可导函数题中根据问题的性质进一步，如果在实际问)()(0xfxxf注:2.如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值(最大值或最小值).二、应用举例例1解)1)(2(6)(xxxf.]4,3[14123223上的最大值与最小值的在求函数xxxy得解方程,0)(xf.1,221xx计算)3(f;23)2(f;34)1(f;7;142)4(f返回，最大值142)4(f比较得.7)1(f最小值14123223xxxy返回例242430163234xxxxxf）（试求函数.30上的最大值和最小值，在区间解24604823xxx12)x(f),2()1(122xx.及区间端点处的函数值的极值点，算出这些点）可能（，它们为，，得驻点）（令xfxxxf210133423140）（，）（，）（，）（ffff）的最大（上，在区间将它们加以比较，可知xf30。）（，最小值为）（值，为42133ff返回实际问题求最值应注意:(1)建立目标函数;(2)求最值;．最大或最小函数值即为所求的最值点，则该点的若目标函数只有唯一驻)(例3.)(数而其和为最小的两个正求乘积为常数0a可得目标函数，则之和为与，设由此可得，其中，则由条件可知和记这两个正数为yxssyxxayyxayxyx,,,0解（1）建立表示该问题的函数，这样的函数通常称为目标函数..x,xaxxs0)(返回（2）求目标函数的最小值：因为,'21xa)x(s内，不在目标函数的定义域其中，，，得）（令axaxaxxs0，只有一个故该函数可能的极值点ax；）（时，易知当0xsax时，当ax；）（0xs所以乘积一定而其和为最小的两个数是：,ax.ay返回例4为常数，求表面设圆柱形有盖茶缸容积V.之比与高积为最小时，底半径yxxy解茶缸的容积建立目标函数(1)，为yxV2,xyxS222而,2xVy由体积可得因此可得目标函数:茶缸的表面积的表达式).0(2222)(222xxVxxxVxxS.xS）的最小值（）求（2因为返回224)(xVxx'S,)(，且唯一，得可能极值点令320VxxS（3）求半径与高之比.可以算得和由322VxxVy.xVVVy222)2(323因此当底半径与高之比为1：2时，茶缸面积最小。.2)(.0)2(,44)(333取得最小值处在所以又VxxSVSxVxS返回例5之间的关系为与日产量设某产品的次品率xy,1,1011)(xxf,x1001.100x若每件产品的盈利为A元，每件次品造成的损失.3量，试求盈利最多的日产为A解返回，时盈利为，设日产量为，当)x(Txx1000，因此，正品数为这时次品数为xyxxyxyxyxAxT3A-)()(,1013A)101(xxxxxA.x1000）的最大值，因为（于是问题就归纳为求xT)101(3A])101(1[)(xxxxAxT,xA])101(101341[2返回。）的唯一驻点（，可得到）（令4890.xxTxT,100超过若日产量x之间。与量应在最大，故最大盈利日产，那么盈利不会，即超过部分全为次品则次品率为10001因此，）取得最大值的点，（是使xTx489.实际上因为x应是正整数，所以将。）（与A.T097990T79.11A(89)相比较，即知每天生产89件产品盈利最多。返回某房地产公司有50套公寓要出租，当租金定为每月180元时，公寓会全部租出去．当租金每月增加10元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费20元的整修维护费．试问房租定为多少可获得最大收入？例6解设房租为每月元，x租出去的房子有套，1018050x每月总收入为)(xR)20(x1018050x返回1068)20()(xxxR101)20(1068)(xxxR570x0)(xR350x（唯一驻点）故每月每套租金为350元时收入最高。最大收入为1035068)20350()(xR)(10890元例7设工厂A到铁路的垂直距离为20千米，垂足为B，铁路线上距离B为100千米处有一原料供应站C（图示），现在要从铁路BC中间某处D修建一个车站，再由车站D向工厂A修一公路，问D应选在何处才能使得从原料供应站C运货到工厂A所需运费最省。已知1千米的铁路运费与公路运费之比为3：5。x.100CD,20xAD,xBD22－则设解千米。元则铁路运费为千米，元又设公路运费为/a53/a返回所需总费用为到工厂经中转站于是从原料供应站ADC100x0,x)a(1005320xay22－a5320xxay22－15,x0,y得令因此，千米时运费最省。相距之间且与，建于当车站15BCBD返回例8形面积最大．所围成的三角及线处的切线与直使曲线在该点上求一点，曲边成一个曲边三角形，在围及抛物线，由直线808022xyxyxyxy解如图,),,(00yxP设所求切点为为则切线PT),(2000xxxyy,200xy),0,21(0xA)16,8(200xxB),0,8(CTxyoPABC)16)(218(212000xxxSABC)80(0x,0)1616643(41020xxS令解得).(16,31600舍去xx8)316(s.0.2174096)316(为极大值s.274096)316(最大者为所有三角形中面积的故s极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值.函数的极值必在驻点和不可导点取得..判别法第一充分条件;第二充分条件;(注意使用条件)求极值的步骤:);()1(xf求导数;)2(点求驻点或导数不存在的;,)()3(判断极值点号在这两种点左右的正负检查xf.)4(求极值小结返回注意最值与极值的区别.最值是整体概念而极值是局部概念.实际问题求最值的步骤.(1)由题设条件，建立目标函数;(2)注意题目约束条件，求目标函数的最值；值．或最小函数值即为所求的最点，则该点的若目标函数只有唯一驻)()3(返回