蚁群算法的数学模型

蚁群算法的数学模型蚂蚁),2,1(kmk在运动过程中，运动转移的方向由各条路径上的信息量浓度决定。为方便记录可用),,2,1(tmkabuk来记录第k只蚂蚁当前已走过的所有节点，这里可以称存放节点的表为禁忌表；这个存放节点的集合会随着蚂蚁的运动动态的调整。在算法的搜索过程中，蚂蚁会智能地选择下一步所要走的路径。设m表示蚂蚁总数量，用)1,,1,0,(dnjiij表示节点i和节点j之间的距离，)(ijt表示在t时刻ij连线上的信息素浓度。在初始时刻，m只蚂蚁会被随机地放置，各路径上的初始信息素浓度是相同的。在t时刻，蚂蚁k从节点i转移到节点j的状态转移概率为otherpallowedttttkijkallowedkijijijijkij,0j,)()()()(pk1-2其中，kktabucallowed表示蚂蚁k下一步可以选择的所有节点，C为全部节点集合；为信息启发式因子，在算法中代表轨迹相对重要程度，反映路径上的信息量对蚂蚁选择路径所起的影响程度，该值越大，蚂蚁间的协作性就越强；可称为期望启发式因子，在算法中代表能见度的相对重要性。ij是启发函数，在算法中表示由节点i转移到节点j的期望程度，通常可取ijijd/1。在算法运行时每只蚂蚁将根据(2-1)式进行搜索前进。在蚂蚁运动过程中，为了避免在路上残留过多的信息素而使启发信息被淹没，在每只蚂蚁遍历完成后，要对残留信息进行更新处理。由此，在t+n时刻,路径(i,j)上信息调整如下)()(1ttntijijij(2-2))()(1ttmkkijij(2-3)在式中，常数1,0表示信息素挥发因子,表示路径上信息量的损耗程度,的大小关系到算法的全局搜索能力和收敛速度，则可用-1代表信息素残留因子,)(tkij表示一次寻找结束后路径(i,j)的信息素增量。在初始时刻00ij,)(tkij表示第k只蚂蚁在本次遍历结束后路径(i,j)的信息素。由于信息素更新策略有所不同，学者DorigoM研究发现了三种不同的基本蚁群算法模型，分别记为“蚁周系统”(Ant-Cycle)模型、“蚁量系统”(Ant-Quantity)模型及“蚁密系统”(Ant-Density)模型，三种模型求解)(tkij方式存在不同。“蚁周系统”(Ant-Cycle)模型otherLQkkij,0,第k只蚂蚁走过ij(2-4)“蚁量系统”(Ant-Quantity)模型otherdQijkij,0,第k只蚂蚁在t和t+1之间走过ij(2-5)“蚁密系统”(Ant-Density)模型otherQkij,0,第k只蚂蚁在t和t+1之间走过ij(2-6)从上边各公式可以看出三种模型的主要区别是：“蚁量系统”和“蚁密系统”中，信息素是在蚂蚁完成一步后更新的，即采用的是局部信息；而在“蚁周系统”中路径中信息素是在蚂蚁完成一个循环后更新的，即应用的是整体信息。在一系列标准测试问题上运行的实验表明，“蚁周系统”算法的性能优于其他两种算法。因此，对蚂蚁系统的研究正朝着更好地了解“蚁周系统”特征的方向发展。